Подкольцо с фиксированной точкой

В алгебре , то с фиксированной точкой Подкольцо из автоморфизмов F в виде кольца R является Подкольцо из фиксированных точек из F :${\ displaystyle R ^ {f}}$

${\ displaystyle R ^ {f} = \ {r \ in R \ mid f (r) = r \}.}$

В более общем смысле, если G - группа, действующая на R , то подкольцо R :

${\ Displaystyle R ^ {G} = \ {р \ in R \ mid g \ cdot r = r, \, g \ in G \}}$

называется фиксированным подкольцом или, более традиционно, кольцом инвариантов . В теории Галуа , когда R - поле, а G - группа полевых автоморфизмов, фиксированное кольцо является подполем, называемым фиксированным полем группы автоморфизмов; см. Основную теорему теории Галуа .

Наряду с модулем ковариантов.- , то кольцо инвариантов является центральным объектом изучения в теории инвариантов . Геометрически кольца инвариантов являются координатными кольцами (аффинных или проективных) факторов GIT, и они играют фундаментальную роль в конструкциях в геометрической теории инвариантов .

Пример : Пусть быть кольцо многочленов в п переменных. Симметричная группа S _п действует на R перестановки переменных. Тогда кольцо инвариантов R ^G - это кольцо симметрических многочленов . Если редуктивная алгебраическая группа G действует на R , то фундаментальная теорема теории инвариантов описывает генераторы R ^G .${\ Displaystyle R = К [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$

Четырнадцатая проблема Гильберта спрашивает, конечно порождено кольцо инвариантов (ответ будет положительным, если G является редуктивной алгебраической группой по теореме Нагаты). Конечная порождаемость легко увидеть для конечной группы G, действующей на конечно порожденной алгебре R : так как R является интегралом по R ^G , ^[1] Артина- Тэйт лемма вытекает R ^G является конечно порожденной алгеброй. Для некоторых унипотентных групп ответ отрицательный .

Пусть G - конечная группа. Пусть S - симметрическая алгебра конечномерного G- модуля . Тогда G является группой отражений тогда и только тогда, когда является свободным модулем (конечного ранга ) над S ^G (теорема Шевалле). ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle S}$

В дифференциальной геометрии , если G - группа Ли и ее алгебра Ли , то каждое главное G- расслоение на многообразии M определяет гомоморфизм градуированной алгебры (называемый гомоморфизмом Черна – Вейля )${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Lie} (G)}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] ^ {G} \ to \ operatorname {H} ^ {2 *} (M; \ mathbb {C})}$

где это кольцо полиномиальных функций на и G действует на по присоединенном представлении .${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}]}$

См. Также [ править ]

• разнообразие персонажей

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Мукаи, Сигэру; Oxbury, WM (8 сентября 2003 г.) [1998], Введение в инварианты и модули , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 81 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80906-1, MR  2004218
• Спрингер, Тонни А. (1977), Теория инвариантов , Лекционные заметки по математике, 585 , Springer