Лагранжиан Дарвина

Дарвин лагранжиан (названная в честь Чарльза Дарвина Гальтона , внук естествоиспытателя ) описывает взаимодействие с порядка между двумя заряженными частицами в вакууме и задается ^[1]${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}$

${\ displaystyle L = L _ {\ text {f}} + L _ {\ text {int}},}$

где лагранжиан свободной частицы равен

${\ displaystyle L _ {\ text {f}} = {\ frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {1} v_ {1} ^ {4} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} + {\ frac {1} {8c ^ {2}}} m_ {2} v_ {2} ^ {4},}$

а лагранжиан взаимодействия равен

${\ displaystyle L _ {\ text {int}} = L _ {\ text {C}} + L _ {\ text {D}},}$

где кулоновское взаимодействие является

${\ displaystyle L _ {\ text {C}} = - {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {r}},}$

и взаимодействие Дарвина

${\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}.}$

Здесь q ₁ и q ₂ - заряды на частицах 1 и 2 соответственно, m ₁ и m ₂ - массы частиц, v ₁ и v ₂ - скорости частиц, c - скорость света , r - вектор между двумя частицами, и является единичным вектором в направлении r .${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

Свободный лагранжиан - это разложение Тейлора свободного лагранжиана двух релятивистских частиц до второго порядка по v . Член дарвиновского взаимодействия возникает из-за того, что одна частица реагирует на магнитное поле, создаваемое другой частицей. Если сохраняются члены более высокого порядка по v / c , тогда необходимо учитывать степени свободы поля, и взаимодействие между частицами больше нельзя считать мгновенным. В этом случае необходимо учитывать эффекты замедления .

Вывод в вакууме [ править ]

Лагранжиан релятивистского взаимодействия для частицы с зарядом q, взаимодействующей с электромагнитным полем, равен ^[2]

${\displaystyle L_{\text{int}}=-q\Phi +{q \over c}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,}$

где u - релятивистская скорость частицы. Первый член справа порождает кулоновское взаимодействие. Второй член порождает дарвиновское взаимодействие.

Векторный потенциал в кулоновской калибровке описывается ^[3] ( блоки гауссовы )

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-{4\pi \over c}\mathbf {J} _{t}}$

где поперечный ток J _t - соленоидальный ток (см. разложение Гельмгольца ), генерируемый второй частицей. Дивергенции поперечного тока равна нулю.

Ток, создаваемый второй частицей, равен

${\displaystyle \mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right),}$

который имеет преобразование Фурье

${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}$

Поперечная составляющая тока равна

${\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=q_{2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}$

Легко проверить, что

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=0,}$

что должно быть истинным, если расходимость поперечного тока равна нулю. Мы видим, что

${\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)}$

- составляющая тока, преобразованного Фурье, перпендикулярная k .

Из уравнения для векторного потенциала преобразование Фурье векторного потенциала имеет вид

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={4\pi \over c}{q_{2} \over k^{2}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right)}$

где мы сохранили только член самого низкого порядка в v / c.

Обратное преобразование Фурье векторного потенциала имеет вид

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {d^{3}k \over \left(2\pi \right)^{3}}\;\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)\;{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}\right)}={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

где

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

(см. Общие интегралы в квантовой теории поля ).

Член дарвиновского взаимодействия в лагранжиане тогда

${\displaystyle L_{\rm {D}}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

где снова мы оставили только член самого низкого порядка в v / c.

Лагранжевы уравнения движения [ править ]

Уравнение движения для одного из частиц

${\displaystyle {d \over dt}{\partial \over \partial \mathbf {v} _{1}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}$

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}$

где p ₁ - импульс частицы.

Бесплатная частица [ править ]

Уравнение движения свободной частицы без учета взаимодействия между двумя частицами имеет вид

${\displaystyle {d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}}$

Взаимодействующие частицы [ править ]

Для взаимодействующих частиц уравнение движения принимает вид

${\displaystyle {d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {q_{1}q_{2} \over r}+\nabla \left[{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]}$

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}+{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2c^{2}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

Гамильтониан для двух частиц в вакууме [ править ]

Гамильтониан Дарвина для двух частиц в вакууме связан с лагранжианом преобразованием Лежандра

${\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.}$

Гамильтониан становится

Гамильтоновы уравнения движения [ править ]

Гамильтоновы уравнения движения:

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\partial H \over \partial \mathbf {p} _{1}}}$

а также

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}=-\nabla _{1}H}$

которые дают

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(1-{1 \over 2}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){\mathbf {p} _{1} \over m_{1}}-{q_{1}q_{2} \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}}$

а также

Обратите внимание, что квантово-механическое уравнение Брейта первоначально использовало лагранжиан Дарвина с гамильтонианом Дарвина в качестве классической отправной точки, хотя уравнение Брейта было бы лучше подтверждено теорией поглотителя Уиллера – Фейнмана и еще лучше квантовой электродинамикой .

См. Также [ править ]

• Статические силы и обмен виртуальными частицами
• Уравнение Брейта
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Ссылки [ править ]