Набор расстояний

В геометрии , то расстояние набор из набора точек есть множество из расстояний между различными парами точек. Таким образом, это можно рассматривать как обобщение набора разностей , набора расстояний (и их отрицаний) в наборах чисел.

Некоторые проблемы и результаты в геометрии касаются наборов расстояний, обычно основанных на том принципе, что большой набор точек должен иметь большой набор расстояний (для различных определений «большого»):

• Гипотеза Фальконера - это утверждение, что для набора точек в -мерном пространстве, имеющего размерность Хаусдорфа больше, чем , соответствующее множество расстояний имеет ненулевую меру Лебега . Хотя частичные результаты известны, гипотеза остается недоказанной. ^[1]${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d / 2}$
• Задача Эрдеша – Улама спрашивает, возможно ли иметь плотное множество на евклидовой плоскости , набор расстояний которого состоит только из рациональных чисел . Опять же, это остается нерешенным. ^[2]
• Теорема Ферма о суммах двух квадратов характеризует числа в наборе расстояний двумерной целочисленной решетки : они являются квадратными корнями из целых чисел, разложение на простые множители которых не содержит нечетного числа копий любого простого числа, равного 3 по модулю 4. Аналогично , три квадратная теорема Лежандра характеризует расстояние набора трехмерной целочисленной решетки, и четыре квадратная теорема Лагранжа характеризует расстояние множество целочисленных решеток в четырех и более высоких измерениях как квадратные корни из целых чисел без каких - либо дополнительных ограничений. В решетках пяти или более измерений каждое подмножество решетки с ненулевой верхней плотностью имеет набор расстояний, содержащий квадраты бесконечногоарифметическая прогрессия . ^[3]
• Согласно теореме Эрдеша – Эннинга , каждый бесконечный набор точек на евклидовой плоскости, который не лежит на одной прямой, имеет нецелое число в своем наборе расстояний. ^[4]
• Квадратные сетки точек имеют наборы расстояний сублинейного размера, в отличие от точек общего положения, у которых набор расстояний квадратичен по размеру. Однако, в соответствии с 2015 годом решения Эрдеша задачи различных расстояний по Ларри Гутам и Nets Katz , расстояние набор любого конечного набора точек в евклидовой плоскости лишь немного сублинейно, почти столь же большое , как данная коллекция. ^[5] В частности, только конечный набор точек может иметь конечный набор расстояний.
• Голомба линейка является конечное множество точек на линии , таким образом, что никакие две пары точек не имеют одинаковое расстояние. Софи Пиккар утверждала, что у двух правителей Голомба нет одинаковых наборов расстояний. Утверждение неверно, но есть только один контрпример, пара шестиконечных линейок Голомба с общим набором расстояний. ^[6]
• Равносторонняя размерность из метрического пространства является самым большим размером набора точек, множество расстояния имеет только один элемент. Гипотеза Куснера утверждает, что равностороннее измерение a -мерного пространства с манхэттенским расстоянием точно , но это остается недоказанным. ^[7]${\ displaystyle d}$${\ displaystyle 2d}$

Наборы расстояний также использовались в качестве дескриптора формы в компьютерном зрении . ^[8]

использованная литература