Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Базовая теория чисел влиятельная книга [1] по Вейль , изложению алгебраической теории чисел и полей классов теории , с особым акцентом на оценки -theoretic методов. Частично основанный на курсе, преподававшемся в Принстонском университете в 1961-1919 годах, он появился как том 144 всерии статей Спрингера Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . [2] Подход обрабатывает все «A-поля» или глобальные поля , что означает конечные алгебраические расширения поля рациональных чисел и поля рациональных функций.одной переменной с конечным полем констант. Теория развивается единообразно, начиная с топологических полей, свойств меры Хаара на локально компактных полях , основных теорем адельной и идеальной теории чисел и теории полей классов через теорию простых алгебр над локальными и глобальными полями. Слово «базовый» в названии ближе по значению к «основополагающему», чем «элементарному», и, возможно, лучше всего интерпретируется как означающее, что разработанный материал является основополагающим для развития теорий автоморфных форм , теории представлений алгебраических групп., и более сложные темы по алгебраической теории чисел. Стиль - строгий, с узкой концентрацией на логически последовательном развитии теории и, по сути, без примеров.

Математический контекст и цель [ править ]

В предисловии автор объясняет, что вместо «бесполезной и невыполнимой задачи» улучшения классической трактовки Гекке теории алгебраических чисел [3] [4] он «скорее попытался сделать выводы из событий последних тридцати лет. , благодаря чему локально компактные группы, мера и интегрирование играют все более важную роль в классической теории чисел ». Вейль продолжает объяснять точку зрения, выросшую из работ Хензеля , Хассе , [5] [6] Шевалле , [7] Артина , [8] Ивасавы , [9] [10] Тейт ,[11] и Тамагава [12] [13], в которых действительные числа можно рассматривать как одно из бесконечного множества различных дополнений рациональных чисел, без каких-либо логических оснований отдавать предпочтение ему перед различными p-адическими дополнениями. В этом случае аделы (или векторы оценки ) дают естественный локально компактныйкольцо, в котором все оценки объединены единым последовательным образом, в котором они «сотрудничают для достижения общей цели». Удаление действительных чисел с пьедестала и размещение их рядом с p-адическими числами естественным образом ведет - «само собой разумеется» к развитию теории функциональных полей над конечными полями в «полностью одновременном рассмотрении числовых полей». Поразительно выбрав формулировку предисловия, написанного в США в 1967 году, автор решает довести до конца именно эту точку зрения, объясняя, что два класса глобальных полей«Должно быть предоставлено полностью одновременное лечение […] вместо изолированного статуса, и в лучшем случае отдельные, но равные возможности, которые до сих пор были их уделом. То, что обе расы не проиграют от такого обращения, а выиграют от этого, - это тот факт, который, я надеюсь, ясно станет очевидным из этой книги ».

После Второй мировой войны ряд достижений в теории полей классов уменьшил значение циклических алгебр (и, в более общем плане, алгебр скрещенных произведений ), которые определяются в терминах числового поля в доказательствах теории полей классов. Вместо Когомологической формализм стал более значимой частью локальной и глобальной теории полей классов, в частности , в работе Hochschild и Накаяма , [14] Вейль , [15] Артин , [16] и Тэйт [11] в период 1950-1952.

Наряду с желанием рассматривать поля алгебраических чисел наряду с функциональными полями над конечными полями, особое внимание уделяется работе Шевалле . Для того чтобы получить теоремы о глобальной теории полей классов от тех локальной теории полей классов , Шевалье представил то , что он назвал ЭЛЕМЕНТ IDEAL, позже названный идель , по Хассе предложению «s. [17] идель группа из числового поля впервые была введена Chevalleyчтобы описать глобальную теорию поля классов для бесконечных расширений, но несколько лет спустя он использовал ее по-новому, чтобы вывести глобальную теорию поля классов из локальной теории поля классов. Вейл упомянул эту (неопубликованную) работу как существенное влияние на выбор некоторых методов лечения, которые он использует.

Прием [ править ]

Первое издание было рецензировано Джорджем Ваплзом для математических обзоров и Гельмутом Кохом для Zentralblatt . Более поздние издания были рецензированы Фернандо К. Гувеа для Математической ассоциации Америки и У. Цинком и Гельмутом Кохом для Zentralblatt ; в своей рецензии на второе издание Кох делает замечание: « Шафаревич показал мне первое издание осенью 1967 года в Москве и сказал, что отныне эта книга будет книгой по теории поля классов». [ необходима цитата ]Последовательность лечения и некоторые его отличительные особенности были подчеркнуты несколькими рецензентами, при этом Кох сказал: «Эта книга написана в духе начала сороковых годов, и именно это делает ее ценным источником информации для всех, кто работает над проблемами, связанными с числовыми и функциональными полями ". [ необходима цитата ]

Содержание [ править ]

Грубо говоря, первая половина книги современна в его последовательном применении Адельная и Ид è ЛИК методов и одновременного лечения полей алгебраических чисел и полей рациональных функций над конечными полями. Вторая половина, возможно, предшествует современности в своем развитии простых алгебр и теории полей классов без языка когомологий и без языка когомологий Галуа.в частности. Автор признает это как компромисс, поясняя, что «систематическая разработка такого подхода означала бы погрузку большого количества ненужного оборудования на корабль, который казался хорошо оборудованным для этого конкретного рейса; вместо того, чтобы сделать его более мореходным, он мог бы его потопить ». Изучение теории полей классов использует аналитические методы как для коммутативных полей, так и для простых алгебр. Эти методы показывают свою силу в предоставлении первого единого доказательства того, что если K / k - конечное нормальное расширение A-полей, то любой автоморфизм K над k индуцируется автоморфизмом Фробениусадля бесконечного множества мест K. Этот подход также позволяет значительно более простое и логичное доказательство алгебраических утверждений, например результата о том, что простая алгебра над A-полем расщепляется (глобально) тогда и только тогда, когда она расщепляется всюду локально. Систематическое использование простых алгебр также упрощает рассмотрение локальной теории полей классов . Например, проще доказать, что простая алгебра над локальным полем имеет неразветвленное поле расщепления, чем доказать соответствующее утверждение для классов 2-когомологий.

Глава I [ править ]

Книга начинается с формулировки Виттом доказательства Уэддербёрна, что конечное поле коммутативно ( «маленькая теорема Уэддербёрна »). [18] Свойства меры Хаара используются для доказательства того, что "локальные поля" (коммутативные поля, локально компактные при недискретной топологии) являются пополнениями A-полей. В частности - концепция, развитая позже, - это как раз те поля, локальная теория полей классов которых необходима для глобальной теории. Недискретные некоммутативные локально компактные поля тогда являются алгебрами с делением конечной размерности над локальным полем.

Глава II [ править ]

Изучаются конечномерные векторные пространства над локальными полями и алгебры с делением в топологии, однозначно определяемой топологией поля, решетки определяются топологически, в этом контексте доказывается аналог теоремы Минковского [19] и основные теоремы о группах характеров этих векторных пространств, которые в коммутативном одномерном случае сводятся к "самодуальности" для локальных полей.

Глава III [ править ]

Тензорные произведения используются для изучения расширений мест A-поля до мест конечного сепарабельного расширения поля, при этом более сложный неотделимый случай откладывается на потом.

Глава IV [ править ]

В этой главе вводятся топологическое кольцо аделей и идельная группа A-поля и доказываются следующие "основные теоремы".

  • и кольцо аделей, и группа иделей локально компактны;
  • A-поле, вложенное по диагонали, является дискретным и ко-компактным подкольцом своего кольца аделей;
  • кольцо аделей самодвойственно, что означает, что оно топологически изоморфно своему двойственному по Понтрягину , с аналогичными свойствами для конечномерных векторных пространств и алгебр над локальными полями.

Глава заканчивается обобщенной теоремой о единицах для A-полей, описывающей единицы в терминах оценки .

Глава V [ править ]

Эта глава немного отличается от одновременного рассмотрения числовых и функциональных полей. В настройке числового поля определяются решетки (то есть дробные идеалы ) и определяется объем меры Хаара фундаментальной области для решетки. Это используется для изучения дискриминанта расширения.

Глава VI [ править ]

В этой главе основное внимание уделяется случаю функционального поля; теорема Римана-Роха формулируется и доказывается в теории меры языка, с каноническим классом определяется как класс делителей нетривиальных характеров кольца аделей , тривиальными на встроенном поле.

Глава VII [ править ]

В дзете и L-функция (и аналогичные аналитические объекты) для А-полей выражены в терминах интегралов по идели группы. Разложение этих интегралов на произведения по всем оценкам и использование преобразований Фурье дает мероморфные продолжения и функциональные уравнения . Это дает, например, аналитическое продолжение в дедекиндовым дзета-функции на всей плоскости, наряду с его функциональным уравнением. Лечение здесь восходит в конечном итоге к предложению Артина и было развито в диссертации Тейта . [20] [21]

Глава VIII [ править ]

Разработаны формулы для локальных и глобальных дифференциалов и дискриминантов, теория ветвления и формула для рода алгебраического расширения функционального поля.

Глава IX [ править ]

Дается краткое описание простых алгебр, включая явные правила для циклических фактор-множеств.

Главы X и XI [ править ]

Дзета-функция простой алгебры над А-полем определяется и используется для доказательства дальнейших результатов по норме группы и группоид из максимальных идеалов в простой алгебре над А-полем.

Глава XII [ править ]

Закон взаимности в локальной теории полей классов над локальным полем в контексте спариванию мультипликативной группы поля и группы характеров в абсолютной группой Галуа в алгебраическом замыкании поля доказана. Теория ветвления для абелевых расширений разработана.

Глава XIII [ править ]

Глобальная теория полей классов для A-полей разработана с использованием пар из главы XII, в которой мультипликативные группы локальных полей заменены на группы идельных классов A-полей. Спаривание строится как произведение по местам локальных инвариантов Хассе .

Третье издание [ править ]

Добавлены некоторые ссылки, внесены некоторые незначительные исправления, добавлены некоторые комментарии и включены пять приложений, содержащих следующие материалы:

  • Символьная версия (локальной) теоремы о переносе и ее расширение до глобальной теоремы о переносе.
  • Теорема Шафаревича о строении групп Галуа локальных полей с использованием теории групп Вейля . [22]
  • Теоремы Тейта и Сена о распределении Эрбранда . [23]
  • Примеры L-функций с характером Грёссена .

[24]

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Weil, André (1973). Основная теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. DOI : 10.1007 / 978-3-662-05978-4 . ISBN 978-3-662-05980-7.
  2. ^ Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften .
  3. ^ Hecke, Эрих (1970). Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen (Второе издание оригинала 1923 г., с указателем) . Бронкс, Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co.
  4. ^ Hecke, Эрих, 1887-1947. (1981). Лекции по теории алгебраических чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90595-2. OCLC  7576150 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  5. ^ "Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнал Crelles) . 1930 (162): 169–184. 1930-01-01. DOI : 10,1515 / crll.1930.162.169 . ISSN 0075-4102 . S2CID 199546442 .  
  6. ^ "Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнал Crelles) . 1930 (162): 145–154. 1930-01-01. DOI : 10,1515 / crll.1930.162.145 . ISSN 0075-4102 . S2CID 116860448 .  
  7. ^ "Теория дю символ де рестес нормальных" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнал Crelles) . 1933 (169): 140–157. 1933-01-01. DOI : 10,1515 / crll.1933.169.140 . ISSN 0075-4102 . S2CID 115917687 .  
  8. ^ Артин, Эмиль (1929-12-01). "Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (на немецком языке). 7 (1): 46–51. DOI : 10.1007 / BF02941159 . ISSN 1865-8784 . S2CID 121475651 .  
  9. ^ Ивасава, Kenkichi (1953). «На кольцах векторов оценки». Анналы математики . 57 (2): 331–356. DOI : 10.2307 / 1969863 . JSTOR 1969863 . 
  10. ^ Ивасава, Kenkichi (1959). «Пучки для полей алгебраических чисел». Анналы математики . 69 (2): 408–413. DOI : 10.2307 / 1970190 . JSTOR 1970190 . 
  11. ^ а б Тейт, Джон (1952). "Группы когомологий более высокой размерности теории полей классов". Анналы математики . 56 (2): 294–297. DOI : 10.2307 / 1969801 . JSTOR 1969801 . 
  12. ^ ИЯНАГА и Т. ТАМАГАВА, С. (1951). "Sur la Théorie du Corps de Classes sur le Corps des Nombres Rationnels" . Журнал математического общества Японии . 3 (1): 220–227. DOI : 10.2969 / jmsj / 00310220 . ISSN 0025-5645 . 
  13. ^ Tamagawa, Цунэо (1951). «К теории групп ветвления и проводников» . Японский математический журнал: труды и тезисы . 21 : 197–215. DOI : 10.4099 / jjm1924.21.0_197 . ISSN 0075-3432 . 
  14. ^ Hochschild, G .; Накаяма, Т. (1952). «Когомологии в теории поля классов». Анналы математики . 55 (2): 348. DOI : 10,2307 / 1969783 . JSTOR 1969783 . 
  15. Перейти ↑ Weil, Andre (1951). "Sur la Théorie du Corps de Classes" . Журнал математического общества Японии . 3 (1): 1–35. DOI : 10.2969 / jmsj / 00310001 . ISSN 0025-5645 . 
  16. ↑ Артин, Эмиль, 1898-1962 гг. (2005). Алгебраические числа и алгебраические функции . Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Pub. / Американское математическое общество. ISBN 0-8218-4075-4. OCLC  62741519 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  17. ^ Iyanaga, Шокичи (2006). "Травы Клода Шевалле о теории корпуса классов: Введение" . Японский математический журнал . 1 (1): 25–85. DOI : 10.1007 / s11537-006-0502-5 . ISSN 0289-2316 . S2CID 123613236 .  
  18. ^ Витт, Эрнст (1931-12-01). "Über die kommutativität endlicher schiefkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (на немецком языке). 8 (1): 413. DOI : 10.1007 / BF02941019 . ISSN 1865-8784 . S2CID 124096167 .  
  19. ^ Минковский, Герман (1896). Geometrie der Zahlen. In 2 Lieferungen. Lfg. 1 . Лейпциг: BG Teubner.
  20. ^ "ФУРЬЕ-АНАЛИЗ В ЧИСЛЕННЫХ ПОЛЯХ И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯХ HECKE - ProQuest". ProQuest 304411725 .  Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  21. ^ Алгебраическая теория чисел: материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (передовым исследовательским институтом НАТО) при поддержке Международного математического союза . Cassels, JWS (Джон Уильям Скотт), Fröhlich, A. (Albrecht), 1916- (2-е изд.). Лондон: Лондонское математическое общество. 2010. ISBN 978-0-9502734-2-6. OCLC  665069251 .CS1 maint: others (link)
  22. ↑ Шафаревич, Игорь (1946). «О группах Галуа у-адических полей». ЧР (Доклады) акад. Sci. URSS . Новая серия. 53 : 15–16.
  23. ^ Сен, Шанкар; Тейт, Джон (1963). «Группы ветвления локальных полей». J. Indian Math. Soc . Новая серия. 27 : 197–202.
  24. Перейти ↑ Weil, André (1974). Основная теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. DOI : 10.1007 / 978-3-642-61945-8 . ISBN 978-3-540-58655-5.