Аналитическая теорема Фредгольма

В математике , то аналитическая теорема Фредгольм является результатом о существовании ограниченных инверсий для семейства линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Это основа двух классических и важных теорем, альтернативы Фредгольма и теоремы Гильберта – Шмидта . Результат назван в честь шведского математика Эрика Ивара Фредхольма .

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть G  ⊆  C - область ( открытое и связное множество ). Пусть ( H , ⟨,⟩) - вещественное или комплексное гильбертово пространство, и пусть Lin ( H ) обозначает пространство ограниченных линейных операторов из H в себя; пусть я обозначим тождественный оператор . Пусть B  :  G  → Lin ( H ) - такое отображение, что

• B аналитична на G в том смысле, что предел

${\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ lambda _ {0}} {\ frac {B (\ lambda) -B (\ lambda _ {0})} {\ lambda - \ lambda _ {0}}} }$

существует для всех λ ₀  ∈  G ; и

• оператор B ( λ ) является компактным оператором для каждого Х  ∈  G .

Тогда либо

• ( I  -  B ( λ )) ⁻¹ не существует ни для какого λ  ∈  G ; или же
• ( Я  -  В ( А , )) ^-1 существует для каждого А ,  ∈  G  \  S , где S представляет собой дискретное подмножество из G (т.е. S не имеет предельных точек в G ). В этом случае функция, переводящая λ в ( I  -  B ( λ )) ⁻¹ , аналитична на G  \  S и, если λ  ∈  S , то уравнение

${\ Displaystyle В (\ лямбда) \ psi = \ psi}$

имеет конечномерное семейство решений.

Ссылки [ править ]

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 266. ISBN. 0-387-00444-0. (Теорема 8.92)