Бесплатный продукт

В математике , в частности в теории групп , свободное произведение - это операция, которая берет две группы G и H и строит новую группу G ∗ H. Результат содержит как G , так и H в качестве подгрупп , порожден элементами этих подгрупп и является « универсальной » группой, обладающей этими свойствами, в том смысле, что любые два гомоморфизма из G и H в группу K однозначно разлагаются через гомоморфизм из G∗ H в K. _ Если одна из групп G и H не тривиальна, свободное произведение всегда бесконечно. Построение свободного произведения по духу аналогично построению свободной группы (универсальной группы с заданным набором образующих).

Бесплатный продукт - это параллельный продукт в категории групп . То есть свободное произведение играет ту же роль в теории групп, что несвязное объединение в теории множеств или прямая сумма в теории модулей . Даже если группы коммутативны, их свободный продукт - нет, если одна из двух групп не является тривиальной группой . Следовательно, свободный продукт не является копроизведением в категории абелевых групп .

Свободное произведение важно в алгебраической топологии из-за теоремы ван Кампена , которая утверждает, что фундаментальная группа объединения двух линейно-связанных топологических пространств , пересечение которых также линейно связно, всегда является объединенным свободным произведением фундаментальных групп пространств . В частности, фундаментальная группа суммы клина двух пространств (т. Е. Пространство, полученное соединением двух пространств вместе в одной точке) является просто свободным произведением фундаментальных групп пространств.

Свободные произведения также важны в теории Басса – Серра , изучении групп , действующих автоморфизмами на деревьях . В частности, любая группа, действующая с конечными стабилизаторами вершин на дереве, может быть построена из конечных групп с использованием объединенных свободных произведений и расширений HNN . Используя действие модулярной группы на некоторой мозаике гиперболической плоскости , из этой теории следует, что модулярная группа изоморфна свободному произведению циклических групп порядков 4 и 6, объединенных над циклической группой порядка 2.

Строительство

Если G и H группы, слово в G и H является произведением вида

${\ displaystyle s_ {1} s_ {2} \ cdots s_ {n},}$

где каждый s _i является либо элементом G , либо элементом H. Такое слово можно сократить с помощью следующих операций:

• Удалите экземпляр элемента идентичности (либо G , либо H ).
• Замените пару вида g ₁ g ₂ ее произведением в G или пару h ₁ h ₂ ее произведением в H.

Каждое сокращенное слово является чередующимся произведением элементов группы G и элементов H , например

${\ displaystyle g_ {1} h_ {1} g_ {2} h_ {2} \ cdots g_ {k} h_ {k}.}$

Свободное произведение G ∗ H - это группа, элементами которой являются сокращенные слова в G и H после операции конкатенации с последующей редукцией.

Например, если G - бесконечная циклическая группа , а H - бесконечная циклическая группа , то каждый элемент G ∗ H является альтернированным произведением степеней x и y . В этом случае G ∗ H изоморфна свободной группе, порожденной x и y .${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle \langle y\rangle }$

Презентация

Предположим, что

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

является представлением для G (где S _G - набор образующих, а R _G - набор отношений), и предположим, что

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

является представлением для H. потом

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

То есть G ∗ H порождается генераторами для G вместе с генераторами для H , с отношениями, состоящими из отношений из G вместе с отношениями из H (предположим, что здесь нет противоречий в обозначениях, так что это фактически дизъюнктные объединения ).

Примеры

Например, предположим, что G - циклическая группа порядка 4,

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

и H - циклическая группа порядка 5

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

Тогда G ∗ H - бесконечная группа

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

Поскольку в свободной группе нет отношений, свободный продукт свободных групп всегда является свободной группой. Особенно,

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

где F _n обозначает свободную группу на n образующих.

Другой пример - модульная группа . Он изоморфен свободному произведению двух циклических групп ^[1]${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )=(\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).}$

Обобщение: бесплатный продукт с объединением

Более общая конструкция бесплатного продукта с объединением , соответственно, представляет собой особый вид выталкивания в той же категории . Предположим , что и даны, как и раньше, вместе с мономорфизмами (т.е. гомоморфизмами инъективных групп ):${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$ и ${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

где - произвольная группа. Начни с бесплатного продукта и присоединяйся как отношения${\displaystyle F}$${\displaystyle G*H}$

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

за каждый ин . Другими словами, возьмите наименьшую нормальную подгруппу , содержащую все элементы в левой части приведенного выше уравнения, которые неявно учитываются посредством включения и в их свободное произведение. Свободное произведение с объединением и относительно и является фактор-группой${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle G*H}$${\displaystyle G*H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

Слияние привело к отождествлению между in и in , элемент за элементом. Это конструкция, необходимая для вычисления фундаментальной группы двух связных пространств, соединенных линейно-связным подпространством, с ролью фундаментальной группы подпространства. См .: Теорема Зейферта – ван Кампена . ${\displaystyle \varphi (F)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi (F)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$

Каррасс и Солитар дали описание подгрупп бесплатного продукта с объединением. ^[2] Например, гомоморфизмы из и в фактор-группу , которые индуцированы и оба инъективны, как и индуцированный гомоморфизм из .${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (G*H)/N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F}$

Бесплатные продукты с объединением и тесно связанное с этим понятие расширения HNN являются основными строительными блоками в теории групп Басса – Серра, действующих на деревьях.

В других отраслях

Аналогичным образом можно определить свободные произведения алгебраических структур, отличных от групп, включая алгебры над полем . Свободные произведения алгебр случайных величин играют ту же роль в определении « свободы » в теории свободной вероятности , что декартовы произведения играют в определении статистической независимости в классической теории вероятностей .

Смотрите также

• Прямое произведение групп
• Копродукт
• График групп
• Теорема Куроша о подгруппах
• Нормальная форма для свободных групп и бесплатное произведение групп
• Универсальная собственность

Примечания

использованная литература

• «Бесплатный продукт» . PlanetMath .
• «Свободный продукт с объединенной подгруппой» . PlanetMath .
• Категории и группоиды, Филип Хиггинс