Обобщенная теорема Стокса
В векторном исчислении и дифференциальной геометрии обобщенная теорема Стокса (иногда с апострофом как теорема Стокса или теорема Стокса ), также называемая теоремой Стокса-Картана , [1] представляет собой утверждение об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях , которое одновременно упрощает и обобщает несколько теорем векторного исчисления . Это обобщение фундаментальной теоремы исчисления Исаака Ньютона, которая связывает двумерные линейные интегралы с трехмерными поверхностными интегралами.[2]
Теорема Стокса утверждает, что интеграл дифференциальной формы ω по границе некоторого ориентируемого многообразия Ω равен интегралу от ее внешней производной dω по всему Ω , т . е.
Теорема Стокса была сформулирована в ее современной форме Эли Картаном в 1945 году [3] после более ранней работы по обобщению теорем векторного исчисления Вито Вольтерры , Эдуарда Гурса и Анри Пуанкаре . [4] [5]
Эта современная форма теоремы Стокса является обширным обобщением классического результата , который лорд Кельвин сообщил Джорджу Стоуксу в письме от 2 июля 1850 года . Экзамен на премию Смита , в результате которого был получен результат, носящий его имя. Впервые он был опубликован Германом Ганкелем в 1861 г. [8] [9] Этот классический случай связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля F по поверхности (т. е . поток ротора F ) в евклидовом трехмерном пространстве к линейному интегралу векторного поля по границе поверхности (также известному как петлевой интеграл).
Классические обобщения основной теоремы исчисления , такие как теорема о дивергенции и теорема Грина из векторного исчисления, являются частными случаями общей формулировки, изложенной выше, после стандартного отождествления векторных полей с дифференциальными формами (различными для каждой из классических теорем).
Вторая фундаментальная теорема исчисления утверждает, что интеграл функции f по интервалу [ a , b ] можно вычислить, найдя первообразную F функции f :