В векторном исчислении , то теорема дивергенции , также известная как теорема Гаусса или теоремы Остроградских в , [1] является теоремой , которая связывает поток из более векторного поля через замкнутую поверхность к дивергенции поля в объеме прилагаемого.
Точнее, теорема о расходимости утверждает, что поверхностный интеграл векторного поля над замкнутой поверхностью, который называется потоком через поверхность, равен объемному интегралу от расходимости по области внутри поверхности. Интуитивно он утверждает, что сумма всех источников поля в регионе (со стоками, рассматриваемыми как отрицательные источники) дает чистый поток из региона .
Теорема о расходимости - важный результат для математической физики и инженерии , особенно в электростатике и гидродинамике . В этих областях он обычно применяется в трех измерениях. Однако он распространяется на любое количество измерений. В одном измерении это эквивалентно интегрированию по частям . В двух измерениях это эквивалентно теореме Грина .
Объяснение с использованием потока жидкости
Векторные поля часто иллюстрируются на примере скорости поля жидкости , такие как газ или жидкость. Движущаяся жидкость имеет скорость - скорость и направление - в каждой точке, которую можно представить вектором , так что скорость жидкости образует векторное поле. Рассмотрим воображаемую замкнутую поверхность S внутри тела жидкости, заключающую в себе объем жидкости. Поток жидкость из объема равен объемная скорость перехода жидкости этой поверхности, то есть поверхностный интеграл скорости по поверхности.
Поскольку жидкости несжимаемы, количество жидкости внутри замкнутого объема постоянно; если внутри объема нет источников или стоков, то поток жидкости из S равен нулю. Если жидкость движется, она может втекать в объем в некоторых точках на поверхности S и выходить из объема в других точках, но количества, втекающие и выходящие в любой момент, равны, поэтому чистый поток жидкости из объем равен нулю.
Однако, если источник жидкости находится внутри закрытой поверхности, такой как труба, по которой вводится жидкость, дополнительная жидкость будет оказывать давление на окружающую жидкость, вызывая поток наружу во всех направлениях. Это приведет к чистым наружу поток через поверхность S . Поток наружу через S равен объемному расходу жидкости в S из трубы. Точно так же, если внутри S есть слив или слив , такой как труба, по которой сливается жидкость, внешнее давление жидкости будет вызывать скорость жидкости, направленную внутрь к месту слива. Объемная скорость потока жидкости внутрь через поверхность S равна скорости жидкости, удаляемой мойкой.
Если внутри S имеется несколько источников и стоков жидкости , поток через поверхность можно рассчитать, сложив объемный расход жидкости, добавляемой источниками, и вычитая скорость жидкости, сливаемой стоками. Объемный расход жидкости через источник или сток (поток через сток имеет отрицательный знак) равен дивергенции поля скорости в устье трубы, поэтому складывается (интегрируется) дивергенция жидкости во всем объем приложен S равна объемной скорости потока через S . Это теорема о расходимости. [2]
Теорема о дивергенции используется в любом законе сохранения, который гласит, что общий объем всех стоков и источников, то есть объемный интеграл дивергенции, равен чистому потоку через границу объема. [3]
Математическое утверждение
Предположим, что V - подмножество(в случае n = 3, V представляет собой объем в трехмерном пространстве ), который является компактным и имеет кусочно- гладкую границу S (также обозначенную как ∂ V = S ). Если Р является непрерывно дифференцируемое векторное поле , определенное на окрестности из V , то: [4] [ не прошла проверку - см обсуждение ]
Левая сторона представляет собой объемный интеграл по объему V , правая сторона представляет собой поверхностный интеграл по границе объема V . Замкнутое многообразие ∂ V ориентирован на внешнем мире, указывающие нормали , а п является внешним указывая единичный вектор нормали в каждой точке на границе ∂ V . ( d S может использоваться как сокращение для n dS .) С точки зрения интуитивного описания выше, левая часть уравнения представляет собой общее количество источников в объеме V , а правая часть представляет собой общее количество поток через границу S .
Неформальное происхождение
Теорема о расходимости следует из того факта, что если объем V разделен на отдельные части, поток из исходного объема равен сумме потоков из каждого объема компонента. [5] Это верно, несмотря на то, что новые подобъемы имеют поверхности, которые не были частью поверхности исходного тома, потому что эти поверхности являются просто перегородками между двумя подобъемами, и поток через них просто проходит от одного объема к другому и поэтому отменяется при суммировании потока из подобъемов.
См. Схему. Замкнутый ограниченный объем V разделен на два объема V 1 и V 2 поверхностью S 3 (зеленая) . Поток Φ ( V i ) из каждой составляющей области V i равен сумме потоков через две его грани, поэтому сумма потока из двух частей равна
где Φ 1 и Φ 2 - поток через поверхности S 1 и S 2 , Φ 31 - поток через S 3 из объема 1, а Φ 32 - поток через S 3 из объема 2. Дело в том, что поверхность S 3 является частью поверхности обоих объемов. Направление "наружу" вектора нормали противоположен для каждого объема, поэтому поток из одного через S 3 равен отрицательному потоку из другого
таким образом, эти два потока сокращаются в сумме. Следовательно
Поскольку объединение поверхностей S 1 и S 2 есть S
Этот принцип применим к объему, разделенному на любое количество частей, как показано на схеме. [5] Поскольку интеграл по каждой внутренней перегородке (зеленые поверхности) появляется с противоположными знаками в потоке двух соседних объемов, они сокращаются, и единственный вклад в поток - интеграл по внешним поверхностям (серый) . Поскольку внешние поверхности всех объемов компонентов равны исходной поверхности.
Поток Φ из каждого объема является поверхностным интегралом векторного поля F ( x ) по поверхности
Цель состоит в том, чтобы разделить исходный объем на бесконечное множество бесконечно малых объемов. Поскольку объем делится на меньшие и меньшие части, поверхностный интеграл справа, поток из каждого подобъема, приближается к нулю, потому что площадь поверхности S ( V i ) приближается к нулю. Однако, исходя из определения дивергенции , отношение потока к объему,, часть в скобках ниже, в общем случае не обращается в нуль, а приближается к расходимости div F, когда объем приближается к нулю. [5]
Пока векторное поле F ( x ) имеет непрерывные производные, указанная выше сумма сохраняется даже в пределе, когда объем делится на бесконечно малые приращения.
В виде приближается к нулевому объему, он становится бесконечно малым dV , часть в скобках становится дивергенцией, а сумма становится интегралом объема по V
Поскольку этот вывод не содержит координат, он показывает, что расхождение не зависит от используемых координат.
Следствия
Заменяя F в теореме о расходимости конкретными формами, можно вывести другие полезные тождества (ср. Векторные тождества ). [4]
- С участием для скалярной функции g и векторного поля F ,
- Частным случаем этого является F = ∇ f , и в этом случае теорема является основой тождеств Грина .
- С участием для двух векторных полей F и G , где обозначает перекрестное произведение,
- С участием для двух векторных полей F и G , где обозначает скалярное произведение,
- С участием для скалярной функции f и векторного поля c : [6]
- Последний член справа обращается в нуль при постоянном или любое бездивергентное (соленоидальное) векторное поле, например, несжимаемые потоки без источников или стоков, таких как фазовые превращения или химические реакции и т. д. быть постоянным:
- С участием для векторного поля F и постоянного вектора c : [6]
- Переупорядочив тройное произведение в правой части и исключив постоянный вектор интеграла,
- Следовательно,
Пример
Предположим, мы хотим оценить
где S - единичная сфера, определяемая формулой
и F - векторное поле
Прямое вычисление этого интеграла довольно сложно, но мы можем упростить вывод результата, используя теорему о расходимости, потому что теорема о расходимости говорит, что интеграл равен:
где W - единичный шар:
Поскольку функция y положительна в одном полушарии W и отрицательна в другом, ее полный интеграл по W равен нулю. То же верно и для z :
Следовательно,
поскольку единичный шар W имеет объем 4 π/3.
Приложения
Дифференциальная форма и интегральная форма физических законов
В результате теоремы о расходимости множество физических законов может быть записано как в дифференциальной форме (где одна величина является дивергенцией другой), так и в интегральной форме (где поток одной величины через замкнутую поверхность равен потоку другой величины. количество). Три примера - это закон Гаусса (в электростатике ), закон Гаусса для магнетизма и закон Гаусса для гравитации .
Уравнения неразрывности
Уравнения непрерывности предлагают больше примеров законов как с дифференциальной, так и с интегральной формами, связанных друг с другом теоремой о расходимости. В гидродинамике , электромагнетизме , квантовой механике , теории относительности и ряде других областей существуют уравнения неразрывности, которые описывают сохранение массы, импульса, энергии, вероятности или других величин. Как правило, эти уравнения утверждают, что дивергенция потока сохраняющейся величины равна распределению источников или стоков этой величины. Теорема о дивергенции утверждает, что любое такое уравнение неразрывности может быть записано в дифференциальной форме (в терминах дивергенции) и в интегральной форме (в терминах потока). [7]
Законы обратных квадратов
Вместо этого любой закон обратных квадратов может быть записан в форме закона Гаусса (с дифференциальной и интегральной формами, как описано выше). Два примера закон Гаусс (в электростатике), что следует из обратных квадратов закона Кулона и закон Гаусса для гравитации , которая следует из обратных квадратов закона Ньютона всемирного тяготения . Вывод уравнения типа закона Гаусса из формулировки обратных квадратов или наоборот абсолютно одинаков в обоих случаях; подробности см. в любой из этих статей. [7]
История
Жозеф-Луи Лагранж ввел понятие поверхностных интегралов в 1760 году и снова в более общих терминах в 1811 году во втором издании своей « Аналитической аналитики» . Лагранж использовал поверхностные интегралы в своих работах по механике жидкости. [8] Он открыл теорему о расходимости в 1762 году. [9]
Карл Фридрих Гаусс также использовал поверхностные интегралы, работая над гравитационным притяжением эллиптического сфероида в 1813 году, когда он доказал частные случаи теоремы о расходимости. [10] [8] Он доказал дополнительные частные случаи в 1833 и 1839 годах. [11] Но именно Михаил Остроградский дал первое доказательство общей теоремы в 1826 году в рамках своего исследования теплового потока. [12] Особые случаи были доказаны Джорджем Грином в 1828 году в «Очерке применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» , [13] [11] Симеоном Дени Пуассоном в 1824 году в статье об упругости и Фредериком Саррусом в 1828 г. в работе о плавучих телах. [14] [11]
Примеры работ
Пример 1
Чтобы проверить планарный вариант теоремы о расходимости для области :
и векторное поле:
Граница это единичный круг, , который параметрически может быть представлен как:
такой, что где единицы - длина дуги от точки к точке на . Тогда векторное уравнение является
В какой-то момент на :
Следовательно,
Так как , мы можем оценить , и потому что, . Таким образом
Пример 2
Допустим, мы хотели оценить поток следующего векторного поля, определяемого формулой ограниченный следующими неравенствами:
По теореме о расходимости
Теперь нам нужно определить расхождение . Если является трехмерным векторным полем, то расходимость дан кем-то .
Таким образом, мы можем установить следующий интеграл потока следующим образом:
Теперь, когда мы установили интеграл, мы можем его вычислить.
Обобщения
Несколько измерений
Можно использовать общую теорему Стокса, чтобы приравнять n- мерный объемный интеграл дивергенции векторного поля F над областью U к ( n - 1) -мерному поверхностному интегралу F по границе U :
Это уравнение также известно как теорема о расходимости.
Когда n = 2 , это эквивалентно теореме Грина .
При n = 1 это сводится к интегрированию по частям .
Тензорные поля
Записываем теорему в обозначениях Эйнштейна :
намеком, заменив векторное поле F с rank- п тензорного поля Т , то это может быть обобщена на: [15]
где с каждой стороны тензорное сжатие происходит по крайней мере для одного индекса. Эта форма теоремы все еще представлена в трехмерном пространстве, каждый индекс принимает значения 1, 2 и 3. Ее можно еще обобщить на более высокие (или более низкие) измерения (например, на четырехмерное пространство-время в общей теории относительности [16] ).
Смотрите также
- Теорема Кельвина – Стокса
Рекомендации
- ^ Кац, Виктор Дж. (1979). «История теоремы Стокса». Математический журнал . 52 (3): 146–156. DOI : 10.2307 / 2690275 . JSTOR 2690275 . перепечатано в Андерсон, Марлоу (2009). Кто дал вам Эпсилон ?: И другие рассказы математической истории . Математическая ассоциация Америки. С. 78–79. ISBN 978-0883855690.
- ^ Р.Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1994). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC. ISBN 978-3-527-26954-9.
- ^ Байрон, Фредерик; Фуллер, Роберт (1992), Математика классической и квантовой физики , Dover Publications, стр. 22 , ISBN 978-0-486-67164-2
- ^ а б MR Spiegel; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очертания Шаума (2-е изд.). США: Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ а б в Перселл, Эдвард М .; Дэвид Дж. Морин (2013). Электричество и магнетизм . Cambridge Univ. Нажмите. С. 56–58. ISBN 978-1107014022.
- ^ a b MathWorld
- ^ а б CB Parker (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-051400-3.
- ^ а б Кац, Виктор (2009). «Глава 22: Векторный анализ». История математики: Введение . Эддисон-Уэсли. С. 808–9. ISBN 978-0-321-38700-4.
- ↑ В своей статье о звуке 1762 года Лагранж рассматривает частный случай теоремы о расходимости: Лагранж (1762) «Новые исследования природы и распространения звука» (Новые исследования природы и распространения звука), Miscellanea Taurinensia (также известная как: Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Эта статья перепечатана как: «Nouvelles recherches sur la nature et la размножение сына» в: JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (Париж, Франция: Gauthier -Villars, 1867), т. 1, страницы 151–316; на страницах 263–265 Лагранж преобразует тройные интегралы в двойные интегралы, используя интегрирование по частям.
- ^ К.Ф. Гаусс (1813) «Теория привлекательности тела sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methoddo nova tractata», Commentationes societatis regiae scientiarium Gottingensis Recentiores , 2 : 355–378; Гаусс рассмотрел частный случай теоремы; см. 4-ю, 5-ю и 6-ю страницы его статьи.
- ^ а б в Кац, Виктор (май 1979 г.). «История теоремы Стокса» . Математический журнал . 52 (3): 146–156. DOI : 10.1080 / 0025570X.1979.11976770 . JSTOR 2690275 .
- ^ Михаил Ostragradsky представил доказательство теоремыдивергенции Парижской академии в 1826 году; однако его работа не была опубликована Академией. Он вернулся в Санкт-Петербург, Россия, где в 1828–1829 годах он прочитал работу, которую он сделал во Франции, в Санкт-Петербургскую Академию, которая опубликовала его работу в сокращенной форме в 1831 году.
- Его доказательство теоремы о расходимости - «Démonstration d'un théorème du Calcul intégral» (Доказательство теоремы в интегральном исчислении), которое он прочитал в Парижской академии 13 февраля 1826 года, было переведено в 1965 году на русский язык вместе. с другой его статьей. См .: Юшкевич А.П. (Юшкевич А.П.) и Антропова В.И. (Антропов В.И.) (1965) «Неопубликованные работы М.В. Остроградского» (Неопубликованные работы М.В. Остроградского), Историко-математические исследования (Историко-математические исследования), 16 : 49–96; см. раздел «Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления». Остроградский М.В. Доказательство одной теории интегрального исчисления / Остраградский М.В. Доказательство теоремы интегрального исчисления.
- М. Остроградский (представлено: 5 ноября 1828 г .; опубликовано: 1831 г.) "Première note sur la théorie de la chaleur" (Первое примечание по теории тепла) Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint Pétersbourg , серия 6, стр. 1 : 129–133; сокращенную версию его доказательства теоремы о расходимости см. на страницах 130–131.
- Виктор Дж. Кац (май 1979 г.) «История теоремы Стокса». Архивировано 2 апреля 2015 г. в журнале Wayback Machine Mathematics Magazine , 52 (3): 146–156; доказательство теоремы о расходимости Остраградским см. на страницах 147–148.
- ^ Джордж Грин, Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: T. Wheelhouse, 1838). Форма «теоремы о расходимости» представлена на страницах 10–12 .
- ^ Другие ранние исследователи, которые использовали ту или иную форму теоремы о расходимости, включают:
- Пуассон (представлен 2 февраля 1824 г .; опубликован в 1826 г.) «Mémoire sur la théorie du magnétisme» (Воспоминания о теории магнетизма), Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France , 5 : 247–338; на страницах 294–296 Пуассон преобразует интеграл объема (который используется для вычисления величины Q) в интеграл поверхности. Чтобы сделать это преобразование, Пуассон следует той же процедуре, которая используется для доказательства теоремы о расходимости.
- Фредерик Саррус (1828) «Память о колебаниях корпуса флоттанов» (Воспоминания о колебаниях плавающих тел), Анналы чистых математических и аппликаций (Nismes), 19 : 185–211.
- ^ К.Ф. Райли; М. П. Хобсон; SJ Бенце (2010). Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ см. например:
Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 978-0-7167-0344-0., а также
Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
Внешние ссылки
- "Ostrogradski formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Differential Operators and the Divergence Theorem at MathPages
- The Divergence (Gauss) Theorem by Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project.
- Weisstein, Eric W. "Divergence Theorem". MathWorld. – This article was originally based on the GFDL article from PlanetMath at https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html