Двенадцатеричная система (также известная как основание 12 , dozenal , или, редко, унциальное ) является позиционной системой счисления системы позиции , используя двенадцать в качестве своей базы . Число двенадцать (то есть число, записанное как «12» в системе счисления с основанием десять ) вместо этого записывается как «10» в двенадцатеричной системе (что означает «1 дюжина и 0 единиц» вместо «1 десять и 0 единиц»). , тогда как строка цифр «12» означает «1 дюжина и 2 единицы» (т. е. то же число, что в десятичной системе, записывается как «14»). Точно так же в двенадцатеричной системе счисления «100» означает «1 брутто », «1000» означает «1 брутто».", а" 0,1 "означает" 1 двенадцатая "(вместо их десятичных значений" 1 сотня "," 1 тысяча "и" 1 десятая ").
Для обозначения десяти и одиннадцати в двенадцатеричной системе счисления использовались различные символы; на этой странице используются A и B, как в шестнадцатеричном формате , что делает двенадцатеричный счет от нуля до двенадцати читаемым 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10.
Число двенадцать, высшее, очень сложное число , является наименьшим числом с четырьмя нетривиальными множителями (2, 3, 4, 6) и наименьшим числом, включающим в качестве множителей все четыре числа (от 1 до 4) в пределах диапазона субитизации , и наименьшее изобильное число . В результате этой повышенной факторизации системы счисления и ее делимости на широкий диапазон самых элементарных чисел (в то время как десять имеет только два нетривиальных фактора: 2 и 5), двенадцатеричные представления легче, чем десятичные, вписываются во многие общие шаблоны. , о чем свидетельствует более высокая регулярность, наблюдаемая в двенадцатеричной таблице умножения. В результате двенадцатеричная система счисления была названа оптимальной. [1] Из его множителей 2 и 3 являются простыми числами , что означает обратную величину всех трех гладких чисел (например, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, ...) имеют завершающее представление в двенадцатеричной системе счисления. В частности, пять самых элементарных дробей (+1 ⁄ 2 , +1 ⁄ 3 , +2 ⁄ 3 , +1 ⁄ 4 и +3 ⁄ 4 ) все имеют короткое завершающее представление в двенадцатеричной системе счисления (0,6, 0,4, 0,8, 0,3 и 0,9 соответственно), а двенадцать - это наименьший основание системы счисления с этой функцией (поскольку это наименьшее общее кратное 3 и 4). Все это делает его более удобной системой счисления для вычисления фракцийчем большинство других систем счисления в общем пользовании, такие как десятичные , двадцатеричной , двоичной , восьмеричные и шестнадцатеричных системы. Хотя тройная и шестидесятеричная системы (гдезаканчиваютсяобратные ко всем 5-гладким числам) в этом отношении работают даже лучше, это происходит за счет громоздких таблиц умножения и гораздо большего количества символов, которые нужно запомнить.
Источник
- В этом разделе цифры основаны на десятичных разрядах . Например, 10 означает десять , 12 означает двенадцать .
Языки, использующие двенадцатеричные системы счисления, не распространены. Языки в нигерийском среднем поясе , такие как Janji , Gbiri-Niragu (Gure-Kahugu), Пить , и Nimbia диалект Gwandara ; [2] и язык чепанг из Непала [3] Известны использование двенадцатеричных цифр.
В германских языках есть специальные слова для 11 и 12, например, одиннадцать и двенадцать в английском . Они происходят от протогерманских * ainlif и * twalif (что означает, соответственно, один слева и два слева ), что предполагает десятичное, а не двенадцатеричное происхождение. [4] [5] Тем не менее, древнескандинавский язык использовал двенадцатеричную систему счета, в которой слова «сто восемьдесят» означают 200, а «двести» - 240. [6] На Британских островах этот стиль счета сохранился до наших дней. Средневековье как длинная сотня .
Исторически сложилось, что единицы из времени во многих цивилизаций являются двенадцатая. Есть двенадцать знаков зодиака , двенадцать месяцев в году, а у вавилонян было двенадцать часов в день (хотя в какой-то момент это было изменено на 24). Традиционные китайские календари , часы и компасы основаны на двенадцати земных ветвях . В имперском футе 12 дюймов, в тройском фунте - 12 тройских унций, в шиллинге - 12 старых британских пенсов, в сутках - 24 (12 × 2) часа и многие другие предметы, считаемые по дюжине , брутто ( 144 , квадратный). из 12) или большой брутто ( 1728 , куб из 12). Римляне использовали систему фракции на основе 12, в том числе Uncia , который стал как английские словами унции и дюйм . До десятичной системы , Ирландия и Соединенное Королевство использовали смешанную двенадцатерично-десятичную денежную систему (12 пенсов = 1 шиллинг, 20 шиллингов или 240 пенсов к фунту стерлингов или ирландскому фунту ), а Карл Великий установил денежную систему, которая также имела смешанную основу. из двадцати двенадцати, остатки которых сохранились во многих местах.
Таблица единиц из базы 12 | |||||
---|---|---|---|---|---|
Относительное значение | Французская единица длины | Английская единица длины | Английская (тройская) единица веса | Римская единица веса | Английская единица массы |
12 0 | пестрый | стопа | фунт | Весы | |
12 -1 | мешок | дюйм | унция | uncia | уклоняться |
12 -2 | Ligne | линия | 2 сомнения | 2 скрупулы | слизняк |
12 −3 | точка | точка | семя | кремнезем |
Важность 12 приписывается количеству лунных циклов в году, а также тому факту, что люди имеют 12 костей пальцев ( фаланг ) на одной руке (по три на каждом из четырех пальцев). [7] [8] Можно сосчитать до 12, когда большой палец действует как указатель, по очереди касаясь каждой кости пальца. Традиционная система подсчета пальцев, все еще используемая во многих регионах Азии, работает таким образом и может помочь объяснить появление систем счисления на основе 12 и 60, помимо систем, основанных на 10, 20 и 5. В этой системе одна ( обычно правая) рука постоянно считает до 12, отображая количество итераций на другой (обычно левой) руке, пока не заполнятся пять десятков, то есть 60. [9] [10]
Обозначения и произношения
Трансдецимальные символы
В системе счисления основание (двенадцать для двенадцатеричной системы) должно быть записано как 10, но существует множество предложений о том, как записать двенадцатеричную систему десять и одиннадцать. [11]
Чтобы разрешить запись на пишущих машинках, буквы , такие как A и B (как в шестнадцатеричном формате ), Т и Е (инициалы десяти и одиннадцать), X и E (X от римской цифры на десять), или X и Z используются. Некоторые используют греческие буквы, такие как δ (от греческого δέκα «десять») и ε (от греческого ένδεκα «одиннадцать») или τ и ε . [11] Франк Эмерсон Эндрюс, ранний американский пропагандист двенадцатеричного, предложил и использовал в своей книге Новых номеров в X и E эл (сценарий Е, U + 2130 ). [12]
Эдна Крамер в ее книге 1951 Главный поток математики используется шестиконечная звездочка ( секстиль ) ⚹ и хэш (или) знак числа # . [11] Символы были выбраны потому, что они были доступны на некоторых пишущих машинках; они также находятся на кнопочных телефонах . [11] Это обозначение использовалось в публикациях Общества дюжины Америки ( DSA ) с 1974–2008 гг. [13] [14]
С 2008 по 2015 год DSA использовала а также , символы, разработанные Уильямом Аддисоном Двиггинсом . [11] [15]
Общество дюжины Великобритании ( DSGB ) предложило символы а также . [11] Это обозначение, полученное из арабских цифр при повороте на 180 °, было введено Исааком Питманом . [16] [11] [17] В марте 2013 года было внесено предложение о включении цифровых форм для десяти и одиннадцати, распространяемых Dozenal Society, в стандарт Unicode . [18] Из них формы British / Pitman были приняты для кодирования в виде символов в кодовых точках U + 218A ↊ ПОВОРОТНАЯ ЦИФРА ДВА иU + 218B ПОВОРОТНАЯ ЦИФРА ТРЕТЬЯ . Они были включены ввыпуск Unicode 8.0 в июне 2015 года [19] [20] и доступны в LaTeX как\textturntwo
и\textturnthree
. [21]
После того, как цифры Питмана были добавлены в Unicode, DSA провел голосование и затем начал публиковать контент, используя вместо этого цифры Питмана. [22] Они по-прежнему используют буквы X и E в тексте ASCII . Поскольку символы Unicode плохо поддерживаются, на этой странице используются «A» и «B» .
Другие предложения более креативны или эстетичны; например, многие не используют арабские цифры в соответствии с принципом «отдельной идентичности». [11]
Базовое обозначение
Также существуют различные предложения, как отличить двенадцатеричное число от десятичного. [23] Они включают выделение курсивом двенадцатеричных чисел « 54 = 64», добавление «точки Хамфри» ( точка с запятой вместо десятичной точки ) к двенадцатеричным числам «54; 6 = 64,5» или их комбинации. Другие используют нижний индекс или прикрепленные метки для обозначения основания, что позволяет представить больше десятичных и двенадцатеричных чисел (для отдельных букв «z» от «do z enal» используется, поскольку «d» будет означать десятичное) [23], например, « 54 z = 64 d , «54 12 = 64 10 » или «doz 54 = dec 64».
Произношение
Общество дюжины Америки предложило произносить десять и одиннадцать как «дек» и «эль». Для имен степеней двенадцати есть две выдающиеся системы.
Система до-гро-мо
В этой системе для дробей добавляется префикс e -. [15] [24]
Двенадцатеричный | Имя | Десятичный | Двенадцатеричная дробь | Имя |
---|---|---|---|---|
1; | один | 1 | ||
10; | делать | 12 | 0; 1 | эдо |
100; | Gro | 144 | 0; 01 | эгро |
1000; | мес | 1,728 | 0; 001 | эмо |
10,000; | до-мо | 20 736 | 0; 000,1 | эдо-мо |
100000; | Gro-mo | 248 832 | 0; 000,01 | egro-mo |
1000000; | би-мо | 2 985 984 | 0; 000 001 | Эби-Мо |
10,000,000; | do-bi-mo | 35 831 808 | 0; 0,000 001 | эдо-би-мо |
100000000; | Gro-bi-mo | 429 981 696 | 0; 00 000 001 | эгро-би-мо |
1,000,000,000; | три-мес | 5 159 780 352 | 0; 000 000 001 | этри-мо |
10,000,000,000; | do-tri-mo | 61 917 364 224 | 0; 0,000,000,001 | эдо-три-мо |
100000000000; | Gro-Tri-Mo | 743 008 370 688 | 0; 00 000 000 001 | эгро-три-мо |
1,000,000,000,000; | квадро | 8 916 100 448 256 | 0; 000 000 000 001 | Equad-mo |
10,000,000,000,000; | Do-quad-mo | 106 993 205 379 072 | 0; 0,000,000,000,001 | эдо-квад-мо |
100000000000000; | Gro-quad-mo | 1,283,918,464,548,864 | 0; 00,000,000,000,001 | egro-quad-mo |
1,000,000,000,000,000; | пента-мо | 15 407 021 574 586 368 | 0; 000 000 000 000 001 | эпента-мо |
10,000,000,000,000,000; | Do-Penta-Mo | 184 884 258 895 036 416 | 0; 0,000,000,000,000,001 | эдо-пента-мо |
100,000,000,000,000,000; | Gro-Penta-Mo | 2,218,611,106,740,436,992 | 0; 00,000,000,000,000,001 | эгро-пента-мо |
1,000,000,000,000,000,000; | гекса-мо | 26 623 333 280 885 243 904 | 0; 000000000000000001 | эхекса-мо |
Несколько цифр в этом ряду произносятся по-разному: 12 - «сделать два»; 30 - «три до»; 100 - «gro»; BA9 - это «el gro dek do девять»; B86 - «эль гро восемь до шесть»; 8BB, 15A - "восемь гро-эль-до-эль-мо, один гро-пять до дек"; и так далее. [24]
Систематическая дюжинальная номенклатура (SDN)
Эта система использует окончание -qua для положительных степеней числа 12 и окончание -cia для отрицательных степеней числа 12, а также расширение имен систематических элементов ИЮПАК (со слогами dec и lev для двух дополнительных цифр, необходимых для двенадцатеричной системы. ), чтобы выразить, какая мощность имеется в виду. [25] [26]
Двенадцатеричный | Имя | Десятичный | Двенадцатеричная дробь | Имя |
---|---|---|---|---|
1; | один | 1 | ||
10; | unqua | 12 | 0; 1 | uncia |
100; | биква | 144 | 0; 01 | Bicia |
1000; | триква | 1,728 | 0; 001 | Триша |
10,000; | квадква | 20 736 | 0; 000,1 | квадсия |
100000; | пентква | 248 832 | 0; 000,01 | пентча |
1000000; | геква | 2 985 984 | 0; 000 001 | гексия |
10,000,000; | септва | 35 831 808 | 0; 000 000,1 | сепсия |
100000000; | октва | 429 981 696 | 0; 000,000,01 | Octcia |
1,000,000,000; | Ennqua | 5 159 780 352 | 0; 000 000 001 | Enncia |
10,000,000,000; | Decqua | 61 917 364 224 | 0; 000 000 000,1 | Deccia |
100000000000; | levqua | 743 008 370 688 | 0; 000 000 000,01 | левча |
1,000,000,000,000; | unnilqua | 8 916 100 448 256 | 0; 000 000 000 001 | Unnilcia |
10,000,000,000,000; | Ununqua | 106 993 205 379 072 | 0; 000 000 000 000,1 | унунция |
Пропаганда и «дюжинализм»
Уильям Джеймс Сидис использовал 12 в качестве основы для своего сконструированного языка Vendergood в 1906 году, отметив, что это наименьшее число с четырьмя факторами и его преобладание в торговле. [27]
Аргументы в пользу двенадцатеричной системы были подробно изложены в книге Фрэнка Эмерсона Эндрюса 1935 года « Новые числа: как принятие двенадцатеричной системы упростит математику» . Эмерсон отметил, что из-за преобладания множителя двенадцать во многих традиционных единицах измерения веса и измерения многие вычислительные преимущества, заявленные для метрической системы, могут быть реализованы либо путем принятия весов и мер на основе десяти, либо путем принятия двенадцатеричная система счисления. [12]
И Общество дюжины Америки, и Общество дюжины Великобритании способствуют широкому внедрению системы двенадцати оснований. Они используют слово «дюжинал» вместо «двенадцатеричный», чтобы избежать более открытой терминологии с десятичным основанием. Однако этимология «дюжины» сама по себе также является выражением, основанным на терминологии десятичной системы, поскольку «дюжина» является прямым производным французского слова douzaine , производного от французского слова «двенадцать», douze , происходящего от латинского duodecim .
По крайней мере, еще с 1945 года некоторые члены Общества дюжины Америки и Общества дюжины Великобритании высказывали предположение, что более подходящим словом будет «унциальный». Uncial является производным от латинского слова uncia , означающего «одна двенадцатая», а также аналога латинского слова decima по основанию двенадцати , означающего «одна десятая». [28]
Математик и вычислитель в уме Александр Крейг Эйткен был ярым сторонником двенадцатеричной системы.
Двенадцатеричные таблицы легче освоить, чем десятичные; и в начальном обучении они были бы намного интереснее, так как маленькие дети найдут более увлекательные занятия с двенадцатью стержнями или кубиками, чем с десятью. Любой, у кого есть эти таблицы в команде, будет выполнять эти вычисления более чем в полтора раза быстрее в двенадцатеричной шкале, чем в десятичной. Это мой опыт; Я уверен, что тем более это будет опыт других.
- Эйткен, «Двенадцать и десятки» в «Слушателе» (25 января 1962 г.) [29]
Но последнее количественное преимущество, по моему собственному опыту, таково: в разнообразных и обширных вычислениях обычного и не слишком сложного типа, проводимых в течение многих лет, я прихожу к выводу, что эффективность десятичной системы может быть оценена на уровне около 65 или меньше, если мы присвоим 100 двенадцатеричной системе счисления.
- А.К. Эйткен, Дело против десятичного представления (1962) [30]
В СМИ
В американском телесериале «Маленькие двенадцать пальцев» « Рок в школе !» изобразил инопланетного ребенка, используя арифметику с основанием двенадцать, используя «дек», «эль» и «до» в качестве имен для десяти, одиннадцати и двенадцати, а скрипт-X и скрипт-E Эндрюса для цифровых символов. [31] [32]
Двенадцатеричные системы измерений
Предлагаемые дюжинами системы измерения включают в себя:
- Система TGM Тома Пендлбери [33] [26]
- Универсальная система юнитов Такаши Суги [34] [26]
Сравнение с другими системами счисления
У числа 12 шесть делителей: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 и 12 , из которых 2 и 3 простые . В десятичной системе есть только четыре множителя: 1 , 2 , 5 и 10 , из которых 2 и 5 простые. Вигесимал (основание 20) добавляет два множителя к десяти, а именно 4 и 20 , но без дополнительного простого множителя. Хотя у двадцати есть 6 множителей, два из них простые, как и двенадцать, это также намного большее основание, поэтому набор цифр и таблица умножения намного больше. У двоичного числа есть только два множителя: 1 и 2, последний из которых является простым. В шестнадцатеричной системе счисления (основание 16) есть пять множителей, добавляющих 4, 8 и 16 к числу 2, но без дополнительных простых чисел. Тригесимальная система (основание 30) - это наименьшая система, в которой есть три различных простых множителя (все три наименьших простых числа: 2, 3 и 5), а всего восемь множителей (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15). , и 30). Шестидесятеричная система, которую фактически использовали древние шумеры и вавилоняне, добавляет к этому четыре удобных множителя 4, 12, 20 и 60, но не новых простых множителей. Наименьшая система с четырьмя различными простыми множителями - это основание 210, и образец следует за примориалами . Во всех базовых системах есть сходство с представлением кратных чисел, которые на единицу меньше основания.
× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | А | B |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | А | B |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | А | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 1А |
3 | 3 | 6 | 9 | 10 | 13 | 16 | 19 | 20 | 23 | 26 год | 29 |
4 | 4 | 8 | 10 | 14 | 18 | 20 | 24 | 28 год | 30 | 34 | 38 |
5 | 5 | А | 13 | 18 | 21 год | 26 год | 2B | 34 | 39 | 42 | 47 |
6 | 6 | 10 | 16 | 20 | 26 год | 30 | 36 | 40 | 46 | 50 | 56 |
7 | 7 | 12 | 19 | 24 | 2B | 36 | 41 год | 48 | 53 | 5А | 65 |
8 | 8 | 14 | 20 | 28 год | 34 | 40 | 48 | 54 | 60 | 68 | 74 |
9 | 9 | 16 | 23 | 30 | 39 | 46 | 53 | 60 | 69 | 76 | 83 |
А | А | 18 | 26 год | 34 | 42 | 50 | 5А | 68 | 76 | 84 | 92 |
B | B | 1А | 29 | 38 | 47 | 56 | 65 | 74 | 83 | 92 | A1 |
Таблицы преобразования в десятичные и обратно
Для преобразования чисел между основаниями можно использовать общий алгоритм преобразования (см. Соответствующий раздел в позиционной системе обозначений ). В качестве альтернативы можно использовать таблицы преобразования цифр. Представленные ниже числа можно использовать для преобразования любого двенадцатеричного числа от 0; 01 до BBB, BBB; BB в десятичное или любого десятичного числа от 0,01 до 999 999,99 в двенадцатеричное. Чтобы использовать их, данное число необходимо сначала разложить на сумму чисел, каждое из которых содержит только одну значащую цифру. Например:
- 123 456,78 = 100 000 + 20 000 + 3 000 + 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0,08
Это разложение работает одинаково, независимо от того, в какой базе выражено число. Просто изолируйте каждую ненулевую цифру, добавляя к ней столько нулей, сколько необходимо, чтобы сохранить соответствующие значения разряда. Если цифры в данном числе включают нули (например, 102,304,05), они, конечно, не учитываются при разложении цифр (102,304,05 = 100,000 + 2,000 + 300 + 4 + 0,05). Затем таблицы преобразования цифр можно использовать для получения эквивалентного значения в целевой базе для каждой цифры. Если заданное число находится в двенадцатеричной системе счисления, а целевая база десятичная, мы получаем:
- (двенадцатеричный) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0; 7 + 0; 08 = (десятичный) 248832 + 41,472 + 5,184 + 576 + 60 + 6 + 0,58 3 333333333 ... + 0,0 5 5555555555 .. .
Теперь, поскольку слагаемые уже преобразованы в систему с основанием десять, обычная десятичная арифметика используется для выполнения сложения и перекомпоновки числа, в результате чего получается результат преобразования:
Двенадцатеричный -----> Десятичный
100 000 = 248 832 20 000 = 41 472 3000 = 5 184 400 = 576 50 = 60 + 6 = + 6 0; 7 = 0,58 3 333333333 ... 0; 08 = 0,0 5 5555555555 ...-------------------------------------------- 123 456; 78 = 296 130,63 8 888888888 ...
То есть (двенадцатеричное) 123 456,78 равно (десятичное) 296 130,63 8 ≈ 296 130,64
Если заданное число является десятичным, а целевая база - двенадцатеричной, метод в основном тот же. Используя таблицы преобразования цифр:
(десятичный) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0,08 = (двенадцатеричный) 49, A54 + B, 6A8 + 1,8A0 + 294 + 42 + 6 + 0; 8 4972 4972497249724972497 ... + 0 ; 0B62A68781B05915343A 0B62 ...
Однако, чтобы произвести эту сумму и перекомпоновать число, теперь необходимо использовать таблицы сложения для двенадцатеричной системы вместо таблиц сложения для десятичной дроби, с которыми большинство людей уже знакомо, потому что слагаемые теперь находятся в основе двенадцати и поэтому арифметика с ними также должна быть в двенадцатеричной системе счисления. В десятичной системе счисления 6 + 6 равно 12, а в двенадцатеричной - 10; Итак, если использовать десятичную арифметику с двенадцатеричными числами, можно получить неверный результат. Правильно выполняя арифметические действия в двенадцатеричном формате, можно получить результат:
Десятичный -----> Двенадцатеричный
100 000 = 49, A54 20000 = B, 6A8 3000 = 1,8A0 400 = 294 50 = 42 + 6 = + 6 0; 7 = 0,8 4972 4972497249724972497 ... 0; 08 = 0. 0B62A68781B05915343A 0B62 ...-------------------------------------------------- ------ 123 456,78 = 5B, 540,9 43A0B62A68781B059153 43A ...
То есть (десятичное) 123 456,78 равно (двенадцатеричное) 5B, 540; 9 43A0B62A68781B059153 ... ≈ 5B, 540; 94
Преобразование двенадцатеричных цифр в десятичные
Duod. | Десятичный | Duod. | Десятичный | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 000 000 | 2 985 984 | 100 000 | 248 832 | 10 000 | 20 736 | 1,000 | 1,728 | 100 | 144 | 10 | 12 | 1 | 1 | 0; 1 | 0,08 3 | 0; 01 | 0,0069 4 |
2 000 000 | 5 971 968 | 200 000 | 497 664 | 20 000 | 41 472 | 2 000 | 3 456 | 200 | 288 | 20 | 24 | 2 | 2 | 0; 2 | 0,1 6 | 0; 02 | 0,013 8 |
3 000 000 | 8 957 952 | 300 000 | 746 496 | 30 000 | 62 208 | 3 000 | 5 184 | 300 | 432 | 30 | 36 | 3 | 3 | 0; 3 | 0,25 | 0; 03 | 0,0208 3 |
4 000 000 | 11 943 936 | 400 000 | 995 328 | 40 000 | 82 944 | 4 000 | 6 912 | 400 | 576 | 40 | 48 | 4 | 4 | 0; 4 | 0. 3 | 0; 04 | 0,02 7 |
5 000 000 | 14 929 920 | 500 000 | 1,244,160 | 50 000 | 103 680 | 5 000 | 8 640 | 500 | 720 | 50 | 60 | 5 | 5 | 0; 5 | 0,41 6 | 0; 05 | 0,0347 2 |
6 000 000 | 17 915 904 | 600 000 | 1,492,992 | 60 000 | 124 416 | 6000 | 10 368 | 600 | 864 | 60 | 72 | 6 | 6 | 0; 6 | 0,5 | 0; 06 | 0,041 6 |
7 000 000 | 20 901 888 | 700 000 | 1,741,824 | 70 000 | 145 152 | 7 000 | 12 096 | 700 | 1 008 | 70 | 84 | 7 | 7 | 0; 7 | 0,58 3 | 0; 07 | 0,0486 1 |
8 000 000 | 23 887 872 | 800 000 | 1 990 656 | 80 000 | 165 888 | 8 000 | 13 824 | 800 | 1,152 | 80 | 96 | 8 | 8 | 0; 8 | 0. 6 | 0; 08 | 0,0 5 |
9 000 000 | 26 873 856 | 900 000 | 2 239 488 | 90 000 | 186 624 | 9 000 | 15,552 | 900 | 1,296 | 90 | 108 | 9 | 9 | 0; 9 | 0,75 | 0; 09 | 0,0625 |
000 000 австралийских долларов | 29 859 840 | A00,000 | 2 488 320 | A0,000 | 207 360 | А, 000 | 17 280 | A00 | 1,440 | A0 | 120 | А | 10 | 0; А | 0,8 3 | 0; 0A | 0,069 4 |
B, 000 000 | 32 845 824 | B00,000 | 2 737 152 | B0,000 | 228 096 | Млрд, 000 | 19 008 | B00 | 1,584 | B0 | 132 | B | 11 | 0; B | 0,91 6 | 0; 0B | 0,0763 8 |
Преобразование десятичных цифр в двенадцатеричные
Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Duod. | Декабрь | Двенадцатеричный | Декабрь | Двенадцатеричный |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 000 000 | 402 854 | 100 000 | 49, А54 | 10 000 | 5 954 | 1,000 | 6B4 | 100 | 84 | 10 | А | 1 | 1 | 0,1 | 0; 1 2497 | 0,01 | 0; 0 15343A0B62A68781B059 |
2 000 000 | 805,4A8 | 200 000 | 97,8A8 | 20 000 | В, 6А8 | 2 000 | 1,1A8 | 200 | 148 | 20 | 18 | 2 | 2 | 0,2 | 0; 2497 | 0,02 | 0; 0 2A68781B05915343A0B6 |
3 000 000 | 1 008 140 | 300 000 | 125 740 | 30 000 | 15 440 | 3 000 | 1,8A0 | 300 | 210 | 30 | 26 год | 3 | 3 | 0,3 | 0; 3 7249 | 0,03 | 0; 0 43A0B62A68781B059153 |
4 000 000 | 1,40А, 994 | 400 000 | 173 594 | 40 000 | 1Б, 194 | 4 000 | 2394 | 400 | 294 | 40 | 34 | 4 | 4 | 0,4 | 0; 4972 | 0,04 | 0; 05915343A0B62A68781B |
5 000 000 | 1,811,628 | 500 000 | 201 428 | 50 000 | 24, В28 | 5 000 | 2, А88 | 500 | 358 | 50 | 42 | 5 | 5 | 0,5 | 0; 6 | 0,05 | 0; 0 7249 |
6 000 000 | 2,014,280 | 600 000 | 24Б, 280 | 60 000 | 2А, 880 | 6000 | 3,580 | 600 | 420 | 60 | 50 | 6 | 6 | 0,6 | 0; 7249 | 0,06 | 0; 0 8781B05915343A0B62A6 |
7 000 000 | 2,416, B14 | 700 000 | 299 114 | 70 000 | 34 614 | 7 000 | 4 074 | 700 | 4A4 | 70 | 5А | 7 | 7 | 0,7 | 0; 8 4972 | 0,07 | 0; 0 A0B62A68781B05915343 |
8 000 000 | 2 819 768 | 800 000 | 326, B68 | 80 000 | 3А, 368 | 8 000 | 4 768 | 800 | 568 | 80 | 68 | 8 | 8 | 0,8 | 0; 9724 | 0,08 | 0; 0B62A68781B05915343A |
9 000 000 | 3 020 400 | 900 000 | 374, А00 | 90 000 | 44 100 | 9 000 | 5 260 | 900 | 630 | 90 | 76 | 9 | 9 | 0,9 | 0; А 9724 | 0,09 | 0; 1 0B62A68781B05915343A |
Правила делимости
(В этом разделе все числа записываются в двенадцатеричной системе счисления)
Этот раздел посвящен правилам делимости в двенадцатеричной системе счисления.
- 1
Любое целое число делится на 1 .
- 2
Если число делится на 2, то единичная цифра этого числа будет 0, 2, 4, 6, 8 или A.
- 3
Если число делится на 3, то единичная цифра этого числа будет 0, 3, 6 или 9.
- 4
Если число делится на 4, то единичная цифра этого числа будет 0, 4 или 8.
- 5
Чтобы проверить делимость на 5, удвойте цифру единиц и вычтите результат из числа, образованного остальными цифрами. Если результат делится на 5, то данное число делится на 5.
Это правило происходит от 21 (5 * 5)
Примеры:
13 rule => | 1-2 * 3 | = 5, которое делится на 5.
2BA5 rule => | 2BA-2 * 5 | = 2B0 (5 * 70), который делится на 5 (или примените правило к 2B0).
ИЛИ ЖЕ
Чтобы проверить делимость на 5, вычтите цифру единиц и тройку результата из числа, образованного остальными цифрами. Если результат делится на 5, то данное число делится на 5.
Это правило происходит от 13 (5 * 3)
Примеры:
13 rule => | 3-3 * 1 | = 0, который делится на 5.
2BA5 rule => | 5-3 * 2BA | = 8B1 (5 * 195), который делится на 5 (или примените правило к 8B1).
ИЛИ ЖЕ
Сформируйте чередующуюся сумму блоков по два справа налево. Если результат делится на 5, то данное число делится на 5.
Это правило происходит от 101, поскольку 101 = 5 * 25, поэтому это правило также можно проверить на делимость на 25.
Пример:
97,374,627 => 27-46 + 37-97 = -7B, что делится на 5.
- 6
Если число делится на 6, то единичная цифра этого числа будет 0 или 6.
- 7
Чтобы проверить делимость на 7, утроите цифру единиц и прибавьте результат к числу, образованному остальными цифрами. Если результат делится на 7, то данное число делится на 7.
Это правило происходит от 2B (7 * 5)
Примеры:
12 правило => | 3 * 2 + 1 | = 7, что делится на 7. Правило
271B => | 3 * B + 271 | = 29A (7 * 4A), которое делится на 7 (или примените правило к 29A).
ИЛИ ЖЕ
Чтобы проверить делимость на 7, вычтите цифру единиц и удвойте результат из числа, образованного остальными цифрами. Если результат делится на 7, то данное число делится на 7.
Это правило происходит от 12 (7 * 2)
Примеры:
12 rule => | 2-2 * 1 | = 0, который делится на 7. Правило
271B => | B-2 * 271 | = 513 (7 * 89), что делится на 7 (или примените правило к 513).
ИЛИ ЖЕ
Чтобы проверить делимость на 7, необходимо 4 раза увеличить цифру единиц и вычесть результат из числа, образованного остальными цифрами. Если результат делится на 7, то данное число делится на 7.
Это правило происходит от 41 (7 * 7)
Примеры:
12 rule => | 4 * 2-1 | = 7, что делится на 7. Правило
271B => | 4 * B-271 | = 235 (7 * 3B), которое делится на 7 (или примените правило к 235).
ИЛИ ЖЕ
Сформируйте чередующуюся сумму блоков по три справа налево. Если результат делится на 7, то данное число делится на 7.
Это правило происходит от 1001, поскольку 1001 = 7 * 11 * 17, поэтому это правило также можно проверить на делимость на 11 и 17.
Пример:
386,967,443 => 443-967 + 386 = -168, что делится на 7.
- 8
Если двухзначное число, образованное двумя последними цифрами данного числа, делится на 8, то данное число делится на 8.
Пример: 1B48, 4120
rule => так как 48 (8 * 7) делится на 8, то 1B48 делится на 8. rule => так как 20 (8 * 3) делится на 8, то 4120 делится на 8.
- 9
Если двухзначное число, образованное двумя последними цифрами данного числа, делится на 9, то данное число делится на 9.
Пример: 7423, 8330
rule => так как 23 (9 * 3) делится на 9, то 7423 делится на 9. rule => так как 30 (9 * 4) делится на 9, то 8330 делится на 9.
- А
Если число делится на 2 и 5 , то число делится на A .
- B
Если сумма цифр числа делится на B, то число делится на B (эквивалент выбрасывания девяток в десятичной системе счисления).
Пример: 29, 61B13
rule => 2 + 9 = B, которое делится на B, то 29 делится на B. rule => 6 + 1 + B + 1 + 3 = 1A, который делится на B, то 61B13 делится на B.
- 10
Если число делится на 10, то единичной цифрой этого числа будет 0.
- 11
Просуммируйте альтернативные цифры и вычтите суммы. Если результат делится на 11, число делится на 11 (эквивалент делимости на одиннадцать в десятичной системе счисления).
Пример: 66, 9427
правило => | 6-6 | = 0, что делится на 11, то 66 делится на 11. правило => | (9 + 2) - (4 + 7) | = | AA | = 0, что делится на 11, то 9427 делится на 11.
- 12
Если число делится на 2 и 7, то число делится на 12 .
- 13
Если число делится на 3 и 5, то число делится на 13 .
- 14
Если двухзначное число, образованное двумя последними цифрами данного числа, делится на 14, то данное число делится на 14.
Пример: 1468, 7394
rule => так как 68 (14 * 5) делится на 14, то 1468 делится на 14. rule => так как 94 (14 * 7) делится на 14, то 7394 делится на 14.
Дроби и иррациональные числа
Фракции
Двенадцатеричные дроби могут быть простыми:
- 1/2 = 0; 6
- 1/3 = 0; 4
- 1/4 = 0; 3
- 1/6 = 0; 2
- 1/8 = 0; 16
- 1/9 = 0; 14
- 1/10 = 0; 1 (это двенадцатый, 1/А десятый)
- 1/14 = 0; 09 (это шестнадцатый, 1/12 четырнадцатый)
или сложный:
- 1/5 = 0; 249724972497 ... повторяющееся (округлено до 0,24 А)
- 1/7 = 0; 186A35186A35 ... повторяющееся (округлено до 0,187)
- 1/А = 0; 1249724972497 ... повторяющееся (округлено до 0,125)
- 1/B = 0; 111111111111 ... повторяющееся (округлено до 0,111)
- 1/11 = 0; 0B0B0B0B0B0B ... повторяющийся (с округлением до 0,0B1)
- 1/12 = 0; 0A35186A35186 ... повторяющееся (округлено до 0,0A3)
- 1/13 = 0; 0972497249724 ... повторяющееся (округлено до 0,097)
Примеры в двенадцатеричном формате | Десятичный эквивалент |
---|---|
1 × ( 5/8) = 0; 76 | 1 × ( 5/8) = 0; 625 |
100 × ( 5/8) = 76 | 144 × ( 5/8) = 90 |
576/9 = 76 | 810/9 = 90 |
400/9 = 54 | 576/9 = 64 |
1А; 6 + 7; 6 = 26 | 22,5 + 7,5 = 30 |
Как объяснено в повторяющихся знаков после запятой , всякий раз , когда несократимая дробь записывается в поразрядной точке записи в любой системе счисления, фракция может быть выражена точно ( не завершится) , если и только если все простые множители ее знаменатель также простые множители основания. Таким образом, в системе с десятичным основанием (= 2 × 5) дроби, знаменатели которых состоят исключительно из кратных 2 и 5, оканчиваются: 1/8 знак равно 1/(2 × 2 × 2), 1/20 знак равно 1/(2 × 2 × 5) а также 1/500 знак равно 1/(2 × 2 × 5 × 5 × 5) может быть выражено точно как 0,125, 0,05 и 0,002 соответственно. 1/3 а также 1/7однако повторяются (0,333 ... и 0,142857142857 ...). В двенадцатеричной системе (= 2 × 2 × 3) 1/8 точно; 1/20 а также 1/500 повторяются, потому что они включают 5 как фактор; 1/3точно; а также 1/7 повторяется, как и в десятичной системе счисления.
Число знаменателей, которые дают завершающие дроби в пределах заданного числа цифр, скажем n , в базе b - это количество делителей (делителей) числа b n , n- й степени основания b (хотя сюда входит делитель 1, который не дает дробей при использовании в качестве знаменателя). Число факторов b n дается с использованием его разложения на простые множители.
Для десятичного числа 10 n = 2 n × 5 n . Количество делителей находится путем прибавления единицы к каждой экспоненте каждого простого числа и умножения полученных величин вместе, так что количество делителей 10 n равно ( n + 1) ( n + 1) = ( n + 1) 2 .
Например, число 8 является множителем 10 3 (1000), поэтому 1/8 и другие дроби со знаминателем 8 не могут требовать более 3 десятичных десятичных цифр для завершения. 5/8 = 0,625 десять
Для двенадцатеричной системы 12 n = 2 2 n × 3 n . Это имеет (2 n + 1) ( n + 1) делителей. Знаменатель выборки, равный 8, является коэффициентом брутто (12 2 = 144), поэтому для завершения восьмых не может быть более двух двенадцатеричных дробных знаков. 5/8 = 0; 76 двенадцать
Поскольку и десять, и двенадцать имеют два уникальных простых множителя, количество делителей b n для b = 10 или 12 возрастает квадратично с показателем n (другими словами, порядка n 2 ).
Повторяющиеся цифры
Общество дюжины Америки утверждает, что множитель 3 чаще встречается в реальных задачах деления, чем множитель 5. [35] Таким образом, в практических приложениях повторение десятичных знаков встречается реже при использовании двенадцатеричной системы счисления. Сторонники двенадцатеричной системы утверждают, что это особенно верно в отношении финансовых расчетов, в которых часто используются двенадцать месяцев в году.
Однако, когда повторяющиеся фракции действительно происходят в двенадцатеричном обозначениях, они менее вероятно, имеет очень короткий период , чем в десятичной системе счисления, поскольку 12 (двенадцать) между двумя простыми числами , 11 (одиннадцать) и 13 (тринадцать), в то время как десять являются рядом с составным числом 9 . Тем не менее, наличие более короткого или более длительного периода не устраняет основного неудобства, заключающегося в том, что нельзя получить конечное представление для таких дробей в заданной базе (поэтому округление , которое вносит неточность, необходимо для обработки их в расчетах), и в целом одно с большей вероятностью придется иметь дело с бесконечными повторяющимися цифрами, когда дроби выражаются в десятичном виде, чем в двенадцатеричном, потому что одно из каждых трех последовательных чисел содержит простой множитель 3 в своей факторизации, тогда как только одно из каждых пяти содержит простой множитель 5 . Все другие простые множители, кроме 2, не разделяются ни десятью, ни двенадцатью, поэтому они не влияют на относительную вероятность встретить повторяющиеся цифры (любая несократимая дробь, которая содержит любой из этих других множителей в своем знаменателе, будет повторяться в любом основании). Кроме того, простой множитель 2 появляется дважды при разложении двенадцати и только один раз при разложении десяти; это означает, что большинство дробей, знаменатели которых являются степенями двойки, будут иметь более короткое и удобное завершающее представление в двенадцатеричном виде, чем в десятичном (например, 1 / (2 2 ) = 0,25 десять = 0,3 двенадцать ; 1 / (2 3 ) = 0,125 десять = 0,16 двенадцать ; 1 / (2 4 ) = 0,0625 10 = 0,09 12 ; 1 / (2 5 ) = 0,03125 10 = 0,046 12 и т. Д.).
Основание десятичной дроби. Простые множители основания: 2 , 5. Простые множители единицы под основанием: 3. Простые множители единицы над основанием: 11. Все остальные простые числа: 7 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31. | Двенадцатеричное основание. Простые множители основания: 2 , 3. Простые множители единицы ниже основания: B. Простые множители единицы над основанием: 11. Все остальные простые числа: 5 , 7 , 15 , 17 , 1B , 25 , 27. | ||||
Доля | Простые множители знаменателя | Позиционное представительство | Позиционное представительство | Простые множители знаменателя | Доля |
---|---|---|---|---|---|
1/2 | 2 | 0,5 | 0; 6 | 2 | 1/2 |
1/3 | 3 | 0. 3 | 0; 4 | 3 | 1/3 |
1/4 | 2 | 0,25 | 0; 3 | 2 | 1/4 |
1/5 | 5 | 0,2 | 0; 2497 | 5 | 1/5 |
1/6 | 2 , 3 | 0,1 6 | 0; 2 | 2 , 3 | 1/6 |
1/7 | 7 | 0. 142857 | 0; 186A35 | 7 | 1/7 |
1/8 | 2 | 0,125 | 0; 16 | 2 | 1/8 |
1/9 | 3 | 0. 1 | 0; 14 | 3 | 1/9 |
1/10 | 2 , 5 | 0,1 | 0; 1 2497 | 2 , 5 | 1 / А |
1/11 | 11 | 0. 09 | 0; 1 | B | 1 / B |
1/12 | 2 , 3 | 0,08 3 | 0; 1 | 2 , 3 | 1/10 |
1/13 | 13 | 0. 076923 | 0; 0B | 11 | 1/11 |
1/14 | 2 , 7 | 0,0 714285 | 0; 0 A35186 | 2 , 7 | 1/12 |
1/15 | 3 , 5 | 0,0 6 | 0; 0 9724 | 3 , 5 | 1/13 |
1/16 | 2 | 0,0625 | 0; 09 | 2 | 1/14 |
1/17 | 17 | 0. 0588235294117647 | 0; 08579214B36429A7 | 15 | 1/15 |
1/18 | 2 , 3 | 0,0 5 | 0; 08 | 2 , 3 | 1/16 |
1/19 | 19 | 0. 052631578947368421 | 0; 076B45 | 17 | 1/17 |
1/20 | 2 , 5 | 0,05 | 0; 0 7249 | 2 , 5 | 1/18 |
1/21 | 3 , 7 | 0. 047619 | 0; 0 6A3518 | 3 , 7 | 1/19 |
1/22 | 2 , 11 | 0,0 45 | 0; 0 6 | 2 , Б | 1 / 1А |
1/23 | 23 | 0. 0434782608695652173913 | 0; 06316948421 | 1B | 1 / 1B |
1/24 | 2 , 3 | 0,041 6 | 0; 06 | 2 , 3 | 1/20 |
1/25 | 5 | 0,04 | 0; 05915343A0B62A68781B | 5 | 1/21 |
1/26 | 2 , 13 | 0,0 384615 | 0; 0 56 | 2 , 11 | 1/22 |
1/27 | 3 | 0. 037 | 0; 054 | 3 | 1/23 |
1/28 | 2 , 7 | 0,03 571428 | 0; 0 5186A3 | 2 , 7 | 1/24 |
29 января | 29 | 0. 0344827586206896551724137931 | 0; 04B7 | 25 | 1/25 |
1/30 | 2 , 3 , 5 | 0,0 3 | 0; 0 4972 | 2 , 3 , 5 | 1/26 |
1/31 | 31 год | 0. 032258064516129 | 0; 0478AA093598166B74311B28623A55 | 27 | 1/27 |
1/32 | 2 | 0,03125 | 0; 046 | 2 | 1/28 |
1/33 | 3 , 11 | 0. 03 | 0; 0 4 | 3 , Б | 29 января |
1/34 | 2 , 17 | 0,0 2941176470588235 | 0; 0 429A708579214B36 | 2 , 15 | 1 / 2А |
1/35 | 5 , 7 | 0,0 285714 | 0; 0414559B3931 | 5 , 7 | 1 / 2B |
1/36 | 2 , 3 | 0,02 7 | 0; 04 | 2 , 3 | 1/30 |
Длина двенадцатеричного периода 1 / n (по основанию 10)
- 0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (последовательность A246004 в OEIS )
Длина двенадцатеричного периода 1 / ( n- е простое число) равно (по основанию 10)
- 0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114, 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ... (последовательность A246489 в OEIS )
Наименьшее простое число с двенадцатеричным периодом n (по основанию 10)
- 11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 29043636306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (последовательность A252170 в OEIS )
Иррациональные числа
Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и двенадцатеричную) не прекращаются и не повторяются . В следующей таблице приведены первые цифры некоторых важных алгебраических и трансцендентных чисел как в десятичном, так и в двенадцатеричном формате.
Алгебраическое иррациональное число | В десятичном | В двенадцатеричной системе счисления |
---|---|---|
√ 2 , квадратный корень из 2 | 1,414213562373 ... | 1; 4B79170A07B8 ... |
φ (фи), золотое сечение = | 1.618033988749 ... | 1; 74BB6772802A ... |
Трансцендентное число | В десятичном | В двенадцатеричной системе счисления |
π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру. | 3,141592653589 ... | 3; 184809493B91 ... |
e , основание натурального логарифма | 2,718281828459 ... | 2; 875236069821 ... |
Смотрите также
- Senary (база 6)
- Десятичный (основание 10)
- Шестнадцатеричный (основание 16)
- Вигесимал (основание 20)
- Шестидесятеричный (основание 60)
Рекомендации
- ↑ Георгий Дворский (18 января 2013 г.). «Почему мы должны перейти на систему подсчета Base-12» . Архивировано 21 января 2013 года . Проверено 21 декабря 2013 .
- ^ Мацусита, Сюдзи (1998). Десятичное и двенадцатеричное: взаимодействие двух систем счисления . 2-е заседание AFLANG, октябрь 1998 г., Токио. Архивировано из оригинала на 2008-10-05 . Проверено 29 мая 2011 .
- ^ Мазодон, Мартин (2002). «Принципы строительства на языке тибето-бирманских языков». Во Франсуа, Жак (ред.). La Pluralité (PDF) . Левен: Петерс. С. 91–119. ISBN 90-429-1295-2.
- ^ фон Менгден, Фердинанд (2006). «Особенности древнеанглийской системы счисления». В Николаусе Ритте; Герберт Шендл; Кристиан Дальтон-Паффер; Дитер Кастовский (ред.). Средневековый английский язык и его наследие: значение структуры и механизмы изменения . Исследования в области английского средневекового языка и литературы. 16 . Франкфурт: Питер Ланг. С. 125–145.
- ^ фон Менгден, Фердинанд (2010). Кардинальные числа: древнеанглийский язык с кросс-лингвистической точки зрения . Темы в английской лингвистике. 67 . Берлин; Нью-Йорк: Де Грюйтер Мутон. С. 159–161.
- ^ Гордон, Э.В. (1957). Введение в древнескандинавский язык . Оксфорд: Claredon Press. С. 292–293.
- ^ Питтман, Ричард (1990). «Происхождение месопотамских двенадцатеричных и шестидесятеричных систем счета». Филиппинский журнал лингвистики . 21 (1): 97.
- ^ Нисикава, Ёсиаки (2002). «ヒ マ ラ ヤ の 満 月 と 十二 進 法» [Полнолуние в Гималаях и двенадцатеричная система] (на японском). Архивировано из оригинального 29 марта 2008 года . Проверено 24 марта 2008 .
- ^ Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-39340-1. Перевод с французского Дэвида Беллоса, Э. Ф. Хардинга, Софи Вуд и Яна Монка.
- ^ Мейси, Сэмюэл Л. (1989). Динамика прогресса: время, метод и мера . Атланта, Джорджия: Издательство Университета Джорджии. п. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8.
- ^ Б с д е е г ч Де Влигер, Майкл (2010). «Обзор символики» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 4X [58] (2).
- ^ а б Эндрюс, Фрэнк Эмерсон (1935). Новые числа: как принятие двенадцатеричной базы (12) упростило бы математику . п. 52.
- ^ «Ежегодное собрание 1973 года и собрание правления» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 25 [29] (1). 1974 г.
- ^ Де Влигер, Майкл (2008). "Классика" (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 49 [57] (2).
- ^ а б «Мо для Мегро» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 1 (1). 1945 г.
- ^ Питман, Исаак (ред.): Тройной (двенадцать грубых) драгоценных камней мудрости. Лондон 1860 г.
- ^ Питман, Исаак (1947). «Счетная реформа [перепечатка 1857 г.]» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 3 (2).
- ^ Карл Пентцлин (30.03.2013). «Предложение кодировать формы двенадцатеричных цифр в ПСК» (PDF) . ISO / IEC JTC1 / SC2 / WG2, документ N4399 . Проверено 30 мая 2016 .
- ^ «Стандарт Unicode, версия 8.0: числовые формы» (PDF) . Консорциум Unicode . Проверено 30 мая 2016 .
- ^ «Стандарт Unicode 8.0» (PDF) . Проверено 18 июля 2014 .
- ^ Скотт Пакин (2009). «Полный список символов LATEX» (PDF) . Проверено 30 мая 2016 .
- ^ "Что DSA должен делать с трансдецимальными символами?" . Общество дюжины Америки . Проверено 1 января 2018 .
- ^ а б Волан, Джон (июль 2015). «Базовые схемы аннотаций» (PDF) . Бюллетень двенадцатиперстной кишки . 62 .
- ^ а б Циркель, Джин (2010). "Как вы произносите дюжины?" (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 4E [59] (2).
- ^ «Систематическая дюжинальная номенклатура и другие номенклатурные системы» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . Проверено 28 июля 2019 .
- ^ а б в Гудман, Дональд (2016). «Руководство по системе дюжин» (PDF) . Дюжина Общество Америки . Проверено 27 апреля 2018 года .
- ^ The Prodigy (Биография WJS) пг [42]
- ^ Уильям С. Кросби; «Унциальные записи измученного пехотинца» , Двенадцатеричный бюллетень , том 1, выпуск 2, июнь 1945 г., стр. 9.
- ^ AC Айткен (25 января 1962) "Twelves и десятки" Слушатель .
- ^ AC Aitken (1962) Дело против десятичной системы . Эдинбург / Лондон: Оливер и Бойд.
- ^ "SchoolhouseRock - Маленькие двенадцать пальцев" . 6 февраля 2010 года Архивировано из оригинала 6 февраля 2010 года.
- ^ Беллос, Алекс (2011-04-04). Приключения Алекса в стране чисел . A&C Black. п. 50. ISBN 978-1-4088-0959-4.
- ^ Пендлбери, Том; Гудман, Дональд (2012). «TGM: последовательная дюжина метрологии» (PDF) . Общество дюжины Великобритании.
- ^ Шуга, Такаши (22 мая 2019 г.). «Предложение по универсальной системе единиц» (PDF) .
- ^ Майкл Томас Де Флигер (30 ноября 2011 г.). «Дюжина часто задаваемых вопросов» (PDF) . Общество дюжины Америки.
дальнейшее чтение
- Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2016]. «Смена базы» . квадиблок . Архивировано 17 июля 2018 года . Проверено 17 июля 2018 .
- Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2005]. «Компьютерная арифметика» . квадиблок . Первые дни шестнадцатеричной системы. Архивировано 16 июля 2018 года . Проверено 16 июля 2018 . (NB. Также есть информация о двенадцатеричных представлениях.)
Внешние ссылки
- Общество дюжины Америки
- Дюжинальное общество Великобритании
- Десятичный калькулятор
- Исчерпывающий обзор дюжинных и трансдецимальных символов