В математике , особенно в алгебраической геометрии , комплексном анализе и алгебраической теории чисел , абелевым многообразием называется проективное алгебраическое многообразие , которое также является алгебраической группой , т. е. имеет групповой закон , который может быть определен регулярными функциями . Абелевы многообразия являются в то же время одним из наиболее изучаемых объектов алгебраической геометрии и незаменимым инструментом для многих исследований по другим вопросам алгебраической геометрии и теории чисел.
Абелев многообразие может быть определено уравнениями, имеющими коэффициенты в любом поле ; тогда говорят, что многообразие определено над этим полем. Исторически первыми изучаемыми абелевыми многообразиями были те, которые определены над полем комплексных чисел . Такие абелевы многообразия оказываются в точности теми комплексными торами , которые можно вложить в комплексное проективное пространство . Абелевы многообразия, определенные над полями алгебраических чисел , представляют собой частный случай, важный также с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом ведут от абелевых многообразий, определенных над числовыми полями, к многообразиям, определенным над конечными полями, и различнымлокальные поля . Поскольку числовое поле является полем дробей области Дедекинда , для любого ненулевого простого числа вашей области Дедекинда существует отображение из области Дедекинда в частное области области Дедекинда по простому числу, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел . Это индуцирует отображение поля дробей в любое такое конечное поле. Имея кривую с уравнением, определенным в числовом поле, мы можем применить эту карту к коэффициентам, чтобы получить кривую, заданную в некотором конечном поле, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам в числовом поле.
Абелевы многообразия естественным образом появляются как многообразия Якоби (компоненты связности нуля в многообразиях Пикара ) и многообразия Альбанезе других алгебраических многообразий. Групповой закон абелева многообразия обязательно коммутативен , а многообразие неособо . Эллиптическая кривая является абелевым многообразием размерности 1. Абелевы многообразия имеют размерность Кодаиры 0.
В начале девятнадцатого века теории эллиптических функций удалось дать основу для теории эллиптических интегралов , и это открыло очевидное направление исследований. Стандартные формы для эллиптических интегралов включали квадратные корни кубических и четвертых многочленов . Когда их заменят многочленами более высокой степени, скажем, квинтиками , что произойдет?
В работе Нильса Абеля и Карла Якоби был сформулирован ответ: это будут функции двух комплексных переменных , имеющие четыре независимых периода (т.е. векторы периодов). Это дало первое представление об абелевом многообразии размерности 2 ( абелевой поверхности ): то, что теперь назвали бы якобианом гиперэллиптической кривой рода 2 .
После Абеля и Якоби одними из наиболее важных участников теории абелевых функций были Риман , Вейерштрасс , Фробениус , Пуанкаре и Пикард . Тема была очень популярна в то время, уже имея большую литературу.