Групповая задержка и фазовая задержка

В линейном стационарна (ЛТИ) теории систем , теории управления , так и в цифровой или аналоговой обработки сигнала , соотношение между входным сигналом,${\ Displaystyle \ Displaystyle х (т)}$ и выходной сигнал, ${\ Displaystyle \ Displaystyle у (т)}$, системы LTI управляется операцией свертки :

${\ Displaystyle у (т) = (ч * х) (т) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} х (и) ч (ту) \, ду}$

Или, в частотной области ,

${\ Displaystyle Y (s) = H (s) X (s) \,}$

где

${\ Displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} x (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} \, dt}$

${\ Displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} y (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y (t) e ^ {- st} \, dt}$

а также

${\ Displaystyle H (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} h (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, dt}$.

Здесь ${\ Displaystyle \ Displaystyle ч (т)}$- импульсная характеристика системы LTI во временной области, а${\ displaystyle \ displaystyle X (s)}$, ${\ displaystyle \ displaystyle Y (s)}$, ${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}$, - преобразования Лапласа входного${\ Displaystyle \ Displaystyle х (т)}$, выход ${\ Displaystyle \ Displaystyle у (т)}$, и импульсный отклик ${\ Displaystyle \ Displaystyle ч (т)}$, соответственно. ${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}$называется передаточной функцией системы LTI и, как и импульсная характеристика${\ Displaystyle \ Displaystyle ч (т)}$, полностью определяет характеристики ввода-вывода системы LTI.

Предположим, что такая система управляется квазисинусоидальным сигналом, то есть синусоидой, имеющей огибающую амплитуды${\ Displaystyle \ Displaystyle а (т)> 0}$ которая медленно меняется относительно частоты ${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}$синусоиды. Математически это означает, что квазисинусоидальный управляющий сигнал имеет вид

${\ Displaystyle х (т) = а (т) \ соз (\ омега т + \ тета) \}$

и медленно меняющаяся огибающая амплитуды ${\ Displaystyle \ Displaystyle а (т)}$ Значит это

${\ displaystyle \ left | {\ frac {d} {dt}} \ log {\ big (} a (t) {\ big)} \ right | \ ll \ omega \.}$

Тогда выход такой системы LTI очень хорошо аппроксимируется как

${\ Displaystyle Y (T) = {\ big |} H (я \ omega) {\ big |} \ a (t- \ tau _ {g}) \ cos {\ big (} \ omega (t- \ tau _ {\ phi}) + \ theta {\ big)} \ ;.}$

Здесь ${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}$ а также ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ тау _ {\ phi}}$, групповая задержка и фазовая задержка соответственно задаются выражениями ниже (и потенциально являются функциями угловой частоты ${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}$). Синусоида, на что указывают переходы через ноль, задерживается во времени из-за фазовой задержки,${\ Displaystyle \ Displaystyle \ тау _ {\ phi}}$. Огибающая синусоиды задерживается по времени групповой задержкой,${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}$.

В линейной фазовой системе (с неинвертирующим усилением) оба${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}$ а также ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ тау _ {\ phi}}$ постоянны (т.е. не зависят от ${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}$) и равны, а их общее значение равно общей задержке системы; и развернутый фазовый сдвиг системы (а именно${\ displaystyle \ displaystyle - \ omega \ tau _ {\ phi}}$) отрицательна, величина которой линейно увеличивается с частотой ${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}$.

В более общем плане можно показать, что для системы LTI с передаточной функцией ${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}$управляемая сложной синусоидой единичной амплитуды,

${\ Displaystyle х (т) = е ^ {я \ омега т} \}$

выход

${\ Displaystyle {\ begin {align} y (t) & = H (я \ omega) \ e ^ {i \ omega t} \ \\ & = \ left ({\ big |} H (я \ omega) { \ big |} e ^ {i \ phi (\ omega)} \ right) \ e ^ {i \ omega t} \ \\ & = {\ big |} H (i \ omega) {\ big |} \ e ^ {i \ left (\ omega t + \ phi (\ omega) \ right)} \ \\\ конец {выровнено}} \}$

где фазовый сдвиг ${\ displaystyle \ displaystyle \ phi}$ является

${\ displaystyle \ phi (\ omega) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ arg \ left \ {H (я \ omega) \ right \} \ ;.}$

Кроме того, можно показать, что групповая задержка, ${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}$, и фазовая задержка, ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ тау _ {\ phi}}$, зависят от частоты, и их можно вычислить из правильно развернутого фазового сдвига${\ displaystyle \ displaystyle \ phi}$ от

${\ Displaystyle \ тау _ {г} (\ омега) = - {\ гидроразрыва {д \ фи (\ омега)} {д \ омега}} \}$

${\ Displaystyle \ тау _ {\ фи} (\ омега) = - {\ гидроразрыва {\ фи (\ омега)} {\ омега}} \}$ .

Групповая задержка важна в физике и, в частности, в оптике .

Групповая задержка - это скорость изменения полного фазового сдвига относительно угловой частоты ,

$${\ displaystyle \ tau _ {g} = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}}}$$

${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle 2 \ pi f}$

${\ displaystyle f}$

В оптическом волокне , групповая задержка является транзитным время , необходимое для оптической мощности , путешествия при заданном режиме «с групповой скоростью , чтобы ездить на заданном расстоянии. Для целей измерения дисперсии оптического волокна интересующей величиной является групповая задержка на единицу длины, которая является обратной величиной групповой скорости конкретной моды. Измеренная групповая задержка сигнала через оптическое волокно имеет зависимость от длины волны из-за различных механизмов дисперсии , присутствующих в оптоволокне.

Часто желательно, чтобы групповая задержка была постоянной на всех частотах; в противном случае сигнал будет размываться во времени. Поскольку групповая задержка${\ textstyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ гидроразрыва {d \ phi} {d \ omega}}}$, из этого следует, что постоянная групповая задержка может быть достигнута, если передаточная функция устройства или среды имеет линейную фазовую характеристику (т. е.${\ Displaystyle \ фи (\ омега) = \ фи (0) - \ тау _ {г} \ омега}$ где групповая задержка ${\ displaystyle \ tau _ {g}}$постоянная). Степень нелинейности фазы указывает на отклонение групповой задержки от постоянной.

Групповая задержка имеет определенное значение в звуковой области и особенно в области воспроизведения звука. Многие компоненты цепи воспроизведения звука, особенно громкоговорители и кроссоверные сети многополосных громкоговорителей , вносят групповую задержку в аудиосигнал. Поэтому важно знать порог слышимости групповой задержки по отношению к частоте, особенно если предполагается, что звуковая цепочка обеспечивает воспроизведение с высокой точностью . Лучшие пороговые значения таблицы слышимости были предоставлены Blauert & Laws (1978) .

Фланаган, Мур и Стоун пришли к выводу, что на частотах 1, 2 и 4 кГц групповая задержка около 1,6 мс слышна в наушниках в нереверберирующем состоянии. ^[1]

Говорят, что передающее устройство имеет истинную временную задержку (TTD), если временная задержка не зависит от частоты электрического сигнала. ^{[2] [3]} TTD - важная характеристика линий передачи без потерь и с малыми потерями и без дисперсии. TTD обеспечивает широкую мгновенную полосу пропускания сигнала практически без искажения сигнала, такого как уширение импульса во время импульсного режима.

• Измерения аудиосистемы
• Фильтр Бесселя
• Рисунок глаз
• Групповая скорость - «Групповая скорость света в среде обратно пропорциональна групповой задержке на единицу длины». ^[4]
• Спектральная фаза - «Групповую задержку можно определить как производную спектральной фазы по угловой частоте». ^[5]

 Эта статья включает  материалы, являющиеся общественным достоянием, из документа Управления общих служб : «Федеральный стандарт 1037C» .

• Blauert, J .; Законы, P. (май 1978), "Задержка Искажения Group в электроакустических систем", журнал Американского акустического общества , 63 (5): 1478-1483, Bibcode : 1978ASAJ ... 63.1478B , DOI : 10,1121 / 1.381841

• Обсуждение групповой задержки в громкоговорителях
• Объяснение групповой задержки и приложения
• Blauert, J .; Лоус, П. (май 1978 г.), "Групповые искажения задержки в электроакустических системах", журнал Американского акустического общества 63 (5): 1478–1483
• «Введение в цифровые фильтры со звуковыми приложениями», Джулиус О. Смит III, (сентябрь 2007 г.).