Гиперплоскость
В геометрии гиперплоскость — это подпространство, размерность которого на единицу меньше, чем размер окружающего его пространства . Например, если пространство 3-мерное, то его гиперплоскости — это 2-мерные плоскости , а если пространство 2-мерное, то его гиперплоскости — это 1-мерные линии . Это понятие можно использовать в любом общем пространстве , в котором определено понятие размерности подпространства .
В разных условиях гиперплоскости могут иметь разные свойства. Например, гиперплоскость n - мерного аффинного пространства представляет собой плоское подмножество размерности n − 1 [1] и делит пространство на два полупространства . Тогда как гиперплоскость n -мерного проективного пространства этим свойством не обладает.
Разница в размерности между подпространством S и объемлющим его пространством X известна как коразмерность S относительно X . Следовательно, необходимым условием того , чтобы S была гиперплоскостью в X , является коразмерность S в X один .
В геометрии гиперплоскостью n -мерного пространства V называется подпространство размерности n − 1 или , что то же самое, коразмерности 1 в V . Пространство V может быть евклидовым пространством или, в более общем смысле, аффинным пространством , векторным пространством или проективным пространством , и понятие гиперплоскости изменяется соответственно, поскольку определение подпространства различается в этих настройках; однако во всех случаях любая гиперплоскость может быть задана в координатах как решение одной (из-за ограничения «коразмерность 1»)алгебраическое уравнение степени 1.
Если V — векторное пространство, различают «векторные гиперплоскости» (которые являются линейными подпространствами и, следовательно, должны проходить через начало координат) и «аффинные гиперплоскости» (которые не обязательно проходят через начало координат; их можно получить путем переноса вектора гиперплоскость). Гиперплоскость в евклидовом пространстве разделяет это пространство на два полупространства и определяет отражение , которое фиксирует гиперплоскость и меняет местами эти два полупространства.
Определены несколько конкретных типов гиперплоскостей со свойствами, которые хорошо подходят для конкретных целей. Некоторые из этих специализаций описаны здесь.
