В геометрии , А золотая спираль является логарифмическая спираль , рост которой фактор φ , то золотое сечение . [1] То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего начала) в φ раз на каждую четверть оборота.
Приближения золотой спирали
Есть несколько сопоставимых спиралей, которые приблизительно равны золотой спирали, но не равны ей. [2]
Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, для которого соотношение между его длиной и шириной является золотым сечением. Затем этот прямоугольник можно разделить на квадрат и аналогичный прямоугольник, и этот прямоугольник затем можно разделить таким же образом. После продолжения этого процесса для произвольного количества шагов результатом будет почти полное разбиение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертью окружностей. Результат, хотя и не является истинной логарифмической спиралью, очень похож на золотую спираль. [2]
Другое приближение - спираль Фибоначчи , построенная несколько иначе. Спираль Фибоначчи начинается с прямоугольника, разделенного на 2 квадрата. На каждом шаге к прямоугольнику добавляется квадрат, равный длине самой длинной стороны прямоугольника. Поскольку соотношение между последовательными числами Фибоначчи приближается к золотому сечению, когда числа Фибоначчи приближаются к бесконечности, эта спираль становится все более похожей на предыдущее приближение, чем больше добавляется квадратов, как показано на изображении.
Спирали в природе
Приблизительные логарифмические спирали могут встречаться в природе, например, рукава спиральных галактик [3] - золотые спирали являются частным случаем этих логарифмических спиралей, хотя нет никаких доказательств того, что существует какая-либо общая тенденция к появлению этого случая. Филлотаксис связан с золотым сечением, потому что он включает в себя следующие друг за другом листья или лепестки, разделенные золотым углом ; это также приводит к появлению спиралей, хотя опять же ни одна из них (обязательно) не является золотой спиралью. Иногда утверждают, что спиральные галактики и оболочки наутилуса становятся шире в форме золотой спирали и, следовательно, связаны как с φ, так и с рядами Фибоначчи. [4] По правде говоря, спиральные галактики и оболочки наутилусов (и многие раковины моллюсков ) демонстрируют рост по логарифмической спирали, но под разными углами, обычно заметно отличающимися от угла золотой спирали. [5] [6] [7] Этот паттерн позволяет организму расти, не меняя формы. [ необходима цитата ]
Математика
Золотая спираль с начальным радиусом 1 - геометрическое место точек полярных координат. удовлетворение
Полярное уравнение для золотой спирали такой же , как и для других логарифмических спиралей , но с особым значением фактора роста Ь : [8]
Следовательно, b определяется выражением
Числовое значение b зависит от того, измеряется ли прямой угол как 90 градусов или какрадианы; и поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения(то есть b также может быть отрицательным по отношению к этому значению):
Альтернативная формула для логарифмической и золотой спирали: [10]
Что касается логарифмических спиралей золотой спирали имеет отличительное свойство , что в течение четырех коллинеарных спиральных точек А, В, С, D , принадлежащий к аргументам thetas ; , θ + π , θ + 2π , θ + 3π точка С является гармонической четвёркой из B по отношению к A, D, то есть поперечное отношение (A, D; B, C) имеет сингулярное значение -1. Золотая спираль - единственная логарифмическая спираль с (A, D; B, C) = (A, D; C, B).
Полярный склон
В полярном уравнении для логарифмической спирали :
В золотой спирали, будучи постоянный и равный (для θ в радианах, как определено выше), угол наклона является:
В популярной культуре
- Золотая спираль - ключевая концепция седьмой (и в гораздо меньшей степени восьмой ) части «Причудливого приключения ДжоДжо» .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Чанг, Ю-поется, « Золотая спираль архивации 2019-07-28 в Wayback Machine », Вольфрам Демонстрации проекта .
- ^ a b Мэдден, Чарльз Б. (2005) [1999]. Фиб и Фи в музыке: музыкальная форма золотой пропорции . High Art Press. С. 14–16. ISBN 978-0967172767.
- ^ Мидхат Газале (1999). Гномон: от фараонов до фракталов . Издательство Принстонского университета. п. 3. ISBN 9780691005140.
- ^ Например, эти книги: Ян CA Бойенс (2009). Химия из первых принципов . Springer. п. 261. ISBN. 9781402085451., П.Д. Фрей (2011). Границы идентичности: личное исследование психолога . Xlibris Corporation. ISBN 9781465355850.[ самостоятельно опубликованный источник ] , Рассел Хауэлл и Джеймс Брэдли (2011). Математика глазами веры . HarperCollins. п. 162. ISBN. 978-0062024473., Чарльз Сейф (2000). Зеро: Биография опасной идеи . Пингвин. п. 40 . ISBN 978-0140296471., Сандра Кайнс (2008). Морская магия: соединение с энергией океана . Llewellyn Worldwide. п. 100. ISBN 9780738713533., Брюс Бургер (1998). Эзотерическая анатомия: тело как сознание . Североатлантические книги. п. 144. ISBN 9781556432248.
- ^ Дэвид Дарлинг (2004). Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона . Джон Вили и сыновья. п. 188. ISBN 9780471270478.
- ^ Девлин, Кейт (май 2007 г.). «Миф, который никуда не денется» .
- ^ Петерсон, Иварс (01.04.2005). "Спирали морских ракушек" . Новости науки . Общество науки и общественности.
- ^ Прия Хеменуэй (2005). Божественная Пропорция: Φ Phi в искусстве, природе и науке . Sterling Publishing Co., стр. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7.
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A212225» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Клаус Майнцер (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки . Вальтер де Грюйтер. С. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A212224» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A335605» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.