В теории вероятностей и статистике , то обобщенное экстремальное значение ( GEV ) распределение представляет собой семейство непрерывных вероятностных распределений , разработанных в рамках теории экстремальных значений , чтобы объединить Гамбель , Фреш и Вейбулла семью также известную как типа I, распределение экстремальных значений II и III. По теореме об экстремальных значениях распределение GEV является единственно возможным предельным распределением правильно нормированных максимумов последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. [2]Обратите внимание, что должно существовать предельное распределение, которое требует условий регулярности в хвосте распределения. Несмотря на это, распределение GEV часто используется в качестве приближения для моделирования максимумов длинных (конечных) последовательностей случайных величин.
В некоторых областях применения обобщенное распределение экстремальных значений известно как распределение Фишера – Типпетта в честь Рональда Фишера и LHC Tippett, которые распознали три различные формы, описанные ниже. Однако использование этого имени иногда ограничивается особым случаем распределения Gumbel . Происхождение общей функциональной формы для всех трех распределений восходит, по крайней мере, к Дженкинсону, А.Ф. (1955), [3], хотя предположительно [4] она также могла быть дана Мизесом, Р. (1936). [5]
Технические характеристики
Использование стандартизованной переменной где параметр местоположения может быть любым действительным числом и - масштабный параметр; кумулятивная функция распределения распределения GEV тогда
где параметр формы может быть любым действительным числом. Таким образом, для, выражение справедливо для в то время как для это действительно для В первом случае - отрицательная нижняя конечная точка, где равно 0; во втором случае положительная верхняя конечная точка, где равно 1. Для второе выражение формально не определено и заменяется первым выражением, которое является результатом взятия предела второго, как в таком случае может быть любым действительным числом.
В частном случае среднего так а также ≈ для любых значений а также должно быть.
Функция плотности вероятности стандартизованного распределения имеет вид
снова действительно для в случае и для в случае Плотность равна нулю за пределами соответствующего диапазона. В случае плотность положительна на всей реальной линии.
Поскольку кумулятивная функция распределения обратима, функция квантили для распределения GEV имеет явное выражение, а именно:
и, следовательно, функция плотности квантиля является
действителен до и для любого реального
Сводные статистические данные
Вот некоторые простые статистические данные о распределении: [ необходима цитата ]
Параметр формы управляет хвостовым поведением распределения. Подсемейства, определяемые, а также соответствуют, соответственно, семействам Гамбеля, Фреше и Вейбулла, чьи кумулятивные функции распределения показаны ниже.
Гамбель или распределение экстремальных значений типа I ()
Распределение экстремальных значений Фреше или типа II, если а также
В следующих подразделах говорится о свойствах этих распределений.
Модификация минимумов, а не максимумов
Теория здесь относится к максимумам данных, и обсуждаемое распределение является распределением экстремальных значений для максимумов. Обобщенное распределение экстремальных значений для минимумов данных может быть получено, например, путем замены (- x ) вместо x в функции распределения и вычитания из единицы: это дает отдельное семейство распределений.
Альтернативное соглашение для распределения Вейбулла
Обычное распределение Вейбулла возникает в приложениях надежности и получается из распределения здесь с помощью переменной , что дает строго положительную поддержку - в отличие от использования здесь в теории экстремальных ценностей. Это происходит потому, что обычное распределение Вейбулла используется в случаях, когда речь идет о минимумах данных, а не о максимумах данных. Распределение здесь имеет дополнительный параметр по сравнению с обычной формой распределения Вейбулла и, кроме того, обратное, так что распределение имеет верхнюю границу, а не нижнюю границу. Важно отметить, что в приложениях GEV верхняя граница неизвестна и поэтому должна быть оценена, в то время как при применении обычного распределения Вейбулла в приложениях надежности нижняя граница обычно равна нулю.
Диапазоны распределений
Обратите внимание на различия в диапазонах, представляющих интерес для трех распределений экстремальных значений: Gumbel не ограничен, Fréchet имеет нижний предел, а обратный Weibull имеет верхний предел. Точнее, теория экстремальных значений (одномерная теория) описывает, какой из трех является ограничивающим законом в соответствии с исходным законом X и, в частности, в зависимости от его хвоста.
Распределение переменных журнала
Связать тип I с типами II и III можно следующим образом: если кумулятивная функция распределения некоторой случайной величины имеет тип II, а положительные числа служат опорой, т. е. , то кумулятивная функция распределения относится к типу I, а именно . Аналогично, если кумулятивная функция распределения относится к типу III, и с отрицательными числами в качестве опоры, т.е. , то кумулятивная функция распределения относится к типу I, а именно .
Ссылка на логит-модели (логистическая регрессия)
Полиномиальные логит- модели и некоторые другие типы логистической регрессии можно сформулировать как модели со скрытыми переменными с переменными ошибок, распределенными как распределения Гамбеля (обобщенные распределения экстремальных значений типа I). Эта формулировка распространена в теории моделей дискретного выбора , которые включают логит-модели , пробит-модели и их различные расширения, и вытекает из того факта, что разница двух переменных, распределенных GEV типа I, следует логистическому распределению , из которых функция логита является функцией квантилей . Таким образом, распределение GEV типа I играет в этих логит-моделях ту же роль, что и нормальное распределение в соответствующих пробит-моделях.
Характеристики
Интегральная функция распределения обобщенного распределения экстремальных значений решает стабильность постулат уравнение. [ необходимая цитата ] Обобщенное распределение экстремальных значений является частным случаем max-устойчивого распределения и является преобразованием min-устойчивого распределения.
Приложения
Распределение GEV широко используется для обработки «хвостовых рисков» в самых разных областях, от страхования до финансов. В последнем случае это рассматривалось как средство оценки различных финансовых рисков с помощью таких показателей, как стоимость под риском . [6] [7]
Соответствующее распределение вероятности GEV для месячного максимума однодневных осадков в октябре, Суринам [8]
Однако было обнаружено, что результирующие параметры формы лежат в диапазоне, ведущем к неопределенным средним и дисперсиям, что подчеркивает тот факт, что надежный анализ данных часто невозможен. [9]
В гидрологии распределение GEV применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток реки. Синяя картинка, сделанная с помощью CumFreq , иллюстрирует пример подгонки распределения GEV к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, показывая также пояс уверенности 90%, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде точек на графике как часть кумулятивного частотного анализа .
Пример для нормально распределенных переменных
Позволять быть iid нормально распределенными случайными величинами со средним 0 и дисперсией 1. Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко говорит нам, что, где
.
Это позволяет нам оценить, например, среднее значение от среднего значения распределения GEV:
Связанные дистрибутивы
Если тогда
Если ( Распределение Гамбеля ) тогда
Если ( Распределение Вейбулла ), тогда
Если тогда ( Распределение Вейбулла )
Если ( Экспоненциальное распределение ), тогда
Если а также тогда (см. Logistic_distribution ).
Если а также тогда (Сумма не является логистическим распределением). Обратите внимание, что.
Доказательства
4. Пусть , то кумулятивное распределение является:
который является cdf для .
5. Пусть , то кумулятивное распределение является:
что является совокупным распределением .
Смотрите также
Теория экстремальных значений (одномерная теория)
Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко.
Обобщенное распределение Парето
Проблема с немецкими танками , противоположный вопрос о максимуме численности населения на максимуме выборки
Теорема Пикандса – Балкемы – де Хаана.
Рекомендации
^ а б Муралидхаран. Г., К. Гедес Соарес и Клаудиа Лукас (2011). «Характеристические и порождающие моменты функции обобщенного распределения экстремальных значений (GEV)». В Линде. Л. Райт (ред.), Повышение уровня моря, прибрежная инженерия, береговые линии и приливы , Глава 14, стр. 269–276. Издательство Nova Science. ISBN 978-1-61728-655-1
^Хаан, Лоренс; Феррейра, Ана (2007). Теория экстремальных ценностей: введение . Springer.
^Дженкинсон, Артур Ф (1955). «Частотное распределение годовых максимальных (или минимальных) значений метеорологических элементов». Ежеквартальный журнал Королевского метеорологического общества . 81 (348): 158–171. DOI : 10.1002 / qj.49708134804 .
^Хаан, Лоренс; Феррейра, Ана (2007). Теория экстремальных ценностей: введение . Springer.
^Мизес, Р. фон. (1936). "La distribution de la plus grande de n valeurs". Rev. Math. Union Interbalcanique 1 : 141–160.
^ Москаделли, Марко. «Моделирование операционного риска: опыт анализа данных, собранных Базельским комитетом». Доступен по SSRN 557214 (2004).
^Guégan, D .; Хассани, Б.К. (2014), «Математическое возрождение управления рисками: экстремальное моделирование мнений экспертов», Frontiers in Finance and Economics , 11 (1): 25–45, SSRN 2558747
^ CumFreq для подгонки распределения вероятностей [1]
^ Kjersti Aas, лекции, NTNU, Трондхейм, 23 января 2008
дальнейшее чтение
Эмбрехтс, Пол; Клюппельберг, Клаудиа ; Микош, Томас (1997). Моделирование экстремальных событий для страхования и финансов . Берлин: Springer Verlag. ISBN 9783540609315.
Лидбеттер, М.Р., Линдгрен, Г. и Рутцен, Х. (1983). Крайности и связанные с ними свойства случайных последовательностей и процессов . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90731-9.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Резник, С.И. (1987). Экстремальные значения, регулярные вариации и точечные процессы . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96481-9.
Коулз, Стюарт (2001). Введение в статистическое моделирование экстремальных значений . Springer-Verlag. ISBN 1-85233-459-2.