В области математики называемой теорией категорий , хопфовый объект является объект , что любой эпиморфизм из A на A обязательно является автоморфизм . Двойное понятие является то , что из cohopfian объекта , который является объектом B таким образом, что каждый мономорфизм из B в B обязательно автоморфизм. Эти два условия изучались в категориях групп , колец , модулей и топологических пространств .
Термины «гопфиан» и «когопфиан» возникли с 1960-х годов и, как говорят, в честь Хайнца Хопфа и его использования концепции группы хопфа в его работе над фундаментальными группами поверхностей. ( Hazewinkel 2001 , стр. 63)
Характеристики
Оба условия можно рассматривать как типы условий конечности в своей категории. Например, если предположить теорию множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора и работать в категории множеств , объекты хопфа и когопфа являются в точности конечными множествами . Отсюда легко видеть, что все конечные группы, конечные модули и конечные кольца хопфовы и когопфовы в своих категориях.
Объекты Хопфа и объекты когопфа имеют элементарное взаимодействие с проективными объектами и инъективными объектами . Два результата:
- Инъективный гопфов объект является когопфовым.
- Проективный когопфов объект является гопфовым.
Доказательство для первого оператора коротка: Пусть инъективная хопфовой объект, и пусть е инъективная морфизм из А в А . По приемистости, е факторов через тождественное отображение I A на A , что дает морфизм г такой , что гс = я . В результате g является сюръективным морфизмом и, следовательно, автоморфизмом, и тогда f обязательно является обратным автоморфизмом к g . Это доказательство можно дуализировать, чтобы доказать второе утверждение.
Гопфовы и когопфовые группы
Модули Хопфа и когопфа
Вот несколько основных результатов в категории модулей. Особенно важно помнить, что R R, будучи гопфовым или когопфовым как модуль, отличается от того, что R является гопфовым или когопфовым как кольцо.
- Нетерово модуль является хопфовым, и артинами модуля является cohopfian.
- Модуль R R хопфов тогда и только тогда, когда R - непосредственно конечное кольцо . Симметрично, эти два также эквивалентны тому, что модуль R R является хопфовым.
- В отличие от вышеизложенного, модули R R или R R могут быть когопфными или нет в любой комбинации. Пример кольцевого когопфа на одной стороне, но не на другой, был приведен в ( Varadarajan 1992 ). Однако, если любой из этих двух модулей является когопфовым, R является хопфовым с обеих сторон (поскольку R проективен как левый или правый модуль) и непосредственно конечен.
Кольца Хопфа и Когопфа
Ситуация в категории колец сильно отличается от категории модулей. Морфизмы в категории колец с единицей требуются для сохранения идентичности, то есть для перевода 1 в 1.
- Если R удовлетворяет условию возрастающей цепочки на идеалах, то R хопфово. Это можно доказать по аналогии с фактом для нётеровых модулей. Идея аналог для «cohopfian» не существует , однако, так как если е является кольцевой гомоморфизм из R в R с сохранением идентичности, а образ F не R , то изображение, конечно , не идеал R . В любом случае это показывает, что одностороннее нётерово или артиновское кольцо всегда является хопфовым.
- Любое простое кольцо является хопфовым, поскольку ядро любого эндоморфизма является идеалом, который обязательно равен нулю в простом кольце. Напротив, в ( Varadarajan 1992 ) был приведен пример некогопфового поля .
- Полная линейная кольцо Конец D (V) , счетного мерного векторного пространства является хопфовым кольцом , которое не является хопфовым как модуль, так как он имеет только три идеалы, но это не является непосредственно конечным. В статье ( Varadarajan 1992 ) также приводится пример когопфового кольца, которое не является когопфовым как модуль.
- Также в ( Varadarajan 1992 ) показано, что для булевого кольца R и связанного с ним стоун-пространства X кольцо R является хопфовым в категории колец тогда и только тогда, когда X когопфово в категории топологических пространств, а R является хопфовым в категории колец. когопфово как кольцо тогда и только тогда, когда X гопфово как топологическое пространство.
Хопфовы и когопфовы топологические пространства
- В ( Varadarajan 1992 ) включен ряд результатов о компактных многообразиях. Во-первых, хопфовы компактные многообразия - это конечные дискретные пространства . Во-вторых, компактные многообразия без края всегда когопфовы. Наконец, компактные многообразия с непустым краем не являются когопфовыми.
Рекомендации
- Баумслаг, Гилберт (1963), "Хопфичность и абелевы группы", Темы в абелевых группах (Proc. Sympos., New Mexico State Univ., 1962) , Чикаго, Иллинойс: Скотт, Форесман и Ко, стр. 331–335 , MR 0169896
- Хазевинкель, М., изд. (2001), Энциклопедия математики. Добавка. Vol. III , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. Viii + 557, ISBN 1-4020-0198-3, MR 1935796
- Варадараджан, К. (1992), "хопфовые и совместно хопфовые объекты" , Publicacions Matemàtiques , 36 (1): 293-317, DOI : 10,5565 / PUBLMAT_36192_21 , ISSN 0214-1493 , МР 1179618
- Варадараджан, К. (2001), Некоторые недавние результаты по хопфичности, ко-хопфичности и родственным свойствам , Trends Math., Birkhäuser Boston, стр. 371–392, MR 1851216 Неизвестный параметр
|conference=
игнорируется ( справка )
Внешние ссылки
- Группа Хопфиана
- Ко-хопфианская группа