Бекенштейн связан

Согласно Бекенштейн, то энтропия из черной дыры пропорциональна числу планковских областей , что потребуется , чтобы покрыть черную дыру горизонта событий .

В физике , то Бекенштейн (названный в честь Бекенштейна ) верхний предел энтропии S , или информация I , которые могут содержаться в данной конечной области пространства , которое имеет конечное количество энергии или , наоборот, количество максимального информации, необходимой для точного описания данной физической системы вплоть до квантового уровня. ^[1] Это означает, что информация о физической системе или информация, необходимая для точного описания этой системы, должна быть конечной, если область пространства и энергия конечны. В информатике это означает, что существует максимальная скорость обработки информации (Предел Бремермана ) для физической системы, имеющей конечный размер и энергию, и что машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически невозможна.

Уравнения [ править ]

Универсальный вид оценки был первоначально найден Якобом Бекенштейном в 1981 году как неравенство ^{[1] [2] [3]}

${\ displaystyle S \ leq {\ frac {2 \ pi kRE} {\ hbar c}},}$

где S является энтропия , к является постоянная Больцмана , R представляет собой радиус из сферы , которые могут окружать данную систему, Е является общая масса-энергия включая любые массы покоя , ħ является приведенная постоянная Планка , а с это скорость свет . Обратите внимание , что в то время как гравитация играет важную роль в его исполнении, выражение для границы не содержит гравитационную постоянную  G .

С информационной точки зрения, при S = k · I · ln 2 оценка дается формулой

${\ displaystyle I \ leq {\ frac {2 \ pi RE} {\ hbar c \ ln 2}},}$

где I - информация, выраженная в количестве битов, содержащихся в квантовых состояниях сферы. Пер  фактор 2 исходит из определения информации как логарифм к основанию 2 числа квантовых состояний. ^[4] Используя эквивалентность массы и энергии , информационный предел можно переформулировать как

${\displaystyle I\leq {\frac {2\pi cRM}{\hbar \ln 2}}\approx 2.5769082\times 10^{43}\ {\frac {\text{bit}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}}\cdot M\cdot R,}$

где - масса (в кг), а - радиус (в метрах) системы.${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

Истоки [ править ]

Бекенштейн получил оценку на основе эвристических аргументов, касающихся черных дыр . Бекенштейн утверждал, что если существует система, которая нарушает границы, т. Е. Имеет слишком большую энтропию, можно нарушить второй закон термодинамики , опустив ее в черную дыру. В 1995 году Тед Якобсон продемонстрировал, что уравнения поля Эйнштейна (то есть общая теория относительности ) могут быть выведены, если предположить, что оценка Бекенштейна и законы термодинамики верны. ^{[5] [6]}Тем не менее, несмотря на то, что был разработан ряд аргументов, которые показывают, что для того, чтобы законы термодинамики и общей теории относительности были взаимно согласованными, должна существовать определенная форма ограничения, точная формулировка границы была предметом споров до работы Казини в 2008 году . ^{[2] [3] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] »}

Доказательства в квантовой теории поля [ править ]

Доказательство границы Бекенштейна в рамках квантовой теории поля было дано в 2008 году Казини. ^[16] Одним из ключевых моментов доказательства было найти правильную интерпретацию величин, фигурирующих по обе стороны от границы.

Наивные определения энтропии и плотности энергии в квантовой теории поля страдают от ультрафиолетовых расхождений . В случае границы Бекенштейна ультрафиолетовых расхождений можно избежать, взяв разницу между величинами, вычисленными в возбужденном состоянии, и теми же величинами, вычисленными в вакуумном состоянии. Например, учитывая пространственную область , Казини определяет энтропию в левой части границы Бекенштейна как ${\displaystyle V}$

${\displaystyle S_{V}=S(\rho _{V})-S(\rho _{V}^{0})=-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})}$

где это энтропии фон Неймана из матрицы пониженной плотности , связанной с в возбужденном состоянии , и представляет собой соответствующий энтропии фон Неймана для вакуумного состояния .${\displaystyle S(\rho _{V})}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S(\rho _{V}^{0})}$${\displaystyle \rho ^{0}}$

В правой части границы Бекенштейна трудным моментом является дать строгую интерпретацию величины , где - характерный масштаб длины системы, а - характерная энергия. Этот продукт имеет те же блоки, что и генератор буста Лоренца , и естественным аналогом буста в этой ситуации является модульный гамильтониан вакуумного состояния . Казини определяет правую часть границы Бекенштейна как разницу между математическим ожиданием модульного гамильтониана в возбужденном и вакуумном состояниях:${\displaystyle 2\pi RE}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K=-\log \rho _{V}^{0}}$

${\displaystyle K_{V}=\mathrm {tr} (K\rho _{V})-\mathrm {tr} (K\rho _{V}^{0}).}$

С этими определениями граница читается как

${\displaystyle S_{V}\leq K_{V},}$

который можно переставить, чтобы получить

${\displaystyle \mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V}^{0})\geq 0.}$

Это просто утверждение о положительности относительной энтропии , которое доказывает оценку Бекенштейна.

Примеры [ править ]

Черные дыры [ править ]

Бывает, что граничная энтропия Бекенштейна – Хокинга трехмерных черных дыр в точности насыщает границу

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

${\displaystyle A=4\pi r_{s}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},}$

${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3},}$

${\displaystyle S={\frac {kA}{4l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}},}$

где находится постоянная Больцмана , является двумерным площадь горизонта событий черной дыры в единицах площади Планка , .${\displaystyle k}$${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3}}$

Эта граница тесно связана с термодинамикой черной дыры , голографическим принципом и ковариантной энтропийной границей квантовой гравитации и может быть получена из предполагаемой сильной формы последнего.

Человеческий мозг [ править ]

Средний человеческий мозг имеет массу 1,5 кг и объем 1260 см ³ . Если мозг аппроксимировать сферой, то радиус будет 6,7 см.

Информационная граница Бекенштейна будет около 2,6 × 10 ⁴²  бита и представляет собой максимальную информацию, необходимую для точного воссоздания среднего человеческого мозга до квантового уровня. Это означает , что число из состояний человеческого мозга должно быть меньше .${\displaystyle O=2^{I}}$${\displaystyle \approx 10^{7.8\times 10^{41}}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Якоб Д. Бекенштейн, «Связь Бекенштейна» , Scholarpedia , Vol. 3, № 10 (2008), с. 7374, DOI : 10,4249 / scholarpedia.7374 .
• Джейкоб Д. Бекенштейн, "Энтропия Бекенштейна-Хокинга" , Scholarpedia , Vol. 3, № 10 (2008), с. 7375, DOI : 10,4249 / scholarpedia.7375 .
• Сайт Jacob D. Бекенстейна в в в Институте Рака физики , Еврейский университет в Иерусалиме , в котором содержится ряд статей о Бекенштейна.
• О'Дауд, Мэтт (12 сентября 2018 г.). «Сколько информации во Вселенной?» . PBS Space Time - через YouTube .