Теорема Брауэра о неподвижной точке
Теорема Брауэра о неподвижной точке — теорема о неподвижной точке в топологии , названная в честь Л.Э.Дж. (Бертуса) Брауэра . Он утверждает, что для любой непрерывной функции , отображающей непустой компактный выпуклый набор в себя, существует точка такая, что . Простейшие формы теоремы Брауэра предназначены для непрерывных функций из замкнутого интервала действительных чисел в себя или из замкнутого круга в себя. Более общая форма, чем последняя, предназначена для непрерывных функций из непустого выпуклого компактного подмножества евклидова пространства в себя.
Среди сотен теорем о неподвижной точке [1] особенно известна теорема Брауэра, отчасти благодаря ее использованию во многих областях математики. В своей исходной области этот результат является одной из ключевых теорем, характеризующих топологию евклидовых пространств, наряду с теоремой о жордановой кривой , теоремой о волосатом шаре , инвариантностью размерности и теоремой Борсука–Улама . [2] Это дает ей место среди основных теорем топологии. [3] Теорема также используется для доказательства глубоких результатов о дифференциальных уравнениях и рассматривается в большинстве вводных курсов по дифференциальной геометрии.. Он появляется в маловероятных областях, таких как теория игр . В экономике теорема Брауэра о неподвижной точке и ее расширение, теорема Какутани о неподвижной точке , играют центральную роль в доказательстве существования общего равновесия в рыночной экономике, разработанном в 1950-х годах лауреатами Нобелевской премии по экономике Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре .
Теорема была впервые изучена в связи с работой над дифференциальными уравнениями французскими математиками вокруг Анри Пуанкаре и Шарля Эмиля Пикара . Доказательство таких результатов, как теорема Пуанкаре-Бендиксона, требует использования топологических методов. Эта работа в конце 19 века открылась несколькими последовательными версиями теоремы. Случай дифференцируемых отображений n -мерного замкнутого шара впервые был доказан в 1910 г. Жаком Адамаром [4] , а общий случай непрерывных отображений Брауэром в 1911 г. [5].
Теорема имеет несколько формулировок в зависимости от контекста, в котором она используется, и степени ее обобщения. Простейшее иногда дается следующим образом:
Теорема верна только для функций, которые являются эндоморфизмами (функции, которые имеют то же множество, что и область определения и область значений) и для непустых множеств, которые компактны (таким образом, в частности, ограничены и замкнуты) и выпуклы (или гомеоморфны выпуклым). Следующие примеры показывают, почему предварительные условия важны.
которая является непрерывной функцией от самой себя. Поскольку он сдвигает каждую точку вправо, он не может иметь фиксированной точки. Пространство выпукло и замкнуто, но не ограничено.
