Джонсон солид
В геометрии тело Джонсона — это строго выпуклый многогранник , каждая грань которого является правильным многоугольником . Нет требования, чтобы каждая грань была одним и тем же многоугольником или чтобы одни и те же многоугольники соединялись вокруг каждой вершины . Примером тела Джонсона является пирамида с квадратным основанием и равносторонними сторонами ( J 1 ); у него 1 квадратная грань и 4 треугольных грани. Некоторые авторы требуют, чтобы тело не было однородным (т. е. не Платоновым телом , архимедовым телом , однородной призмой или однородной антипризмой ).), прежде чем они называют его «телом Джонсона».
Как и во всяком строго выпуклом теле, в каждой вершине сходятся не менее трех граней, а сумма их углов меньше 360 градусов. Так как правильный многоугольник имеет углы не менее 60 градусов, то в любой вершине сходятся не более пяти граней. Пятиугольная пирамида ( J 2 ) является примером вершины степени 5.
Хотя нет очевидного ограничения, что любой заданный правильный многоугольник не может быть гранью тела Джонсона, оказывается, что грани тел Джонсона, которые не являются однородными (т. е. не являются платоновыми телами , архимедовыми телами , однородными призмами или однородными антипризмами ) всегда имеют 3, 4, 5, 6, 8 или 10 сторон.
В 1966 году Норман Джонсон опубликовал список, в который вошли все 92 тела Джонсона (за исключением 5 Платоновых тел, 13 архимедовых тел, бесконечного множества однородных призм и бесконечного множества однородных антипризм), и дал им их имена и номера. Он не доказал, что их было только 92, но предположил, что других не было. Виктор Залгаллер в 1969 году доказал, что список Джонсона полон.
Из тел Джонсона вытянутый квадратный гиробикупол ( J 37 ), также называемый псевдоромбокубооктаэдром [1] , уникален тем, что он локально вершинно-однороден: в каждой вершине имеется 4 грани, и их расположение всегда одинаково: 3 квадрата и 1 треугольник. Однако оно не является вершинно-транзитивным, так как имеет разную изометрию в разных вершинах, что делает его телом Джонсона, а не телом Архимеда .
Именование твердых тел Джонсона следует гибкой и точной описательной формуле, так что многие твердые тела могут быть названы по-разному без ущерба для их точности в качестве описания. Большинство тел Джонсона могут быть построены из первых нескольких ( пирамиды , купола и ротонды ), вместе с платоновыми и архимедовыми телами, призмами и антипризмами ; центр названия конкретного твердого тела будет отражать эти ингредиенты. Оттуда к слову присоединяется ряд префиксов для обозначения дополнений, поворотов и преобразований:
