Прямое доказательство

В математике и логике , прямое доказательство является способ показать правду или ложность данного оператора по прямой комбинации установленных фактов, как правило , аксиом , существующих лемм и теорем , без внесения каких - либо дополнительных предположений. ^[1] Чтобы напрямую доказать условное утверждение вида «Если p , то q », достаточно рассмотреть ситуации, в которых утверждение p истинно. Логическая дедукция используется, чтобы рассуждать от предположений к заключению. Тип используемой логики почти всегдалогика первого порядка , использующая кванторы для всех и существ . Общие используемые правила доказательства - это modus ponens и универсальное создание экземпляров . ^[2]

Напротив, косвенное доказательство может начинаться с определенных гипотетических сценариев, а затем переходить к устранению неопределенностей в каждом из этих сценариев до тех пор, пока не будет сделан неизбежный вывод. Например, вместо прямого отображения p ⇒ q доказывается его противоположность ~ q ⇒ ~ p (предполагается ~ q и показано, что оно ведет к ~ p ). Поскольку p ⇒ q и ~ q ⇒ ~ p эквивалентны по принципу транспонирования (см. Закон исключенной середины ), p ⇒ qкосвенно доказано. Методы доказательства, которые не являются прямыми, включают доказательство от противного , в том числе доказательство бесконечным спуском . Прямые методы доказательства включают доказательство исчерпанием и доказательство по индукции .

История и этимология [ править ]

Прямое доказательство - это простейшая форма доказательства. Слово «доказательство» происходит от латинского слова probare ^[3], что означает «проверять». Первые доказательства использования доказательств были заметны в судебных процессах. Говорят, что авторитетный человек, например дворянин, обладает честностью, что означает, что доказательства были получены от его относительного авторитета, что перевешивает эмпирические показания. В былые времена математика и доказательства часто были переплетены с практическими вопросами - такие народы, как египтяне и греки, проявляли интерес к геодезии земли. ^[4] Это вызвало естественное любопытство в отношении геометрии и тригонометрии - особенно треугольников ипрямоугольники . Это были формы, которые вызывали больше всего вопросов с точки зрения практических вещей, поэтому ранние геометрические концепции были сосредоточены на этих формах, например, подобные здания и пирамиды использовали эти формы в изобилии. Еще одна форма, которая имеет решающее значение в истории прямых доказательств, - это круг , который имел решающее значение при проектировании арен и резервуаров для воды. Это означало, что древняя геометрия (и евклидова геометрия ) обсуждала круги.

Самая ранняя форма математики была феноменологической . Например, если кто-то может нарисовать разумную картину или дать убедительное описание, то это соответствует всем критериям для описания чего-либо как математического «факта». Иногда имели место аналогичные аргументы или даже «призыв к богам». Идея о том, что математические утверждения могут быть доказаны, еще не была разработана, так что это были самые ранние формы концепции доказательства, несмотря на то, что они вообще не были фактическим доказательством.

Доказательство, каким мы его знаем, возникло с одним конкретным вопросом: «что такое доказательство?» Традиционно доказательство - это платформа, которая убеждает кого-то вне разумных сомнений в математической истинности утверждения. Естественно, можно было бы предположить, что лучший способ доказать истинность чего-то вроде этого (B) - это провести сравнение с чем-то старым (A), истинность которого уже была доказана. Так была создана концепция получения нового результата из старого.

Примеры [ править ]

Сумма двух четных целых чисел равна четному целому числу [ править ]

Рассмотрим два целых четных числа $x$ и $y$ . Поскольку они четные, их можно записать как

{\ displaystyle x = 2a}

{\ displaystyle y = 2b}

соответственно для целых чисел $a$ и $b$ . Тогда сумму можно записать как

{\ displaystyle x + y = 2a + 2b = 2 (a + b) = 2p}

где ,

a

и

b

- целые числа.

{\ displaystyle p = a + b}

Отсюда следует, что $x + y$ имеет множитель 2 и, следовательно, является четным, поэтому сумма любых двух четных целых чисел четна.

Теорема Пифагора [ править ]

Обратите внимание, что у нас есть четыре прямоугольных треугольника и квадрат, упакованные в большой квадрат. У каждого треугольника есть стороны a и b и гипотенуза c . Площадь квадрата определяется как квадрат длины его сторон - в данном случае (a + b) ² . Однако площадь большого квадрата также может быть выражена как сумма площадей его компонентов. В данном случае это будет сумма площадей четырех треугольников и небольшого квадрата посередине. ^[5]

Мы знаем, что площадь большого квадрата равна (a + b) ² .

Площадь треугольника равна ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ab.}$

Мы знаем, что площадь большого квадрата также равна сумме площадей треугольников плюс площадь малого квадрата, и, таким образом, площадь большого квадрата равна ${\ displaystyle 4 ({\ frac {1} {2}} ab) + c ^ {2}.}$

Они равны, поэтому

(a+b)^{2}=4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}.

После некоторого упрощения,

a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}.

Удаление ab, которое появляется с обеих сторон, дает

a^{2}+b^{2}=c^{2},

что доказывает теорему Пифагора. ∎

Квадрат нечетного числа тоже нечетный [ править ]

По определению, если n - нечетное целое число, его можно выразить как

n=2k+1

для некоторого целого k . Таким образом

{\begin{aligned}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=(2k+1)(2k+1)\\&=4k^{2}+2k+2k+1\\&=4k^{2}+4k+1\\&=2(2k^{2}+2k)+1.\end{aligned}}

Поскольку 2 k ² + 2 k - целое число, n ² также нечетно. ∎

Ссылки [ править ]

^ Купиллари, Антонелла . Гайки и болты доказательств . Academic Press, 2001. Стр. 3.
^ C. Гупта, С. Сингх, С. Кумар Расширенная дискретная структура . IK International Publishing House Pvt. Ltd., 2010. Стр. 127.
^ Новый короткий оксфордский словарь английского языка
^ Кранц, Стивен Г. История и концепция математического доказательства . 5 февраля 2007 г.
^ Кранц, Стивен Г. Доказательство - пудинг . Springer, 2010. Стр. 43.

Источники [ править ]

Франклин, Дж . ; А. Дауд (2011). Доказательство в математике: введение . Сидней: Kew Books. ISBN 0-646-54509-4. CS1 maint: discouraged parameter (link) (Гл. 1.)

Внешние ссылки [ править ]

Прямое доказательство из книги Ларри В. Кьюсика « Как писать доказательства» .
Прямые доказательства из Введение в высшую математику Патрика Кифа и Дэвида Гишара .
Раздел « Прямое доказательство » в « Книге доказательств» Ричарда Хэммака .

[nutsandbolts-1] Купиллари, Антонелла . Гайки и болты доказательств . Academic Press, 2001. Стр. 3.

[advanced-discrete-structure-2] C. Гупта, С. Сингх, С. Кумар Расширенная дискретная структура . IK International Publishing House Pvt. Ltd., 2010. Стр. 127.

[latin-3] Новый короткий оксфордский словарь английского языка

[stevengkrantz-4] Кранц, Стивен Г. История и концепция математического доказательства . 5 февраля 2007 г.

[theproofisthepudding-5] Кранц, Стивен Г. Доказательство - пудинг . Springer, 2010. Стр. 43.

[1]