Лемму Гурса для групп можно сформулировать следующим образом.
- Позволять , быть группами, и пусть быть подгруппой так что две проекции а также являются сюръективны (то есть, является подпрямым продукт из а также ). Позволять быть ядром а также ядро из . Можно определить в качестве нормальной подгруппы из , а также как нормальная подгруппа . Тогда образ в является графиком из изоморфизма.
Непосредственным следствием этого является то, что подпрямой продукт двух групп может быть описан как продукт волокна и наоборот.
Обратите внимание, что если является любой подгруппой (прогнозы а также необязательно быть сюръективным), то проекции из на а также являются сюръективны. Тогда можно применить лемму Гурса к.
Чтобы мотивировать доказательство, рассмотрим срез в , для любого произвольного . По сюръективности отображения проекции на, это имеет нетривиальное пересечение с . Тогда, по сути, это пересечение представляет собой ровно один конкретный смежный класс. Действительно, если бы у нас были отдельные элементы с участием а также , тогда будучи группой, мы получаем это , и поэтому, . Но это противоречие, так как принадлежат различным смежным классам , и поэтому , и, таким образом, элемент не может принадлежать ядру карты проекции из к . Таким образом, пересечение с каждым "горизонтальным" срезом, изоморфным это ровно один конкретный смежный класс в . По тому же аргументу пересечение с каждым "вертикальным" срезом, изоморфным это ровно один конкретный смежный класс в .
Все классы присутствуют в группе , и, согласно приведенным выше аргументам, между ними существует точное соответствие 1: 1. Приведенное ниже доказательство показывает, что отображение является изоморфизмом.
Доказательство
Прежде чем приступить к доказательству , а также показаны как нормальные в а также , соответственно. Именно в этом смысле а также могут быть идентифицированы как нормальные в G и G ' соответственно.
С это гомоморфизм , его ядро Н является нормальным в H . Более того, учитывая, Существует , поскольку сюръективно. Следовательно,нормально в G , а именно:
- .
Следует, что нормально в поскольку
- .
Доказательство того, что нормально в действует аналогичным образом.
Учитывая идентификацию с участием , мы можем написать а также вместо а также , . Аналогично мы можем написать а также , .
Переходим к доказательству. Рассмотрим карту определяется . Образ под этой картой . Ссюръективно, это отношение является графиком корректно определенной функции при условии для каждого , по сути, применение теста вертикальной линии .
С (точнее, ), у нас есть . Таким образомоткуда , это, .
Кроме того, для каждого у нас есть . Следовательно, эта функция является гомоморфизмом групп.
По симметрии является графиком корректно определенного гомоморфизма . Эти два гомоморфизма явно обратны друг другу и, следовательно, действительно являются изоморфизмами.