В математике теорема о коммутации явно определяет коммутант конкретной алгебры фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве при наличии следа . Первый такой результат был доказан Фрэнсисом Джозефом Мюрреем и Джоном фон Нейманом в 1930-х годах и применим к алгебре фон Неймана, порожденной дискретной группой или динамической системой, связанной с измеримым преобразованием, сохраняющим вероятностную меру . Другое важное применение в теории унитарных представлений оунимодулярные локально компактные группы , где теория была применена к регулярному представлению и другим тесно связанным представлениям. В частности, эта структура привела к абстрактной версии теоремы Планшереля для унимодулярных локально компактных групп из-за Ирвинга Сигала и Форреста Стайнспринга и абстрактной теоремы Планшереля для сферических функций, связанных с парой Гельфанда, из-за Роджера Годемана . Их работа была приведена в окончательную форму в 1950-х годах Жаком Диксмье как часть теории гильбертовых алгебр . Так продолжалось до конца 1960-х годов, отчасти благодаря результатамалгебраическая квантовая теория поля и квантовая статистическая механика из-за школы Рудольфа Хаага , которая была разработана более общей нетрадиционной теорией Томиты – Такесаки, что знаменует новую эру в теории алгебр фон Неймана.
Теорема о коммутации для конечных следов [ править ]
Пусть H - гильбертово пространство, а M - алгебра фон Неймана на H с единичным вектором Ω такая, что
- M Ω плотно в H
- M «Ω плотно в H , где М » обозначает коммутант из М
- ( AB Ω, Ω) = ( Ьа Ω, Ω) для всех в , б в М .
Вектор Ω называется циклически разделяющим вектором следа . Это называется вектором след , потому что последнее условие означает , что матрица коэффициенты , соответствующие Q , определяет tracial состояния на М . Он называется циклическим, поскольку Ω порождает H как топологический M -модуль. Он называется разделяющим, потому что если a Ω = 0 для a в M , то aM ' Ω = (0) и, следовательно, a = 0.
Отсюда следует, что карта
для в М определяет сопряженную-линейную изометрию Н с квадратным тождества J 2 = я . Оператор J обычно называют оператором модульного сопряжения .
Непосредственно проверяется, что JMJ и M коммутируют на подпространстве M Ω, так что
Теорема коммутации Мюррей и фон Нейман гласит , что
Один из самых простых способов , чтобы увидеть это [1] является введение K , замыкания вещественного подпространства М са Q, где M са обозначает элементы самосопряжены в М . Следует, что
ортогональная прямая сумма для действительной части внутреннего продукта. Это только реальное ортогональное разложение для ± 1 подпространств J . С другой стороны, для a в M sa и b в M ' sa скалярное произведение ( ab Ω, Ω) вещественно, потому что ab самосопряженное. Следовательно, K не изменяется, если M заменить на M '.
В частности, Ω является вектором следа для M ', а J не изменяется, если M заменить на M '. Так что противоположное включение
следует, поменяв местами M и M ' .
Примеры [ править ]
- Один из простейших случаев теоремы о коммутации, где ее легко увидеть непосредственно, - это случай конечной группы Γ, действующей на конечномерном пространстве скалярного произведения посредством левых и правых регулярных представлений λ и ρ. Эти унитарные представления даются формулами
- для f in и из теоремы о коммутации следует, что
- Оператор J задается формулой
- Точно такие же результаты остаются верными, если Γ может быть любой счетной дискретной группой . [2] Алгебра фон Неймана λ (Γ) '' обычно называется групповой алгеброй фон Неймана группы Γ.
- Другой важный пример - вероятностное пространство ( X , μ). Абелева алгебра фон Неймана = L ∞ ( X , μ) действует путем умножения операторов на H = L 2 ( Х , х) и функция константа 1 представляет собой циклический-сепарирующей вектор следа. Следует, что
- так что является максимальная абелева подалгебра в B ( H ), алгебра фон Неймана всех ограниченных операторов на H .
- Третий класс примеров объединяет два вышеупомянутых. Исходя из эргодической теории , это было одним из первоначальных мотивов фон Неймана для изучения алгебр фон Неймана. Пусть ( X , μ) - вероятностное пространство, и пусть Γ - счетная дискретная группа сохраняющих меру преобразований ( X , μ). Поэтому группа действует унитарно в гильбертовом пространстве H = L 2 ( X , М) в соответствии с формулой
- для f в H и нормализует абелеву алгебру фон Неймана A = L ∞ ( X , μ). Позволять
- тензорное произведение гильбертовых пространств. [3] Построение пространства группа – мера или скрещенное произведение алгебры фон Неймана.
- определяется как алгебра фон Неймана на H 1, порожденная алгеброй и нормализующими операторами . [4]
- Вектор - это циклический разделяющий вектор следа. Более того, оператор модулярного сопряжения J и коммутант M 'могут быть явно отождествлены.
Одним из наиболее важных случаев пространственной конструкции групповой меры, когда Γ является группой целых чисел Z , то есть при одном обратимого измеримого преобразования Т . Здесь T должно сохранять вероятностную меру μ. Полуконечные следы требуются для обработки случая, когда T (или, в более общем смысле, Γ) сохраняет только бесконечную эквивалентную меру; и полная сила теории Томиты – Такесаки требуется, когда нет инвариантной меры в классе эквивалентности, даже если класс эквивалентности меры сохраняется посредством T (или Γ). [5] [6]
Теорема коммутации для полуконечных следов [ править ]
Пусть M алгебра фон Неймана и М + множество положительных операторов в М . По определению, [2] полуконечный след (или иногда просто след ) на М представляет собой функциональную τ из М + в [0, ∞], что
- для a , b в M + и λ, μ ≥ 0 ( полулинейность );
- для в М + и ¯u унитарный оператор в М ( унитарная инвариантность );
- τ вполне аддитивен на ортогональных семействах проекций в M ( нормальность );
- каждая проекция в M есть как ортогональная прямая сумма проекций с конечным следом ( полуконечностью ).
Если, кроме того, τ отличен от нуля на любой ненулевой проекции, то τ называется точным следом .
Если τ является точной след на М , пусть Н = L 2 ( М , τ) пополнение пространства Гильберта внутреннего пространства продукта
относительно внутреннего продукта
Алгебра фон Неймана M действует на H левым умножением и может быть отождествлена с ее образом. Позволять
для a в M 0 . Оператор J снова называется оператором модулярного сопряжения и продолжается до сопряженно-линейной изометрии H, удовлетворяющей J 2 = I. Теорема о коммутации Мюррея и фон Неймана
снова действует в этом случае. Этот результат может быть доказан непосредственно различными методами [2], но сразу следует из результата для конечных следов, многократным использованием следующего элементарного факта:
- Если M 1 ⊇ M 2 - две алгебры фон Неймана такие, что p n M 1 = p n M 2 для семейства проекторов p n в коммутанте M 1, возрастающем до I в сильной операторной топологии , то M 1 = M 2 .
Гильбертовые алгебры [ править ]
Теория гильбертовых алгебр была введена Годеманом (под названием «унитарные алгебры»), Сигалом и Диксмье для формализации классического метода определения следа для операторов класса следа, начиная с операторов Гильберта – Шмидта . [7] Приложения в теории представлений групп естественным образом приводят к примерам гильбертовых алгебр. Каждая алгебра фон Неймана с полуконечным следом имеет каноническое «пополнение» [8]или ассоциированная с ним «полная» гильбертова алгебра; и наоборот, полная гильбертова алгебра именно этой формы может быть канонически связана с любой гильбертовой алгеброй. Теорию гильбертовых алгебр можно использовать для вывода коммутационных теорем Мюррея и фон Неймана; в равной степени основные результаты по гильбертовым алгебрам могут быть получены непосредственно из теорем о коммутации следов. Теория гильбертовых алгебр была обобщена Такесаки [6] как инструмент для доказательства теорем о коммутации для полуконечных весов в теории Томиты – Такесаки ; при работе с государствами от них можно отказаться. [1] [9] [10]
Определение [ править ]
Гильберта алгебра [2] [11] [12] есть алгебра с инволюцией х → х * и скалярным произведением (,) таким образом, что
- ( a , b ) = ( b *, a *) для a , b в ;
- левое умножение на фиксированное a in является ограниченным оператором;
- * является сопряженным, другими словами ( xy , z ) = ( y , x * z );
- линейная оболочка всех произведений xy плотна в .
Примеры [ править ]
- Операторы Гильберта – Шмидта в бесконечномерном гильбертовом пространстве образуют гильбертову алгебру со скалярным произведением ( a , b ) = Tr ( b * a ).
- Если ( X , μ) - пространство с бесконечной мерой, алгебра L ∞ ( X ) L 2 ( X ) является гильбертовой алгеброй с обычным скалярным произведением из L 2 ( X ).
- Если M - алгебра фон Неймана с точным полуконечным следом τ, то определенная выше * -подалгебра M 0 является гильбертовой алгеброй со скалярным произведением ( a , b ) = τ ( b * a ).
- Если G - унимодулярная локально компактная группа , сверточная алгебра L 1 ( G ) L 2 ( G ) является гильбертовой алгеброй с обычным скалярным произведением из L 2 ( G ).
- Если ( G , K ) пара Гельфанда , сверточная алгебра L 1 ( K \ G / K ) L 2 ( K \ G / K ) является гильбертовой алгеброй с обычным скалярным произведением из L 2 ( G ); здесь L p ( K \ G / K ) обозначает замкнутое подпространство K -биинвариантных функций в L p ( G ).
- Любая плотная * -подалгебра гильбертовой алгебры также является гильбертовой алгеброй.
Свойства [ править ]
Пусть Н пополнение пространства Гильберта относительно скалярного произведения и пусть J обозначают расширение инволюции к сопряженной-линейной инволюции H . Определим представление λ и антипредставление ρ самого на себе умножением слева и справа:
Эти действия непрерывно распространяется на действия на H . В этом случае теорема коммутации для гильбертовых алгебр утверждает, что
Более того, если
алгебра фон Неймана, порожденная операторами λ ( a ), то
Эти результаты были независимо доказаны Годеманом (1954) и Сигалом (1953) .
Доказательство опирается на понятие «ограниченных элементов» в гильбертовом заканчивания пространстве H .
Элемент x в H называется ограниченным (относительно ), если отображение a → xa из в H продолжается до ограниченного оператора в H , обозначаемого λ ( x ). В этом случае несложно доказать, что: [13]
- Jx также является ограниченным элементом, обозначаемым x *, и λ ( x *) = λ ( x ) *;
- a → ax задается ограниченным оператором ρ ( x ) = J λ ( x *) J на H ;
- M 'порождается ρ ( x )' s с ограниченным x ;
- λ ( x ) и ρ ( y ) коммутируют при ограниченных x , y .
Теорема о коммутации немедленно следует из последнего утверждения. Особенно
- M = λ ( ) ".
Пространство всех ограниченных элементов образует гильбертову алгебру, содержащую в качестве плотной * -подалгебры. Он называется завершенным или полным, потому что любой элемент в H, ограниченный относительно, должен фактически уже лежать в . Функционал τ на M +, определяемый формулой
если x = λ (a) * λ (a) и ∞ в противном случае, дает точный полуконечный след на M с
Таким образом:
Существует однозначное соответствие между алгебрами фон Неймана на H с точным полуконечным следом и полными гильбертовыми алгебрами с пополнением гильбертова пространства H.
См. Также [ править ]
- алгебра фон Неймана
- Аффилированный оператор
- Теория Томиты – Такесаки
Примечания [ править ]
- ^ a b Риффель и ван Даэле 1977
- ^ а б в г Диксмье 1957
- ^ H 1 можно отождествить с пространством суммируемых с квадратом функций на X x Γ относительно меры произведения .
- ^ Не следует путать ее с алгеброй фон Неймана на H, порожденной A и операторами U g .
- ^ Конн 1979
- ^ a b Такэсаки 2002
- ^ Саймон 1979
- ^ Диксмье использует прилагательные achevée или maximale .
- ^ Педерсен 1979
- ^ Браттели и Робинсон 1987
- ^ Диксмье 1977 , Приложение A54-A61.
- ^ Дьедонне 1976
- ^ Годеман 1954 , стр. 52-53
Ссылки [ править ]
- Bratteli, O .; Робинсон, Д.В. (1987), Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1, второе издание , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
- Connes, A. (1979), Sur la théorie non commutative de l'intégration , Lecture Notes in Mathematics, (Algèbres d'Opérateurs), Springer-Verlag, стр. 19–143, ISBN 978-3-540-09512-5
- Дьедонне Дж. (1976), Трактат по анализу, т. II , Academic Press, ISBN 0-12-215502-5
- Диксмье, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars
- Диксмье, Дж. (1981), алгебры фон Неймана , Северная Голландия, ISBN 0-444-86308-7 (Английский перевод)
- Диксмье, Дж. (1969), Les C * -algèbres et leurs, представительства , Готье-Виллар, ISBN 0-7204-0762-1
- Диксмье, Дж. (1977), C * алгебры , Северная Голландия, ISBN 0-7204-0762-1 (Английский перевод)
- Godement, R. (1951), "Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires", J. Math. Pures Appl. , 30 : 1–110
- Godement, R. (1954), "Теория персонажей. I. Algèbres unitaires", Ann. математики. , Анналы математики, 59 (1): 47-62, DOI : 10,2307 / 1969832 , JSTOR 1969832
- Мюррей, Ф.Дж .; фон Нейман, J. (1936), "О кольцах операторов", Ann. математики. , 2, Анналы математики, 37 (1): 116-229, DOI : 10,2307 / 1968693 , JSTOR 1968693
- Мюррей, Ф.Дж .; фон Нейман, J. (1937), "О кольцах операторов II", Trans. Амер. Математика. Soc. , Американское математическое общество, 41 (2): 208-248, DOI : 10,2307 / 1989620 , JSTOR 1989620
- Мюррей, Ф.Дж .; фон Нейман, J. (1943), "О кольцах операторов IV", Ann. математики. , 2, Анналы математики, 44 (4): 716-808, DOI : 10,2307 / 1969107 , JSTOR 1969107
- Педерсен, GK (1979), C * алгебры и их группы автоморфизмов , Монографии Лондонского математического общества, 14 , Academic Press, ISBN 0-12-549450-5
- Риффель, Массачусетс; ван Даэле, А. (1977), "Ограниченный операторный подход к теории Томиты – Такесаки", Pacific J. Math. , 69 : 187-221, DOI : 10,2140 / pjm.1977.69.187
- Сигал, IE (1953), "Некоммутативное расширение абстрактного интегрирования", Ann. математики. , Анналы математики, 57 (3): 401-457, DOI : 10,2307 / 1969729 , JSTOR 1969729 (Раздел 5)
- Саймон Б. (1979), Идеалы трассировки и их приложения , Серия лекций Лондонского математического общества, 35 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-22286-9
- Такесаки М. (2002), Теория операторных алгебр II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X