Групповое действие
В математике групповое действие на пространстве — это групповой гомоморфизм данной группы в группу преобразований пространства. Точно так же действие группы на математическую структуру - это групповой гомоморфизм группы в группу автоморфизмов структуры. Говорят, что группа воздействует на пространство или структуру. Если группа воздействует на структуру, она обычно действует и на объекты, построенные на основе этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидовом пространствеа также на нарисованных в нем фигурах. В частности, он действует на множестве всех треугольников . Аналогично группа симметрий многогранника действует на вершины , ребра и грани многогранника .
Действие группы на (конечномерном) векторном пространстве называется представлением группы. Это позволяет отождествить многие группы с подгруппами GL( n , K ) , группы обратимых матриц размерности n над полем K .
Симметрическая группа Sn действует на любом множестве из n элементов, переставляя элементы множества. Хотя группа всех перестановок множества формально зависит от множества, понятие группового действия позволяет рассматривать единую группу для изучения перестановок всех множеств одинаковой мощности .
Если G — группа с единичным элементом e , а X — множество, то ( левое ) групповое действие α группы G на X является функцией
(где α ( g , x ) часто сокращается до gx или g ⋅ x , когда рассматриваемое действие ясно из контекста):
Говорят, что группа G действует на X (слева). Множество X вместе с действием группы G называется ( левым ) G - множеством .
