В математике , то расширение HNN является важным построение комбинаторной теории групп .
Вводят в 1949 бумажными теоремы вложения для групп [1] по Graham Хигмэна , Бернхард Neumann и Ханна Neumann , он встраивает данную группу G в другую группу G» , таким образом , что две указанные изоморфные подгруппы G сопряжены (через данный изоморфизм) в G ' .
Строительство
Пусть G - группа с представлением , и разреши быть изоморфизмом между двумя подгруппами G . Пусть t - новый символ, не принадлежащий S , и определим
Группа называется HNN-расширением группы G относительно α. Исходная группа G называется базовой группой для построения, а подгруппы H и K - ассоциированными подгруппами . Новый генератор t называется стабильной буквой .
Ключевые свойства
Поскольку презентация для содержит все образующие и отношения из представления для G , существует естественный гомоморфизм, индуцированный идентификацией образующих, который переводит G в. Хигман, Нейман и Нейман доказали, что этот морфизм инъективен, т. Е. Вложение G в. Как следствие, две изоморфные подгруппы данной группы всегда сопряжены в некоторой надгруппе ; желание показать это было изначальной мотивацией строительства.
Лемма Бриттона
Ключевым свойством HNN-расширений является теорема о нормальной форме, известная как лемма Бриттона . [2] Пустьбудет таким, как указано выше, и пусть w будет следующим продуктом в:
Тогда лемму Бриттона можно сформулировать следующим образом:
Лемма Бриттона. Если w = 1 в G ∗ α, то
- либо и g 0 = 1 в G
- или же и для некоторого i ∈ {1, ..., n −1} выполняется одно из следующих утверждений:
- ε i = 1, ε i +1 = −1, g i ∈ H ,
- ε я = -1, ε я + 1 = 1, г я ∈ K .
В противоположных терминах лемма Бриттона принимает следующий вид:
Лемма Бриттона (альтернативная форма). Если w таково, что
- либо и g 0 ≠ 1 ∈ G ,
- или же и произведение w не содержит подстрок вида tht −1 , где h ∈ H, и вида t −1 kt, где k ∈ K ,
тогда в .
Следствия леммы Бриттона.
Большинство основных свойств HNN-расширений следуют из леммы Бриттона. Эти последствия включают следующие факты:
- Естественный гомоморфизм из G в инъективен, так что мы можем думать о как содержащие G как подгруппу .
- Каждый элемент конечного порядка в является сопряженным к элементу G .
- Каждая конечная подгруппа группы сопряжено с конечной подгруппой группы G .
- Если а также тогда содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга два.
Приложения
В терминах фундаментальной группы в алгебраической топологии расширение HNN - это конструкция, необходимая для понимания фундаментальной группы топологического пространства X , которое было «приклеено» к себе посредством отображения f (см., Например, поверхностное расслоение над окружностью ). То есть HNN-расширения связаны с этим аспектом фундаментальной группы, как свободные произведения с объединением по отношению к теореме Зейферта-ван Кампена для склейки пространств X и Y вдоль связного общего подпространства. Между этими двумя конструкциями можно описать практически любое геометрическое склеивание с точки зрения фундаментальной группы.
HNN-расширения играют ключевую роль в доказательстве Хигмана теоремы вложения, которое утверждает, что каждая конечно порожденная рекурсивно представленная группа может быть гомоморфно вложена в конечно определенную группу . Большинство современных доказательств теоремы Новикова – Буна о существовании конечно определенной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой слов также существенно используют HNN-расширения.
И HNN-расширения, и объединенные свободные произведения являются основными строительными блоками в теории групп Басса – Серра, действующих на деревьях. [3]
Идея расширения HNN была распространена на другие части абстрактной алгебры , включая теорию алгебры Ли .
Обобщения
Расширения HNN являются элементарными примерами фундаментальных групп графов групп и, как таковые, имеют центральное значение в теории Басса – Серра .
Рекомендации
- ^ Хигман, Грэм ; Нойман, Бернхард Х .; Нойман, Ханна (1949). «Теоремы вложения для групп». Журналу Лондонского математического общества (PDF)
|format=
требуется|url=
( помощь ) . s1-24 (4): 247–254. DOI : 10,1112 / jlms / s1-24.4.247 . - ^ Роджер С. Линдон и Пол Э. Шупп . Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, New York, 2001. Серия "Классика математики", перепечатка издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Гл. IV. Бесплатные продукты и расширения HNN.
- ^ Серр, Жан-Пьер (1980), Деревья. Перевод с французского Джона Стилвелла , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9