В математике , точнее в теории групп и гиперболической геометрии , арифметические клейновы группы представляют собой особый класс клейновых групп, построенных с использованием порядков в алгебрах кватернионов . Это частные экземпляры арифметических групп . Трехмерное арифметическое гиперболическое многообразие - это фактор гиперболического пространства арифметической клейновой группой. Эти многообразия включают несколько особенно красивых или замечательных примеров.
Определение и примеры
Кватернионные алгебры
Кватернионная алгебра над полем четырехмерный центральный простой -алгебра. Алгебра кватернионов имеет основу где а также .
Алгебра кватернионов называется расщепляемой над если он изоморфен как -алгебра к алгебре матриц ; алгебра кватернионов над алгебраически замкнутым полем всегда расщепляется.
Если это вложение в поле обозначим через алгебра, полученная расширением скаляров из к где мы смотрим как подполе через .
Арифметические клейновы группы
Подгруппа называется производной кватернионной алгебры, если ее можно получить с помощью следующей конструкции. Позволятьбыть числовое поле , которое имеет ровно два вложения в чье изображение не содержится в (одно сопряжено с другим). Позволять быть кватернионной алгеброй над такое, что для любого вложения алгебра изоморфна кватернионам Гамильтона . Далее нам нужен заказ в . Позволять быть группой элементов в приведенной нормы 1 и пусть быть его изображением в через . Затем рассмотрим клейнову группу, полученную как образ в из .
Главный факт об этих группах заключается в том, что они являются дискретными подгруппами и имеют конечный ковобъем для меры Хаара на. Более того, приведенная выше конструкция дает кокомпактную подгруппу тогда и только тогда, когда алгебра не разделен . Дискретность - довольно непосредственное следствие того, чторасщепляется только при его сложных вложениях. Конечность коволюма доказать сложнее. [1]
Арифметическая группа клейнова любая подгруппакоторый соизмерим с группой, полученной из алгебры кватернионов. Из этого определения немедленно следует, что арифметические клейновы группы дискретны и имеют конечный ковобъем (это означает, что они являются решетками в).
Примеры
Примеры предоставлены путем взятия быть воображаемым квадратичным полем , а также где это кольцо целых чисел от (Например а также ). Полученные таким образом группы являются группами Бианки . Они не кокомпактны, и любая арифметическая клейнова группа, которая не соизмерима с сопряженной группой Бианки, кокомпактна.
Если любая кватернионная алгебра над полем мнимых квадратичных чисел которая не изоморфна матричной алгебре, то единичные группы порядков в компактны.
Поле трассировки арифметических многообразий
Поле инвариантного следа клейновой группы (или, через образ монодромии фундаментальной группы, гиперболического многообразия) - это поле, порожденное следами квадратов ее элементов. В случае арифметического многообразия, фундаментальные группы которого соизмеримы с группой многообразия, полученного из алгебры кватернионов над числовым полем инвариантное поле следа равно .
Фактически можно охарактеризовать арифметические многообразия через следы элементов их фундаментальной группы. Клейнова группа является арифметической тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:
- Его инвариантное поле следа числовое поле ровно с одним сложным разрядом;
- Следы его элементов представляют собой целые алгебраические числа ;
- Для любой в группе, и любое вложение у нас есть .
Геометрия и спектр арифметических трехмерных гиперболических многообразий
Формула объема
Для объема арифметический трехколлекторный полученный из максимального порядка в алгебре кватернионов над числовым полем у нас есть выражение: [2]
где являются дискриминанты из соответственно, это дедекиндова дзета - функция из а также .
Результаты конечности
Следствием формулы объема в предыдущем абзаце является то, что
- Дано существует не более конечного числа арифметических гиперболических 3-многообразий с объемом меньше, чем .
Это контрастирует с тем фактом, что гиперболическая хирургия Дена может быть использована для создания бесконечного числа неизометрических гиперболических трехмерных многообразий с ограниченным объемом. В частности, следствие состоит в том, что для гиперболического многообразия с каспами не более конечного числа операций Дена на нем могут дать арифметическое гиперболическое многообразие.
Замечательные арифметические трехмерные гиперболические многообразия
В Недель многообразие является гиперболическим три-многообразие наименьшего объема [3] и многообразия Meyerhoff является одним из следующего наименьшего объема.
Дополнение к тройной сфере узла в форме восьмерки является арифметическим гиперболическим тройным многообразием [4] и достигает наименьшего объема среди всех гиперболических трехмерных многообразий с каспами. [5]
Спектр и гипотезы Рамануджана
Гипотеза Рамануджана для автоморфных форм на над числовым полем означало бы, что для любого конгруэнтного покрытия арифметического трехмерного многообразия (полученного из алгебры кватернионов) спектр оператора Лапласа содержится в .
Арифметические многообразия в трехмерной топологии
Многие из догадок Терстена (например, практически Хакена гипотеза ), теперь все известно , чтобы быть правдой после работы Ian Агола , [6] были проверены сначала для арифметических многообразий с помощью методов конкретных. [7] В некоторых арифметических случаях гипотеза Виртуального Хакена известна общими средствами, но неизвестно, может ли ее решение быть получено чисто арифметическими средствами (например, путем нахождения конгруэнтной подгруппы с положительным первым числом Бетти).
Арифметические многообразия можно использовать для получения примеров многообразий с большим радиусом инъективности, первое число Бетти которых обращается в нуль. [8] [9]
Замечание Уильяма Терстона состоит в том, что арифметические многообразия «... часто кажутся особенно красивыми». [10] Это может быть подтверждено результатами, показывающими, что связь между топологией и геометрией для этих многообразий гораздо более предсказуема, чем в целом. Например:
- Для данного рода g существует не более чем конечное число арифметических (конгруэнтных) гиперболических 3-многообразий, которые расслаиваются над окружностью слоем рода g . [11]
- Существует не более конечного числа арифметических (конгруэнтных) гиперболических 3-многообразий с данным родом Хегора. [12]
Заметки
- ^ Maclachlan & Reid 2003 , теорема 8.1.2.
- ^ Maclachlan & Reid 2003 , теорема 11.1.3.
- ^ Милли, Питер (2009). «Трехмерные гиперболические многообразия минимального объема». J. Topol . 2 : 181–192. arXiv : 0809.0346 . DOI : 10,1112 / jtopol / jtp006 . Руководство по ремонту 2499442 . S2CID 3095292 .
- ^ Райли, Роберт (1975). «Квадратичная параболическая группа». Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc . 77 (2): 281–288. Bibcode : 1975MPCPS..77..281R . DOI : 10.1017 / s0305004100051094 . Руководство по ремонту 0412416 .
- ^ Цао, Чунь; Мейерхофф, Дж. Роберт (2001). «Ориентируемые гиперболические 3-многообразия минимального объема с каспами». Изобретать. Математика . 146 (3): 451–478. Bibcode : 2001InMat.146..451C . DOI : 10.1007 / s002220100167 . Руководство по ремонту 1869847 . S2CID 123298695 .
- ^ Агол, Ян (2013). С приложением Яна Агола, Дэниела Гроувса и Джейсона Мэннинга. «Виртуальная гипотеза Хакена» . Documenta Mathematica . 18 : 1045–1087. Руководство по ремонту 3104553 .
- ^ Лакенби, Марк; Лонг, Даррен Д .; Рид, Алан В. (2008). «Накрывающие пространства арифметических 3-орбифолдов». Уведомления о международных математических исследованиях . 2008 . arXiv : математика / 0601677 . DOI : 10.1093 / imrn / rnn036 . Руководство по ремонту 2426753 .
- ^ Калегари, Франк; Данфилд, Натан (2006). «Автоморфные формы и рациональные гомологии 3-сферы». Геометрия и топология . 10 : 295–329. arXiv : math / 0508271 . DOI : 10,2140 / gt.2006.10.295 . Руководство по ремонту 2224458 . S2CID 5506430 .
- ^ Бостон, Найджел; Элленберг, Иордания (2006). «Pro-p группы и башни сфер рациональных гомологий». Геометрия и топология . 10 : 331–334. arXiv : 0902.4567 . DOI : 10,2140 / gt.2006.10.331 . Руководство по ремонту 2224459 . S2CID 14889934 .
- ^ Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . 6 (3): 357–381. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1982-15003-0 .
- ^ Бирингер, Ян; Соуто, Хуан (2011). «Теорема конечности для трехмерных гиперболических многообразий». J. London Math. Soc . Вторая серия. 84 : 227–242. arXiv : 0901.0300 . DOI : 10,1112 / jlms / jdq106 . S2CID 11488751 .
- ^ Громов, Миша ; Гут, Ларри (2012). "Обобщения оценок вложения Колмогорова-Барздина". Duke Math. Дж . 161 (13): 2549–2603. arXiv : 1103,3423 . DOI : 10.1215 / 00127094-1812840 . S2CID 7295856 .
Рекомендации
- Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических трехмерных многообразий , Тексты для выпускников по математике, 219 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98386-8, MR 1937957