Фридман-Леметр-Robertson-Walker ( FLRW ; / е р я д м ə п л ə м ɛ т г ə ... / ) метрикой является точным решением из уравнений Эйнштейна в ОТО ; он описывает однородную , изотропную , расширяющуюся (или иным образом сжимающуюся) Вселенную, которая линейно связана , но не обязательнопросто связано . [1] [2] [3] Общий вид метрики следует из геометрических свойств однородности и изотропии; Полевые уравнения Эйнштейна нужны только для получения масштабного фактора Вселенной как функции времени. В зависимости от географических или исторических предпочтений группа из четырех ученых - Александра Фридмана , Жоржа Лемэтра , Ховарда П. Робертсона и Артура Джеффри Уокера - обычно группируется как Фридманн или Фридман-Робертсон-Уокер ( FRW ) или Робертсон-Уокер ( RW ). или Фридман – Лемэтр ( Флорида ). Эта модель иногда называют стандартной модели современной космологии , [4] , хотя такое описание также связано с дальнейшей разработанной модели лямбда-CDM . Модель FLRW была разработана названными авторами независимо в 1920-х и 1930-х годах.
Общая метрика
Метрика FLRW начинается с предположения об однородности и изотропии пространства. Также предполагается, что пространственный компонент метрики может зависеть от времени. Общая метрика, удовлетворяющая этим условиям:
где распространяется в трехмерном пространстве равномерной кривизны, то есть в эллиптическом пространстве , евклидовом пространстве или гиперболическом пространстве . Обычно он записывается как функция трех пространственных координат, но для этого существует несколько соглашений, подробно описанных ниже.не зависит от t - вся временная зависимость находится в функции a ( t ), известной как « масштабный коэффициент ».
Полярные координаты приведенной окружности
В полярных координатах с приведенной окружностью пространственная метрика имеет вид
k - постоянная, представляющая кривизну пространства. Есть два общепринятых соглашения о единицах измерения:
- k может иметь единицы длины -2 , и в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) не имеет единиц измерения. k тогда является гауссовой кривизной пространства в то время, когда a ( t ) = 1. r иногда называют приведенной окружностью, потому что она равна измеренной длине окружности (при этом значении r ) с центром в начале координат. , деленное на 2 π (как r в координатах Шварцшильда ). Где это уместно, a ( t ) часто выбирается равным 1 в нынешнюю космологическую эру, так чтоизмеряет сопутствующее расстояние .
- В качестве альтернативы, k можно считать принадлежащим набору {-1,0, + 1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерно и a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ± 1, a ( t ) - это радиус кривизны пространства, его также можно записать как R ( t ).
Недостатком уменьшенных координат окружности является то, что они покрывают только половину 3-сферы в случае положительной кривизны - окружности за этой точкой начинают уменьшаться, что приводит к вырождению. (Это не проблема, если пространство эллиптическое , т. Е. 3-сфера с обозначенными противоположными точками.)
Гиперсферические координаты
В гиперсферических или нормированных по кривизне координатах координата r пропорциональна радиальному расстоянию; это дает
где как раньше и
Как и раньше, существует два общих соглашения о единицах измерения:
- k может иметь единицы длины -2 , и в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) не имеет единиц измерения. k тогда является гауссовой кривизной [ требуется уточнение ] пространства в то время, когда a ( t ) = 1. Где это уместно, a ( t ) часто выбирается равным 1 в нынешнюю космологическую эру, так чтоизмеряет сопутствующее расстояние .
- В качестве альтернативы, как и раньше, k можно считать принадлежащим набору {-1,0, + 1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерно и a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ± 1, a ( t ) - это радиус кривизны пространства, его также можно записать как R ( t ). Обратите внимание, что когда k = +1, r по существу является третьим углом наряду с θ и φ . Вместо r можно использовать букву χ .
Хотя это обычно определяется кусочно, как указано выше, S является аналитической функцией как k, так и r . Его также можно записать в виде степенного ряда
или как
где sinc - ненормализованная функция sinc, аявляется одним из мнимых, нулевых или действительных квадратных корней из k . Эти определения верны для всех k .
Декартовы координаты
Когда k = 0, можно просто написать
Это можно продолжить до k ≠ 0, задав
- ,
- , а также
- ,
где r - одна из радиальных координат, определенных выше, но это бывает редко.
Кривизна
Декартовы координаты
В квартире FLRW пространство , используя декартовы координаты, выжившие компоненты Риччи тензора являются [5]
а скаляр Риччи равен
Сферические координаты
В более общем пространстве FLRW, использующем сферические координаты (названные выше «полярными координатами уменьшенной окружности»), уцелевшие компоненты тензора Риччи равны [6]
а скаляр Риччи равен
Решения
Полевые уравнения Эйнштейна не используются при выводе общей формы для метрики: это следует из геометрических свойств однородности и изотропности. Однако определение временной эволюции требует уравнений поля Эйнштейна вместе со способом вычисления плотности, например, космологическое уравнение состояния .
Эта метрика имеет аналитическое решение уравнений поля Эйнштейна дающие уравнения Фридмана, когда тензор энергии-импульса аналогично предполагается изотропным и однородным. В результате получаются следующие уравнения: [7]
Эти уравнения являются основой стандартной космологической модели Большого взрыва, включая текущую модель ΛCDM . [8] Поскольку модель FLRW предполагает однородность, некоторые популярные источники ошибочно утверждают, что модель Большого взрыва не может объяснить наблюдаемую кусковость Вселенной. В строго модели FLRW нет скоплений галактик, звезд или людей, поскольку это объекты, намного более плотные, чем типичная часть Вселенной. Тем не менее, модель FLRW используется в качестве первого приближения для эволюции реальной комковатой Вселенной, потому что ее легко вычислить, а модели, которые рассчитывают комковатость во Вселенной, добавляются к моделям FLRW в качестве расширений. Большинство космологов согласны с тем, что наблюдаемая Вселенная хорошо аппроксимируется почти моделью FLRW , то есть моделью, которая следует метрике FLRW, за исключением первичных флуктуаций плотности . По состоянию на 2003 год[Обновить]теоретические последствия различных расширений модели FLRW, по-видимому, хорошо поняты, и цель состоит в том, чтобы согласовать их с наблюдениями COBE и WMAP .
Если пространство-время многосвязно , то каждое событие будет представлено более чем одним кортежем координат. [ необходима цитата ]
Интерпретация
Приведенная выше пара уравнений эквивалентна следующей паре уравнений
с участием , индекс пространственной кривизны, служащий постоянной интегрирования для первого уравнения.
Первое уравнение может быть выведено также из термодинамических соображений и эквивалентно первому закону термодинамики , если предположить, что расширение Вселенной является адиабатическим процессом (что неявно предполагается при выводе метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера).
Второе уравнение гласит, что и плотность энергии, и давление вызывают скорость расширения Вселенной. уменьшаться, т. е. оба вызывают замедление расширения Вселенной. Это следствие гравитации , когда давление играет такую же роль, как плотность энергии (или массы), согласно принципам общей теории относительности . С другой стороны, космологическая постоянная вызывает ускорение расширения Вселенной.
Космологическая постоянная
Космологическая постоянная может быть опущен , если мы сделаем следующие замены
Следовательно, космологическую постоянную можно интерпретировать как возникшую из формы энергии, которая имеет отрицательное давление, равное по величине ее (положительной) плотности энергии:
Такая форма энергии - обобщение понятия космологической постоянной - известна как темная энергия .
Фактически, чтобы получить член, вызывающий ускорение расширения Вселенной, достаточно иметь скалярное поле, удовлетворяющее
Такое поле иногда называют квинтэссенцией .
Ньютоновская интерпретация
Это связано с МакКри и Милном [9], хотя иногда ошибочно приписывается Фридману. Уравнения Фридмана эквивалентны этой паре уравнений:
Первое уравнение гласит, что уменьшение массы, содержащейся в фиксированном кубе (сторона которого на мгновение равна а ), представляет собой количество, которое уходит через стороны из-за расширения Вселенной, плюс массовый эквивалент работы, совершаемой давлением на материал. быть исключенным. Это сохранение массы-энергии ( первый закон термодинамики ), содержащегося в части Вселенной.
Второе уравнение говорит, что кинетическая энергия (если смотреть из исходной точки) частицы единичной массы, движущейся с расширением, плюс ее (отрицательная) гравитационная потенциальная энергия (относительно массы, содержащейся в сфере материи ближе к исходной точке) равна к константе, связанной с кривизной Вселенной. Другими словами, энергия (относительно начала координат) движущейся частицы в свободном падении сохраняется. Общая теория относительности просто добавляет связь между пространственной кривизной Вселенной и энергией такой частицы: положительная полная энергия подразумевает отрицательную кривизну, а отрицательная полная энергия подразумевает положительную кривизну.
Предполагается, что член космологической постоянной рассматривается как темная энергия и, таким образом, объединен с членами плотности и давления.
В эпоху Планка нельзя пренебрегать квантовыми эффектами. Таким образом, они могут вызвать отклонение от уравнений Фридмана.
Имя и история
Советский математик Александр Фридман впервые получил основные результаты модели FLRW в 1922 и 1924 годах. [10] [11] Хотя престижный физический журнал Zeitschrift für Physik опубликовал его работу, современники не заметили ее. Фридман напрямую общался с Альбертом Эйнштейном , который от имени Zeitschrift für Physik выступал в качестве научного рецензента работы Фридмана. В конце концов Эйнштейн признал правильность расчетов Фридмана, но не смог оценить физическое значение предсказаний Фридмана.
Фридман умер в 1925 году. В 1927 году Жорж Лемэтр , бельгийский священник, астроном и профессор периодической физики в Католическом университете Левена , независимо пришел к результатам, аналогичным результатам Фридмана, и опубликовал их в Annales de la Société Scientifique de Bruxelles ( Летопись Брюссельского научного общества). [12] [13] Перед лицом наблюдательных данных о расширении Вселенной, полученных Эдвином Хабблом в конце 1920-х годов, результаты Леметра были замечены, в частности, Артуром Эддингтоном , и в 1930–31 годах статья Лемэтра была переведена на английский язык и язык. опубликовано в Ежемесячных уведомлениях Королевского астрономического общества .
Ховард П. Робертсон из США и Артур Джеффри Уокер из Великобритании исследовали проблему более подробно в 1930-х годах. [14] [15] [16] [17] В 1935 году Робертсон и Уокер строго доказали, что метрика FLRW - единственная в пространстве-времени, которая является пространственно однородной и изотропной (как отмечалось выше, это геометрический результат и не связан особенно к уравнениям общей теории относительности, которые всегда предполагались Фридманом и Лемэтром).
Это решение, часто называемое метрикой Робертсона – Уокера, поскольку они доказали его общие свойства, отличается от динамических моделей «Фридмана – Леметра» , которые являются конкретными решениями для a ( t ), которые предполагают, что единственные вклады в энергию напряжения - холодные. материя («пыль»), излучение и космологическая постоянная.
Радиус Вселенной Эйнштейна
Радиус Вселенной Эйнштейна - это радиус кривизны пространства Вселенной Эйнштейна , давно заброшенной статической модели, которая должна была представлять нашу Вселенную в идеализированной форме. Положив
в уравнении Фридмана радиус кривизны пространства этой вселенной (радиус Эйнштейна) равен [ необходима цитата ]
- ,
где это скорость света, - ньютоновская гравитационная постоянная , аэто плотность пространства этой вселенной. Числовое значение радиуса Эйнштейна составляет порядка 10 10 световых лет .
Свидетельство
Объединив данные наблюдений из некоторых экспериментов, таких как WMAP и Planck, с теоретическими результатами теоремы Элерса-Герен-Сакса и ее обобщения, [18] астрофизики теперь соглашаются, что Вселенная почти однородна и изотропна (при усреднении по очень большому масштабу) и, таким образом, почти пространство-время FLRW.
Рекомендации
- ^ Для ранней ссылки см Робертсон (1935); Робертсон предполагает множественную связность в случае положительной кривизны и говорит, что «мы все еще можем восстановить» простую связность.
- ^ М. Лакиезе-Рей; Ж.-П. Luminet (1995), «Космическая топология», Physics Reports , 254 (3): 135–214, arXiv : gr-qc / 9605010 , Bibcode : 1995PhR ... 254..135L , doi : 10.1016 / 0370-1573 (94 ) 00085-H , S2CID 119500217
- ^ GFR Ellis; Х. ван Эльст (1999). «Космологические модели (лекции Каржеза 1998 г.)». В Marc Lachièze-Rey (ред.). Теоретическая и наблюдательная космология . Научная серия НАТО C. 541 . С. 1–116. arXiv : gr-qc / 9812046 . Bibcode : 1999ASIC..541 .... 1E . ISBN 978-0792359463.
- ^ Л. Бергстрем, А. Губар (2006), Космология и астрофизика элементарных частиц (2-е изд.), Sprint , p. 61, ISBN 978-3-540-32924-4
- ^ Уолд, Роберт. Общая теория относительности . п. 97.
- ^ «Космология» (PDF) . п. 23.
- ^ П. Охеда и Х. Росу (2006), "Суперсимметрия баротропных космологий FRW", Международный журнал теоретической физики , 45 (6): 1191–1196, arXiv : gr-qc / 0510004 , Bibcode : 2006IJTP ... 45.1152R , DOI : 10.1007 / s10773-006-9123-2 , S2CID 119496918
- ^ Их решения можно найти в Rosu, Haret C .; Mancas, Stefan C .; Чен, Писин (05.05.2015). «Баротропные космологии FRW с затуханием Кьеллини в сопутствующем времени». Современная физика Буква A . 30 (20): 1550100. arXiv : 1502.07033 . Bibcode : 2015MPLA ... 3050100R . DOI : 10.1142 / S021773231550100x . ISSN 0217-7323 . S2CID 51948117 .
- ^ McCrea, WH; Милн, EA (1934). «Ньютоновские вселенные и искривление пространства». Ежеквартальный математический журнал . 5 : 73–80. Bibcode : 1934QJMat ... 5 ... 73M . DOI : 10.1093 / qmath / os-5.1.73 .
- ^ Фридман, Александр (1922), «Uber die Krümmung des Raumes», Zeitschrift für Physik A , 10 (1): 377–386, Bibcode : 1922ZPhy ... 10..377F , doi : 10.1007 / BF01332580 , S2CID 125190902
- ^ Фридман, Александр (1924), "Убер умирает Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A , 21 (1): 326–332, Bibcode : 1924ZPhy ... 21..326F , doi : 10.1007 / BF01328280 , S2CID 120551579Англ. Пер. в «Общая теория относительности и гравитации» 1999, том 31, 31–
- ^ Лемэтр, Жорж (1931), "Расширение Вселенной, Однородная Вселенная постоянной массы и увеличивающегося радиуса, учитывающая радиальную скорость внегалактической туманности", Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 91 (5): 483–490 , Bibcode : 1931MNRAS..91..483L , DOI : 10,1093 / MNRAS / 91.5.483 переведено сЛемэтр, Жорж (1927), "Un Universe homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A47 : 49–56, Bibcode : 1927ASSB .. .47 ... 49 л
- ^ Lemaître, Georges (1933), "l'Univers en extension", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A53 : 51–85, Bibcode : 1933ASSB ... 53 ... 51L
- ^ Робертсон, HP (1935), «Кинематика и структура мира», Astrophysical Journal , 82 : 284–301, Bibcode : 1935ApJ .... 82..284R , doi : 10.1086 / 143681
- ^ Робертсон, HP (1936), «Кинематика и структура мира II», Astrophysical Journal , 83 : 187–201, Bibcode : 1936ApJ .... 83..187R , doi : 10.1086 / 143716
- ^ Робертсон, HP (1936), «Кинематика и структура мира III», Astrophysical Journal , 83 : 257–271, Bibcode : 1936ApJ .... 83..257R , doi : 10.1086 / 143726
- ^ Уокер, А.Г. (1937), "Теория мир-структуры Милна", Труды Лондонского математического общества , серия 2, 42 (1): 90–127, Bibcode : 1937PLMS ... 42 ... 90W , doi : 10.1112 / плмс / с2-42.1.90
- ^ См. Стр. 351 и далее. в Хокинг, Стивен У .; Эллис, Джордж FR (1973), крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09906-6. Оригинальная работа - Элерс, Дж., Герен, П., Сакс, Р. К.: Изотропные решения уравнений Эйнштейна-Лиувилля. J. Math. Phys. 9, 1344 (1968). Для обобщения см. Stoeger, WR; Maartens, R; Эллис, Джордж (2007), "Доказательство почти однородности Вселенной: почти теорема Элерса-Герен-Сакса", Astrophys. J. , 39 : 1-5, Bibcode : 1995ApJ ... 443 .... 1S , DOI : 10,1086 / 175496.
дальнейшее чтение
- North JD: (1965) Мера Вселенной - история современной космологии , Oxford Univ. Press, Dover переиздание 1990 г., ISBN 0-486-66517-8
- Харрисон, ER (1967), "Классификация однородных космологических моделей", Monthly Notices Королевского астрономического общества , 137 : 69-79, Bibcode : 1967MNRAS.137 ... 69h , DOI : 10,1093 / MNRAS / 137.1.69
- д'Инверно, Рэй (1992), Введение в теорию относительности Эйнштейна , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8. (См. Главу 23 для особенно ясного и краткого введения в модели FLRW.)