В теории групп , разделе математики , для данной группы G при бинарной операции ∗ подмножество H в G называется подгруппой в G, если H также образует группу при операции ∗. Точнее, Н является подгруппой G , если ограничение на * до H × H является операцией группы на H . Обычно это обозначается H ≤ G , читается как « H - подгруппа G".
Единичная подгруппа любой группы является подгруппой { х } , состоящей только из единичного элемента.
Собственная подгруппа группы G является подгруппой Н , которая является собственное подмножество из G (то есть, H ≠ G ). Обычно это обозначается как H < G , читается как « H - собственная подгруппа G ». Некоторые авторы также исключают тривиальную группу из собственной (то есть H ≠ { e }). [1] [2]
Если Н является подгруппой группы G , то G иногда называют надгруппа из H .
Те же определения применяются в более общем случае, когда G - произвольная полугруппа , но эта статья будет иметь дело только с подгруппами групп. Группу G иногда обозначают упорядоченной парой ( G , ∗) , обычно для того, чтобы подчеркнуть операцию ∗, когда G содержит множественные алгебраические или другие структуры.
СОДЕРЖАНИЕ
1 Основные свойства подгрупп
2 Классы смежности и теорема Лагранжа
3 Пример: подгруппы Z 8
4 Пример: подгруппы в S 4 (симметрическая группа из 4 элементов)
4.1 12 элементов
4.2 8 элементов
4.3 6 элементов
4.4 4 элемента
4.5 3 элемента
5 Другие примеры
6 См. Также
7 Примечания
8 ссылки
Основные свойства подгрупп
Подмножество H группы G является подгруппой G тогда и только тогда, когда оно непусто и замкнуто относительно произведений и обратных. (Условия замыкания означают следующее: всякий раз, когда a и b находятся в H , тогда ab и a −1 также находятся в H. Эти два условия могут быть объединены в одно эквивалентное условие: если a и b находятся в H , то ab −1 также находится в H. ) В случае, когда H конечно, то Hявляется подгруппой тогда и только тогда, когда H замкнута относительно произведений. (В этом случае каждый элемент a группы H порождает конечную циклическую подгруппу группы H , и тогда обратный элемент a равен a −1 = a n −1 , где n - порядок a .)
Вышеупомянутое условие можно сформулировать в терминах гомоморфизма ; то есть, Н является подгруппой группы G тогда и только тогда , когда Н является подмножеством G и существует гомоморфизм включения (то есть, я ( ) = для каждого а ) от H до G .
Идентичность подгруппы является единицей группы: если G является группой с единицей х G и Н является подгруппой группы G с единицей й Н , то е Н = е G .
Обратный элемент в подгруппе является обратным по отношению к элементу в группе: если Н является подгруппой группы G , и и б являются элементами H , такой , что AB = ба = е Н , то AB = ба = е G .
Пересечение подгрупп A и B является снова подгруппой. [3] объединением подгрупп A и B является подгруппой тогда и только тогда , когда либо или Б содержит другой, так как , например , 2 и 3 находятся в союзе 2Z и 3Z , но их сумма 5 не является. Другой пример - объединение оси x и оси y на плоскости (с операцией сложения); каждый из этих объектов является подгруппой, а их объединение - нет. Это также служит примером двух подгрупп, пересечение которых в точности совпадает.
Если S является подмножеством G , то существует минимальная подгруппа, содержащая S , которую можно найти, взяв пересечение всех подгрупп, содержащих S ; она обозначается через ⟨ S ⟩ и , как говорят, является подгруппа , порожденная S . Элемент G в ⟨ S ⟩ тогда и только тогда , когда оно является конечным продуктом элементов S и их инверсий.
Каждый элемент группы G порождает циклическая подгруппа ⟨ ⟩. Если ⟨ ⟩ есть изоморфна к Z / п Z для некоторого положительного целого числа п , то п является наименьшим положительным целым числом , для которого п = е , и п называется порядок из . Если ⟨ ⟩ изоморфна Z , то говорят, есть бесконечный порядок .
Подгруппы любой данной группы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп . (Хотя нижняя грань здесь является обычным теоретико-множественным пересечением, верхняя грань множества подгрупп - это подгруппа, порожденная теоретико-множественным объединением подгрупп, а не само теоретико-множественное объединение.) Если e является единицей G , то тривиальная группа { e } является минимальной подгруппой в G , а максимальная подгруппа - это сама группа G.
G - группа , целые числа по модулю 8 сложены. Подгруппа H содержит только 0 и 4 и изоморфна . У H есть четыре левых смежных класса: сам H, 1 + H, 2 + H и 3 + H (написано с использованием аддитивной записи, поскольку это аддитивная группа ). Вместе они разбивают всю группу G на непересекающиеся множества равного размера. Индекс [G: H] равен 4.
Козеты и теорема Лагранжа
Основные статьи: Теорема Козета и Лагранжа (теория групп)
Для подгруппы H и некоторого a в G определим левый смежный класс aH = { ah : h в H }. Поскольку a обратимо, отображение φ: H → aH, заданное формулой φ ( h ) = ah, является биекцией . Более того, каждый элемент G содержится ровно в одном левом классе смежности H ; левые смежные классы - это классы эквивалентности, соответствующие отношению эквивалентности a 1 ~ a 2 тогда и только тогда, когда a1 -1 2 в H . Число левых смежных классов H называется индексом из H в G и обозначается [ G : H ] .
Теорема Лагранжа утверждает , что для конечной группы G и подгруппы H ,
где | G | и | H | обозначают порядки групп G и H соответственно. В частности, порядок каждой подгруппы группы G (и порядок каждого элемента группы G ) должен быть делителем | G |, [4] [5]
Правые классы смежности определяются аналогично: Ha = { ha : h в H }. Они также являются классами эквивалентности для подходящего отношения эквивалентности, и их количество равно [ G : H ] .
Если aH = Ha для любого a из G , то H называется нормальной подгруппой . Каждая подгруппа индекса 2 является нормальной: левые классы смежности, а также правые классы смежности - это просто подгруппа и ее дополнение. В более общем смысле, если p - младшее простое число, делящее порядок конечной группы G, то любая подгруппа индекса p (если таковая существует) является нормальной.
Пример: подгруппы Z 8
Пусть G - циклическая группа Z 8 , элементы которой равны
и чья групповая операция - сложение по модулю восемь . Его Кэли таблица является
+
0
4
2
6
1
5
3
7
0
0
4
2
6
1
5
3
7
4
4
0
6
2
5
1
7
3
2
2
6
4
0
3
7
5
1
6
6
2
0
4
7
3
1
5
1
1
5
3
7
2
6
4
0
5
5
1
7
3
6
2
0
4
3
3
7
5
1
4
0
6
2
7
7
3
1
5
0
4
2
6
Эта группа имеет два нетривиальных подгруппы: ■ J = {0, 4} и ■ Н = {0, 4, 2, 6} , где J является также подгруппа H . Таблица Кэли для H - это верхний левый квадрант таблицы Кэли для G ; Таблица Кэли для J находится в верхнем левом квадранте таблицы Кэли для H . Группа G является циклической , и поэтому ее подгруппы. В общем случае подгруппы циклических групп также являются циклическими.
Пример: подгруппы в S 4 ( симметрическая группа из 4 элементов)
В каждой группе столько же малых подгрупп, сколько нейтральных элементов на главной диагонали:
Единичная группа и два элемента группы Z 2 . Эти небольшие подгруппы не включены в следующий список.
Симметрическая группа S 4 , показывающая все перестановки из 4 элементов
Упрощенный
Хассе диаграммы по решетке подгрупп из S 4
12 элементов
Знакопеременная группа 4 показана только четные подстановки
Подгруппа:
8 элементов
Группа диэдра порядка 8
Подгруппы:
Группа диэдра порядка 8
Подгруппы:
Группа диэдра порядка 8
Подгруппы:
6 элементов
Симметричная группа S 3
Подгруппа:
Симметричная группа S 3
Подгруппа:
Симметричная группа S 3
Подгруппа:
Симметричная группа S 3
Подгруппа:
4 элемента
Кляйн четыре группы
Кляйн четыре группы
Кляйн четыре группы
Кляйн четыре группы
Циклическая группа Z 4
Циклическая группа Z 4
Циклическая группа Z 4
3 элемента
Циклическая группа Z 3
Циклическая группа Z 3
Циклическая группа Z 3
Циклическая группа Z 3
Другие примеры
Четные целые числа являются подгруппой аддитивной группы целых чисел: когда вы складываете два четных числа, вы получаете четное число.
Идеал в кольце является подгруппой аддитивной группы .
Линейное подпространство из векторного пространства является подгруппой аддитивной группы векторов.
Позвольте быть абелевой группой ; элементы, которые имеют конечный период, образуют подгруппу, называемую подгруппой кручения группы .
Смотрите также
Подгруппа Картана
Подгруппа фитингов
Стабильная подгруппа
Подгруппа фиксированной точки
Подгруппа теста
Примечания
^ Хангерфорд (1974), стр. 32
^ Артин (2011), стр. 43 год
^ Якобсон (2009), стр. 41 год
^ См. Дидактическое доказательство в этом видео .
^ Даммит и Фут (2004), стр. 90.
использованная литература
Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1.
Хангерфорд, Томас (1974), алгебра (1-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
Артин, Майкл (2011), Алгебра (2 - е изд.), Прентис Холл, ISBN 9780132413770.
Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 .
Категории :
Теория групп
Свойства подгруппы
Скрытые категории:
Статьи с кратким описанием
Краткое описание отличается от Викиданных
Статьи, требующие дополнительных ссылок, от июня 2009 г.