Экс касательный четырехугольник

Экс-тангенциальный четырехугольник ABCD и его вневписанная окружность

В евклидовой геометрии , внеописанный четырёхугольник является выпуклым четырехугольником , где расширение всех четырех сторон касается к окружности вне четырехугольника. ^[1] Его также называли четырехугольником, который нельзя описать . ^[2] Окружность называется вневписанной окружностью , радиус - эксрадиусом, а центр - эксцентром ( E на рисунке). Эксцентр лежит на пересечении шести биссектрис угла. Это биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершинах,биссектрисы внешнего угла ( дополнительные биссектрисы угла ) в двух других вершинных углах и биссектрисы внешнего угла в углах, образованных в местах пересечения продолжений противоположных сторон (см. рисунок справа, где четыре из этих шести представляют собой отрезки пунктирной линии). Экс-тангенциальный четырехугольник тесно связан с касательным четырехугольником (четыре стороны которого касаются окружности).

Другое название вневписанной окружности - вписанная окружность ^[3], но это имя также использовалось для окружности, касающейся одной стороны выпуклого четырехугольника и продолжений двух смежных сторон. В этом контексте все выпуклые четырехугольники имеют четыре вписанных окружности, но могут иметь не более одной вневписанной окружности. ^[4]

Особые случаи [ править ]

Воздушные змеи являются примерами экс-тангенциальных четырехугольников. Параллелограммы (которые включают в себя квадраты , ромбы и прямоугольники ) можно рассматривать как экс-тангенциальные четырехугольники с бесконечным эксрадиусом, поскольку они удовлетворяют характеристикам в следующем разделе, но вневписанная окружность не может касаться обеих пар продолжений противоположных сторон (поскольку они параллельны ). ^[4] Выпуклые четырехугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию , всегда являются экс-тангенциальными, поскольку они удовлетворяют приведенным ниже характеристикам для длин смежных сторон.

Характеристики [ править ]

Выпуклый четырехугольник является экс-тангенциальным тогда и только тогда, когда есть шесть параллельных биссектрис углов. Это биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершинах, биссектрисы внешнего угла при двух других углах при вершинах и биссектрисы внешнего угла при углах, образованных в местах пересечения продолжений противоположных сторон. ^[4]

Для целей вычислений более полезной характеристикой является то, что выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a, b, c, d является ex-тангенциальным тогда и только тогда, когда сумма двух смежных сторон равна сумме двух других сторон. Это возможно двумя способами - либо как

${\ displaystyle a + b = c + d}$

или же

${\ displaystyle a + d = b + c.}$

Это было доказано Якобом Штайнером в 1846 году. ^[5] В первом случае вневписанная окружность находится вне самой большой из вершин A или C , тогда как во втором случае она находится вне самой большой из вершин B или D , при условии, что Стороны четырехугольника ABCD равны a = AB , b = BC , c = CD и d = DA . Способ объединения этих характеристик относительно сторон состоит в том, что абсолютные значенияразностей между противоположными сторонами равны для двух пар противоположных сторон, ^[4]

${\ displaystyle | ac | = | bd |.}$

Эти уравнения тесно связаны с теоремой Пито для касательных четырехугольников , где суммы противоположных сторон равны для двух пар противоположных сторон.

Теорема Уркарта [ править ]

Если противоположные стороны выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках E и F , то

${\displaystyle AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.}$

Импликация справа названа в честь Л. М. Уркхарта (1902–1966), хотя она была доказана задолго до этого Августом Де Морганом в 1841 году. Даниэль Педоу назвал ее самой элементарной теоремой в евклидовой геометрии, поскольку она касается только прямых линий и расстояний. ^[6] То, что на самом деле существует эквивалентность, было доказано Моваффаком Хадждой ^[6], что делает равенство справа еще одним необходимым и достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был экс-тангенциальным.

Сравнение с тангенциальным четырехугольником [ править ]

Некоторые из метрических характеристик тангенциальных четырехугольников (левый столбец в таблице) имеют очень похожие аналоги для экс-тангенциальных четырехугольников (средний и правый столбцы в таблице), как можно увидеть в таблице ниже. ^[4] Таким образом, выпуклый четырехугольник имеет вписанную или вневписанную окружность вне соответствующей вершины (в зависимости от столбца) тогда и только тогда, когда выполняется одно из пяти необходимых и достаточных условий ниже.

Incircle	Excircle за пределами A или C	Excircle за пределами B или D
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{2}=R_{3}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{4}=R_{2}+R_{3}}$
${\displaystyle agh+cef=beh+dfg}$	${\displaystyle agh+beh=cef+dfg}$	${\displaystyle agh+dfg=beh+cef}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}={\frac {1}{h_{3}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{4}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{3}}}}$
${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {z}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {w}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {w}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {z}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {y}{2}}=\tan {\frac {z}{2}}\tan {\frac {w}{2}}}$
${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$	${\displaystyle R_{a}R_{b}=R_{c}R_{d}}$	${\displaystyle R_{a}R_{d}=R_{b}R_{c}}$

Обозначения в этой таблице , представлены следующим образом : В выпуклом четырехугольнике ABCD , диагонали пересекаются в точке P . R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ - радиусы описанной окружности в треугольниках ABP , BCP , CDP , DAP ; h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ - высоты от P до сторон a = AB , b = BC ,c = CD , d = DA соответственно в тех же четырех треугольниках; e , f , g , h - расстояния от вершин A , B , C , D соответственно до P ; x , y , z , w - углы ABD , ADB , BDC , DBC соответственно; и R _a , R _b , R _c, R _d - радиусы окружностей, касательных снаружи к сторонам a , b , c , d соответственно, и продолжения двух смежных сторон для каждой стороны.

Площадь [ править ]

Экс касательный четырехугольник ABCD со сторонами a, b, c, d имеет площадь

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Обратите внимание, что это та же формула, что и формула для площади тангенциального четырехугольника, и она также выводится из формулы Бретшнайдера таким же образом.

Exradius [ править ]

Экстрадиус экс-тангенциального четырехугольника с последовательными сторонами a , b , c , d определяется формулой ^[4]

${\displaystyle r={\frac {K}{|a-c|}}={\frac {K}{|b-d|}}}$

где K - площадь четырехугольника. Для экс-тангенциальный четырехугольник с заданными сторонами, exradius это максимум , когда четырехугольник является также циклическим (и , следовательно , экс-bicentric четырехугольника). Эти формулы объясняют, почему все параллелограммы имеют бесконечный радиус.

Экс-бицентрический четырехугольник [ править ]

Если эксцентрический четырехугольник также имеет описанную окружность , он называется экс-бицентрическим четырехугольником . ^[1] Тогда, поскольку он имеет два противоположных дополнительных угла , его площадь определяется как

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

что такое же, как для двухцентрового четырехугольника .

Если x - это расстояние между центром описанной окружности и концом, тогда ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

где R и r - радиус описанной окружности и внешний радиус соответственно. Это то же уравнение, что и теорема Фусса для бицентрического четырехугольника. Но при решении относительно x мы должны выбрать другой корень квадратного уравнения для экс-бицентрического четырехугольника по сравнению с бицентриком. Следовательно, для экс-бицентрика имеем ^[1]

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

Из этой формулы следует, что

${\displaystyle \displaystyle x>R+r,}$

Это означает, что описанная и вневписанная окружности никогда не могут пересекаться.

См. Также [ править ]

• Полный четырехугольник
• Циклический четырехугольник

Ссылки [ править ]