Антикоммутативное свойство

В математике , антикоммутативности является специфическим свойством некоторых не- коммутативных операций . В математической физике , где симметрия имеет центральное значение, эти операции в основном называются антисимметричными операциями и расширяются в ассоциативной среде для охвата более двух аргументов . Изменение местами двух аргументов антисимметричной операции приводит к результату, обратному результату с аргументами без замены. Понятие инверсия относится к групповой структуре в кодомене операции., возможно, с другой операцией, например сложением .

Вычитание - это антикоммутативная операция, потому что - ( a - b ) = b - a . Например, 2-10 = - (10-2) = −8.

Ярким примером антикоммутативной операции является скобка Ли .

Определение [ править ]

Если два абелевых групп , билинейное отображение является антикоммутативным , если для всех у нас есть${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle f: A ^ {2} \ to B}$${\ displaystyle x, y \ in A}$

${\ displaystyle f (x, y) = - f (y, x).}$

В более общем смысле, полилинейное отображение является антикоммутативным, если для всех мы имеем${\ displaystyle g: A ^ {n} \ to B}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots x_ {n} \ in A}$

${\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, \ dots x_ {n}) = {\ text {sgn}} (\ sigma) g (x _ {\ sigma (1)}, x _ {\ sigma ( 2)}, \ dots x _ {\ sigma (n)})}$

где есть знак о перестановке .${\ displaystyle {\ text {sgn}} (\ sigma)}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Свойства [ править ]

Если абелева группа не имеет 2- кручения , откуда следует, что если то , то любое антикоммутативное билинейное отображение удовлетворяет${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x = -x}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f: A ^ {2} \ to B}$

${\ displaystyle f (x, x) = 0.}$

В более общем смысле, переставляя два элемента, любое антикоммутативное полилинейное отображение удовлетворяет${\ displaystyle g: A ^ {n} \ to B}$

${\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, \ dots x_ {n}) = 0}$

если какие-либо из них равны; такое отображение называется альтернированным . И наоборот, при использовании мультилинейности любое альтернативное отображение антикоммутативно. В двоичном случае это работает следующим образом: если знакопеременный, то по билинейности имеем${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle f: A ^ {2} \ to B}$

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

и доказательство в полилинейном случае такое же, но только для двух входов.

Примеры [ править ]

Примеры антикоммутативных бинарных операций включают:

• Перекрестное произведение
• Скобка Ли алгебры Ли
• Скобка Ли кольца Ли
• Вычитание

См. Также [ править ]

• Коммутативность
• Коммутатор
• Внешняя алгебра
• Градуированно-коммутативное кольцо
• Операция (математика)
• Симметрия в математике
• Статистика частиц (для антикоммутативности в физике).

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (1989), "Глава III. Тензорные алгебры , внешние алгебры , симметрические алгебры ", Алгебра. Главы 1–3 , Элементы математики (2-е изд.), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 3-540-64243-9, Руководство по ремонту  0979982 , Zbl  0904.00001.

Внешние ссылки [ править ]

Поищите антикоммутативные свойства в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Гайнов, А.Т. (2001) [1994], "Антикоммутативная алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press. Что отсылает к оригинальной русской работе
• Вайсштейн, Эрик В. «Антикоммутативный» . MathWorld .