В математической области римановой геометрии , М. Громова «s систолическое неравенство ограничивает длину кратчайшего нестягиваемой петли на риманова многообразия с точки зрения объема коллектора. Систолическое неравенство Громова было доказано в 1983 году; [1] , можно рассматривать как обобщение, хотя и неоптимальных, из неравенства тора Лёвнера и неравенства для Пью вещественной проективной плоскости .
Технически, пусть M - существенное риманово многообразие размерности n ; Обозначим через SYS тг 1 ( М ) гомотопическое 1-систола M , то есть, по меньшей мере длина нестягиваемой петли на М . Тогда неравенство Громова принимает вид
где С п является универсальной константой только в зависимости от размерности М .
Основные коллекторы
Замкнутое многообразие называется существенным, если его фундаментальный класс определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы или, точнее, в гомологиях соответствующего пространства Эйленберга – Маклейна . Здесь фундаментальный класс берется в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и в коэффициентах по модулю 2 в противном случае.
Примеры существенных многообразий включают асферические многообразия , вещественные проективные пространства и линзовые пространства .
Доказательства неравенства Громова.
Оригинальное доказательство Громова 1983 года занимает около 35 страниц. Он опирается на ряд методов и неравенств глобальной римановой геометрии. Отправной точкой доказательства является вложение X в банахово пространство борелевских функций на X, снабженное sup нормой. Вложение определяется отображением точки p на X в действительную функцию на X, заданную расстоянием от точки p . Доказательство использует неравенство коплощади , изопериметрическое неравенство , неравенство конуса и теорему Герберта Федерера о деформации .
Заполнение инвариантов и недавние работы
Одна из ключевых идей доказательства является введением заполнения инвариантов, а именно радиус наполнения и объема наполнения X . А именно, Громов доказал точное неравенство, связывающее систолу и радиус заполнения:
справедливо для всех существенных многообразий X ; а также неравенство
справедливо для всех замкнутых многообразий X .
Брунбауэр (2008) показал, что инварианты заполнения, в отличие от систолических инвариантов, не зависят от топологии многообразия в подходящем смысле.
Guth (2011) и Ambrosio & Katz (2011) разработали подходы к доказательству систолического неравенства Громова для существенных многообразий.
Неравенства для поверхностей и многогранников.
Более сильные результаты доступны для поверхностей, где асимптотика, когда род стремится к бесконечности, к настоящему времени хорошо изучена, см. Систолы поверхностей . Имеется равномерное неравенство для произвольных 2-комплексов с несвободными фундаментальными группами, доказательство которого опирается на теорему Грушко о разложении .
Заметки
- ^ см. Громов (1983)
Смотрите также
Рекомендации
- Амбросио, Луиджи ; Кац, М. (2011), "Плоские токи по модулю р в метрических пространствах и заполнения радиуса неравенства", Commentarii Mathematici Helvetici , 86 (3): 557-592, Arxiv : 1004.1374 , DOI : 10.4171 / СМН / 234 , MR 2803853.
- Brunnbauer, M. (2008), "Неравенства заполнения не зависят от топологии", J. Reine Angew. Математика. , 624 : 217–231
- Громов, М. (1983), "Заполняющие римановы многообразия", J. Diff. Геом. , 18 : 1–147, MR 0697984 , Zbl 0515.53037 , PE euclid.jdg / 1214509283
- Гут, Ларри (2011), «Объемы шаров в больших римановых многообразиях», Annals of Mathematics , 173 (1): 51–76, arXiv : math / 0610212 , doi : 10.4007 / annals.2011.173.1.2 , MR 2753599
- Кац, Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология , Математические обзоры и монографии, 137 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 19, ISBN 978-0-8218-4177-8