Керальская школа астрономии и математики

Керальская школа астрономии и математики
Сеть учителей школы Кералы
Место расположения
Керала Индия
Информация
Тип	Индуизм , астрономия , математика , наука
Основатель	Мадхава Сангамаграмы

Кералы школа астрономии и математики или школа Кералы была школой математики и астрономии , учрежденная Мадхавом из Сангамаграмы в штате Керале , Индия , которые включены между его членами: Парамешварами , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Акютой Пишарати , Мелпатурами Нарейана Бхэттатери и Ачьютой К.ПАНИККАРОМ . Школа процветала между 14 и 16 веками, и оригинальные открытия школы, кажется, закончились Нараяной Бхаттатири.(1559–1632). Пытаясь решить астрономические проблемы, школа Кералы независимо открыла ряд важных математических концепций. Их наиболее важные результаты - расширение рядов для тригонометрических функций - были описаны в стихах на санскрите в книге Нилаканты под названием Тантрасанграха , а также в комментарии к этой работе под названием Тантрасанграха-вахья неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательства, но доказательства для ряда для синуса, косинуса и арктангенса были представлены столетием позже в работе Юктибхаса ( ок. 1500 - ок. 1610 ), написанной на малаялам Джьестадевой, а также в комментарий кТантрасанграха . ^[1]

Их работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (кроме геометрического ряда). ^[2] Однако они не сформулировали систематическую теорию дифференциации и интеграции , и нет никаких прямых доказательств того, что их результаты передаются за пределы Кералы . ^[3]^[4]^[5]^[6]

Вклады [ править ]

Бесконечные ряды и исчисления [ править ]

Школа Кералы внесла ряд вкладов в области бесконечных рядов и исчисления . К ним относятся следующие (бесконечные) геометрические ряды:

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots {\ text {for}} | x | <1}

^[7]

Школа Кералы интуитивно использовала математическую индукцию , хотя индуктивная гипотеза еще не была сформулирована и не использовалась в доказательствах. ^[1] Они использовали это, чтобы получить полустрогое доказательство результата:

{\ displaystyle 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + \ cdots + n ^ {p} \ приблизительно {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}}}

для больших n .

Они применили идеи (что должно было стать) дифференциалом и интегрального исчисления для получения ( Тэйлора-Маклорена ) бесконечные ряды для , и . ^[8] Tantrasangraha-vakhya дает серию в стихе, который при переводе в математические обозначения, можно записать в виде: ^[1] ${\ Displaystyle \ грех х}$ $\cos x$ $\arctan x$

r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}{\frac {y}{x}}\leq 1.

r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdot

r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots

где для ряда сводятся к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например: $r=1,$

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

и

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

(Школа Кералы не использовала «факторный» символизм.)

Школа Кералы использовала исправление (вычисление длины) дуги круга, чтобы дать доказательство этих результатов. (Более поздний метод Лейбница, использующий квадратуру ( т.е. вычисление площади под дугой окружности), еще не был разработан.) ^[1] Они также использовали разложение в ряд для получения выражения в бесконечный ряд (позже известного как Грегори) для : ^[1] $\arctan x$ $\pi$

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots

Особый интерес представляет их рациональная аппроксимация ошибки конечной суммой их ряда. Например, ошибка (для нечетных n и i = 1, 2, 3 ) для серии: $f_{i}(n+1)$

{\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)

куда

f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.

Они манипулировали членами, используя разложение на частную дробь:, чтобы получить более быстро сходящийся ряд для : ^[1] ${\frac {1}{n^{3}-n}}$ $\pi$

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots

Они использовали улучшенные серии , чтобы получить рациональное выражение, ^[1] для правильных до девяти знаков после запятой, то есть . Они использовали интуитивное понятие предела для вычисления этих результатов. ^[1] Математики школы Кералы также предложили полужесткий метод дифференцирования некоторых тригонометрических функций ^[9], хотя понятие функции, экспоненциальной или логарифмической функции еще не было сформулировано. $104348/33215$ $\pi$ $3.141592653$

Признание [ править ]

В 1825 году Джон Уоррен опубликовал мемуары о разделении времени на юге Индии ^[10], названные Кала Санкалита , в которых кратко упоминается открытие бесконечных рядов астрономами Кералы.

Труды керальской школы были впервые написаны для западного мира англичанином К.М. Вишем в 1835 году. По словам Виша, математики из Кералы «заложили основу для полной системы флюксий», и эти работы изобиловали «флюксными формами и сериями. не найти работы в зарубежных странах ». ^[11] Однако результатами Виша почти полностью пренебрегли до тех пор, пока более века спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы К. Т. Раджагопалом и его сотрудниками. Их работа включает комментарии к доказательствам серии арктанов в Юктибхасе, данные в двух статьях, ^[12]^[13] комментарий к Юктибхасе 's доказательство серии синусов и косинусов ^[14] и две статьи, которые предоставляют санскритские стихи Тантрасанграхавакхьи для серии для арктана, греха и косинуса (с английским переводом и комментариями). ^[15]^[16]

В 1952 году Отто Нойгебауэр писал о тамильской астрономии. ^[17]

В 1972 году К. Шарма опубликовал свою Историю Кералы школы индуистской астрономии в котором описывалась особенность школы , такие как непрерывность передачи знаний от 13 до 17 - го века: Говинд Бхэттатери в Парамешвар в Дамодара к Нилаканту Сомаяджи к Джйестадеву в Ачьюта Pisarati . Передача от учителя к ученику сохраняла знания в «практической, показательной дисциплине, такой как астрономия, в то время, когда не было распространения печатных книг и государственных школ».

В 1994 году утверждалось, что гелиоцентрическая модель была принята около 1500 года нашей эры в Керале. ^[18]

Передача результатов школы Кералы в Европу [ править ]

А.К. Бэг предположил в 1979 году, что информация об этих результатах могла быть передана в Европу через торговый путь из Кералы торговцами и миссионерами- иезуитами . ^[19] Керала находилась в постоянном контакте с Китаем, Аравией и Европой . Предложение некоторых путей сообщения и хронологии некоторыми учеными ^[20]^[21] могло сделать такую передачу возможной; однако нет прямых доказательств в виде соответствующих рукописей, что такая передача имела место. ^[21] По словам Давида Брессуда.«Нет никаких доказательств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». ^[8]^[22] VJ Кац отмечает некоторые из идей школы Кералы имеют сходство с работой 11-го века Иракский ученый Ибн аль-Хайтам , ^[9] свидетельствует о возможной передаче идей от исламской математики в Керале. ^[23]

И арабские, и индийские ученые сделали открытия до 17 века, которые теперь считаются частью математического анализа. ^[9] По словам В.Дж. Каца, им еще предстояло «объединить множество различных идей под двумя объединяющими темами производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня». , как Ньютон и Лейбниц . ^[9] Интеллектуальная карьера как Ньютона, так и Лейбница хорошо задокументирована, и нет никаких указаний на то, что их работа не является их собственной; ^[9] однако с уверенностью неизвестно, были ли непосредственные предшественникиНьютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля, узнали о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, о которых мы сейчас не знаем». ^[9] Это активная область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба , исследования, которые в настоящее время проводятся, среди прочего, в Национальном центре научных исследований в Париже . ^[9]

См. Также [ править ]

Индийская астрономия
Индийская математика
Индийские математики
История математики

Заметки [ править ]

^ a b c d e f g h Рой, Ранджан. 1990. «Открытие формулы ряда для Лейбница, Грегори и Нилакантха». Математический журнал (Математическая ассоциация Америки) 63 (5): 291–306. $\pi$
^ ( Стиллвелл 2004 , стр.173)
^ ( Bressoud 2002 , стр. 12) Цитата: «Нет никаких доказательств того, что индийские работы над сериалами были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века. Голд и Пингри утверждают [4], что к тому времени эти серии были заново открыты в Европе, они для всех практических целей были потеряны для Индии. Расширения синуса, косинуса и арктангенса передавались через несколько поколений учеников, но они оставались бесплодными наблюдениями, для которых никто не мог найти много пользы ".
^ Плофкер 2001, п. 293 Цитата: «Нет ничего необычного в том, чтобы встретить в дискуссиях по индийской математике такие утверждения, как то, что« концепция дифференциации понималась [в Индии] со времен Манджулы (... в 10 веке) »[Joseph 1991, 300 ], или что «мы можем считать Мадхаву основоположником математического анализа» (Joseph 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на то, чтобы быть «предшественником Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления. "(Bag 1979, 294) ... Точки сходства, особенно между ранним европейским исчислением и керальской работой по степенным рядам, даже вдохновили на предположения о возможной передаче математических идей с Малабарского побережья в 15 веке или позже. в латинский научный мир (например, в (Bag 1979, 285)). ...Однако следует иметь в виду, что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать первое. Если говорить об «открытии принципа дифференциального исчисления» в Индии, это несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этой специфической тригонометрии. контекст. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать первое. Говорить об «открытии принципа дифференциального исчисления» в Индии несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этой специфической тригонометрии. контекст. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать первое. Если говорить об «открытии принципа дифференциального исчисления» в Индии, это несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этой специфической тригонометрии. контекст. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этого специфического тригонометрического контекста. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этого специфического тригонометрического контекста. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »не говоря уже о том, что его производная или алгоритм взятия производной здесь не имеет значения "не говоря уже о том, что его производная или алгоритм взятия производной здесь не имеет значения "
^ Pingree 1992 , стр. 562 Цитата: «Один пример, который я могу вам привести, касается демонстрации индийским Мадхавой примерно в 1400 году нашей эры бесконечного степенного ряда тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке Чарльзом Вишем в 1830-х годах , это было провозглашено как открытие исчисления индейцами. Это утверждение и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, предположительно сначала потому, что они не могли признать, что индус открыл исчисление, но позже потому, что никто больше не читал « Труды математики». Королевское азиатское общество, в котором была опубликована статья Виша. Этот вопрос вновь всплыл в 1950-х, и теперь у нас есть санскритские тексты, отредактированные должным образом, и мы понимаем, каким хитрым способом Мадхава вывел ряд без исчисления; но многие историки по-прежнему считают невозможным представить себе проблему и ее решение в терминах чего-либо, кроме расчетов, и заявляют, что расчет - это то, что обнаружил Мадхава. В этом случае элегантность и великолепие математики Мадхавы искажаются, поскольку они погребены под текущим математическим решением проблемы, для которой он обнаружил альтернативное и мощное решение ».
^ Кац 1995, pp. 173–174 Цитата: «Насколько близко исламские и индийские ученые подошли к изобретению исчисления? Исламские ученые почти разработали общую формулу для нахождения интегралов от многочленов к 1000 году нашей эры - и, очевидно, могли найти такую формулу для любого многочлена, в котором они были заинтересованы. Но, похоже, их не интересовал какой-либо многочлен степени выше четырех, по крайней мере, любой из дошедших до нас материалов. Индийские ученые, с другой стороны, к 1600 году могли использовать Формула суммы ибн аль-Хайсама для произвольных целых степеней при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. К тому же времени они также знали, как вычислять дифференциалы этих функций. Таким образом, некоторые из основных идей исчисления были известны в Египте и Индии за много веков до Ньютона.что исламские или индийские математики увидели необходимость соединить некоторые разрозненные идеи, которые мы включаем под названием «исчисление». Очевидно, их интересовали только конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы.
Следовательно, нет опасности, что нам придется переписать тексты истории, чтобы убрать утверждение о том, что Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Они, безусловно, были теми, кто сумел объединить множество различных идей под двумя объединяющими темами производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня ».
Перейти ↑ Singh, AN (1936). «Об использовании рядов в индуистской математике». Осирис . 1 : 606–628. DOI : 10.1086 / 368443 . S2CID 144760421 .
^ a b Брессуд, Дэвид. 2002. "Исчисление изобретено в Индии?" Журнал математики колледжа (Математическая ассоциация Америки). 33 (1): 2–13.
^ a b c d e f g Кац, VJ 1995. «Идеи исчисления в исламе и Индии». Mathematics Magazine (Математическая ассоциация Америки), 68 (3): 163-174.
^ Джон Уоррен (1825) Сборник мемуаров о различных режимах, согласно которым народы южной части Индии отделяют время от Google Книг
^ Чарльз Виш (1835), Сделки Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии
^ Rajagopal, C .; Рангачари, MS (1949). «Заброшенная глава индуистской математики». Scripta Mathematica . 15 : 201–209.
^ Rajagopal, C .; Рангачари, MS (1951). «Об индуистском доказательстве серии Грегори». Scripta Mathematica . 17 : 65–74.
^ Rajagopal, C .; Венкатараман, А. (1949). «Синус и косинус степенного ряда в индуистской математике». Журнал Бенгальского королевского азиатского общества (наука) . 15 : 1–13.
^ Rajagopal, C .; Рангачари, М.С. (1977). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 : 89–102. doi : 10.1007 / BF00348142 (неактивен 10 января 2021 г.).CS1 maint: DOI inactive as of January 2021 (link)
^ Rajagopal, C .; Рангачари, М.С. (1986). «О средневековой математике Кералы». Архив истории точных наук . 35 (2): 91–99. DOI : 10.1007 / BF00357622 . S2CID 121678430 .
↑ Отто Нойгебауэр (1952) «Тамильская астрономия», Осирис 10: 252–76
^ К. Ramasubramanian, MD Шринивас и MS Sriram (1994) Модификация ранее индийской теории планет по Керале астрономов и подразумеваемые гелиоцентрическая картина движения планет (с 1500 AD.) , Current Science 66 (10): 784-90помощью Индийский технологический институт Мадрас
↑ AK Bag (1979) Математика в древней и средневековой Индии . Варанаси / Дели: Чаукхамбха Ориенталия. стр.285.
Перейти ↑ Raju, CK (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в юктибхасе». Философия Востока и Запада . 51 (3): 325–362. DOI : 10,1353 / pew.2001.0045 . S2CID 170341845 .
^ а б Алмейда, ДФ; Джон, JK; Задорожный, А. (2001). «Керальская математика: ее возможное распространение в Европе и ее последствия для образования». Журнал естественной геометрии . 20 : 77–104.
^ Золото, D .; Пингри, Д. (1991). «До сих пор неизвестный санскритский труд о выводе Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса». Historia Scientiarum . 42 : 49–65.
^ Кац 1995 , стр. 174.

Ссылки [ править ]

Bressoud, Дэвид (2002), "Был Исчисление Изобретенный в Индии?", Колледж Математика журнал (Math доц Amer...) , 33 (1): 2-13, DOI : 10,2307 / 1558972 , JSTOR 1558972.
Гупта Р.К. (1969) «Второй порядок интерполяции индийской математики», Индийский журнал истории науки 4: 92-94
Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , 1, pp. 118-130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 страниц, ISBN 0-8018-7396-7.
Джозеф, Г.Г. (2000), Гребень павлина: неевропейские корни математики , Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-00659-8.
Katz, Виктор J. (1995), "Идеи Исчисление в исламе и Индии", Математика Magazine (Math доц Amer...) , 68 (3): 163-174, DOI : 10,2307 / 2691411 , JSTOR 2691411.
Парамешваран, С. (1992) "Повторное посещение выставочного зала Whish", Mathematical Gazette 76, no. 475 страниц 28-36
Пингри, Дэвид (1992), «Гелленофилия против истории науки», Isis , 83 (4): 554–563, Bibcode : 1992Isis ... 83..554P , doi : 10.1086 / 356288 , JSTOR 234257 , S2CID 68570164
Плофкер, Ким (1996), "Пример секущего метода итеративного приближения в санскритском тексте пятнадцатого века", Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006 / hmat.1996.0026.
Plofker, Ким (2001), "The "Error" в индийской "Ряды Тейлора приближения" к Синус", Historia Mathematica , 28 (4): 283-295, DOI : 10,1006 / hmat.2001.2331.
Плофкер, К. (20 июля 2007 г.), «Математика Индии», в Каце, Виктор Дж. (Редактор), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет Press, 685 страниц (опубликовано в 2007 г.), стр. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
CK Raju. «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхасе», Philosophy East and West 51 , University of Hawaii Press, 2001.
Рой, Ranjan (1990), "Открытие Формулы серии для Лейбница, Грегори, и Нилаканты", Математика Magazine (Math доц Amer...) , 63 (5): 291-306, DOI : 10,2307 / 2690896 , JSTOR 2690896 $\pi$ .
Сарма, кВ; Харихаран, С. (1991). «Юктибхаса Джьестадевы: книга обоснований по индийской математике и астрономии - аналитическая оценка». Индийский J. Hist. Sci . 26 (2): 185–207.
Сингх, А. Н. (1936), "Об использовании серии в индуистской математики", Осирис , 1 : 606-628, DOI : 10,1086 / 368443 , JSTOR 301627 , S2CID 144760421
Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (2-е изд.), Берлин и Нью-Йорк: Springer, 568 страниц, ISBN 0-387-95336-1.
Такчи Вентури. «Письмо Маттео Риччи Петри Маффеи от 1 декабря 1581 года», Маттео Риччи С.И., Le Lettre Dalla Cina 1580–1610 , vol. 2, Мачерата, 1613 г.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные со школой астрономии и математики Кералы .

Школа Кералы, Европейская математика и навигация , 2001 г.
Обзор индийской математики , Архив истории математики MacTutor , 2002.
Индийская математика: восстановление баланса , Архив истории математики MacTutor , 2002.
Керальская математика , Архив истории математики MacTutor , 2002.
Возможная передача керальской математики в Европу , Архив истории математики MacTutor , 2002.
«Индийцы на 250 лет предшествовали« открытию »Ньютона» Phys.org, 2007

[roy-1] Рой, Ранджан. 1990. «Открытие формулы ряда для Лейбница, Грегори и Нилакантха». Математический журнал (Математическая ассоциация Америки) 63 (5): 291–306. $\pi$

[2] ( Стиллвелл 2004 , стр.173)

[3] ( Bressoud 2002 , стр. 12) Цитата: «Нет никаких доказательств того, что индийские работы над сериалами были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века. Голд и Пингри утверждают [4], что к тому времени эти серии были заново открыты в Европе, они для всех практических целей были потеряны для Индии. Расширения синуса, косинуса и арктангенса передавались через несколько поколений учеников, но они оставались бесплодными наблюдениями, для которых никто не мог найти много пользы ".

[4] Плофкер 2001, п. 293 Цитата: «Нет ничего необычного в том, чтобы встретить в дискуссиях по индийской математике такие утверждения, как то, что« концепция дифференциации понималась [в Индии] со времен Манджулы (... в 10 веке) »[Joseph 1991, 300 ], или что «мы можем считать Мадхаву основоположником математического анализа» (Joseph 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на то, чтобы быть «предшественником Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления. "(Bag 1979, 294) ... Точки сходства, особенно между ранним европейским исчислением и керальской работой по степенным рядам, даже вдохновили на предположения о возможной передаче математических идей с Малабарского побережья в 15 веке или позже. в латинский научный мир (например, в (Bag 1979, 285)). ...Однако следует иметь в виду, что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать первое. Если говорить об «открытии принципа дифференциального исчисления» в Индии, это несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этой специфической тригонометрии. контекст. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать первое. Говорить об «открытии принципа дифференциального исчисления» в Индии несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этой специфической тригонометрии. контекст. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать первое. Если говорить об «открытии принципа дифференциального исчисления» в Индии, это несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этой специфической тригонометрии. контекст. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этого специфического тригонометрического контекста. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса с помощью косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этого специфического тригонометрического контекста. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции - на самом деле явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения »не говоря уже о том, что его производная или алгоритм взятия производной здесь не имеет значения "не говоря уже о том, что его производная или алгоритм взятия производной здесь не имеет значения "

[5] Pingree 1992 , стр. 562 Цитата: «Один пример, который я могу вам привести, касается демонстрации индийским Мадхавой примерно в 1400 году нашей эры бесконечного степенного ряда тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке Чарльзом Вишем в 1830-х годах , это было провозглашено как открытие исчисления индейцами. Это утверждение и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, предположительно сначала потому, что они не могли признать, что индус открыл исчисление, но позже потому, что никто больше не читал « Труды математики». Королевское азиатское общество, в котором была опубликована статья Виша. Этот вопрос вновь всплыл в 1950-х, и теперь у нас есть санскритские тексты, отредактированные должным образом, и мы понимаем, каким хитрым способом Мадхава вывел ряд без исчисления; но многие историки по-прежнему считают невозможным представить себе проблему и ее решение в терминах чего-либо, кроме расчетов, и заявляют, что расчет - это то, что обнаружил Мадхава. В этом случае элегантность и великолепие математики Мадхавы искажаются, поскольку они погребены под текущим математическим решением проблемы, для которой он обнаружил альтернативное и мощное решение ».

[6] Кац 1995, pp. 173–174 Цитата: «Насколько близко исламские и индийские ученые подошли к изобретению исчисления? Исламские ученые почти разработали общую формулу для нахождения интегралов от многочленов к 1000 году нашей эры - и, очевидно, могли найти такую формулу для любого многочлена, в котором они были заинтересованы. Но, похоже, их не интересовал какой-либо многочлен степени выше четырех, по крайней мере, любой из дошедших до нас материалов. Индийские ученые, с другой стороны, к 1600 году могли использовать Формула суммы ибн аль-Хайсама для произвольных целых степеней при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. К тому же времени они также знали, как вычислять дифференциалы этих функций. Таким образом, некоторые из основных идей исчисления были известны в Египте и Индии за много веков до Ньютона.что исламские или индийские математики увидели необходимость соединить некоторые разрозненные идеи, которые мы включаем под названием «исчисление». Очевидно, их интересовали только конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы.
Следовательно, нет опасности, что нам придется переписать тексты истории, чтобы убрать утверждение о том, что Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Они, безусловно, были теми, кто сумел объединить множество различных идей под двумя объединяющими темами производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня ».

[singh-7] Перейти ↑ Singh, AN (1936). «Об использовании рядов в индуистской математике». Осирис . 1 : 606–628. DOI : 10.1086 / 368443 . S2CID 144760421 .

[bressoud-8] Брессуд, Дэвид. 2002. "Исчисление изобретено в Индии?" Журнал математики колледжа (Математическая ассоциация Америки). 33 (1): 2–13.

[katz-9] Кац, VJ 1995. «Идеи исчисления в исламе и Индии». Mathematics Magazine (Математическая ассоциация Америки), 68 (3): 163-174.

[10] Джон Уоррен (1825) Сборник мемуаров о различных режимах, согласно которым народы южной части Индии отделяют время от Google Книг

[charles-11] Чарльз Виш (1835), Сделки Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии

[12] Rajagopal, C .; Рангачари, MS (1949). «Заброшенная глава индуистской математики». Scripta Mathematica . 15 : 201–209.

[13] Rajagopal, C .; Рангачари, MS (1951). «Об индуистском доказательстве серии Грегори». Scripta Mathematica . 17 : 65–74.

[14] Rajagopal, C .; Венкатараман, А. (1949). «Синус и косинус степенного ряда в индуистской математике». Журнал Бенгальского королевского азиатского общества (наука) . 15 : 1–13.

[15] Rajagopal, C .; Рангачари, М.С. (1977). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 : 89–102. doi : 10.1007 / BF00348142 (неактивен 10 января 2021 г.).CS1 maint: DOI inactive as of January 2021 (link)

[16] Rajagopal, C .; Рангачари, М.С. (1986). «О средневековой математике Кералы». Архив истории точных наук . 35 (2): 91–99. DOI : 10.1007 / BF00357622 . S2CID 121678430 .

[17] Отто Нойгебауэр (1952) «Тамильская астрономия», Осирис 10: 252–76

[18] К. Ramasubramanian, MD Шринивас и MS Sriram (1994) Модификация ранее индийской теории планет по Керале астрономов и подразумеваемые гелиоцентрическая картина движения планет (с 1500 AD.) , Current Science 66 (10): 784-90помощью Индийский технологический институт Мадрас

[19] AK Bag (1979) Математика в древней и средневековой Индии . Варанаси / Дели: Чаукхамбха Ориенталия. стр.285.

[20] Перейти ↑ Raju, CK (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в юктибхасе». Философия Востока и Запада . 51 (3): 325–362. DOI : 10,1353 / pew.2001.0045 . S2CID 170341845 .

[almeida-21] а б Алмейда, ДФ; Джон, JK; Задорожный, А. (2001). «Керальская математика: ее возможное распространение в Европе и ее последствия для образования». Журнал естественной геометрии . 20 : 77–104.

[gold-22] Золото, D .; Пингри, Д. (1991). «До сих пор неизвестный санскритский труд о выводе Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса». Historia Scientiarum . 42 : 49–65.

[23] Кац 1995 , стр. 174.

[1]

vтеИндийская астрономия
Астрономы	Апастамба Арьябхата I Арьябхата II Вайну Баппу Бхаскара I Бхаскара II Баудхаяна Брахмагупта Сандип Чакрабарти Радхагобинда Чандра Субраманян Чандрасекар Амил Кумар Дас П. Девадас Гаутама Сиддха МК Дас Гупта Джьестадева Камалакара Катьяяна Лагадха Лалла Мадхава Сангамаграмы Прасанта Чандра Махаланобис Махавира Манава Джаянт Нарликар Парамешвара Ачюта Пишарати Венкатраман Радхакришнан Джей Джей Равал Мег Над Саха Джаганнатха Самрат Бапудева Шастри Джай Сингх II из Амбера Нилаканта Сомаяджи Шрипати Махендра Сури Говинд Сваруп Утпала Варахамихира Шанкара Варияр Васиштха Яджнавалкья Патани Саманта
Работает	Арьябхатия Брахманы ( Айтарейя Брахмана Шатапатха Брахмана ) Брихат Самхита Шульба Сутры Панчангам Хандахадяка Сиддханты ( Брахмаспхутасиддханта Маха-сиддханта Панча-Сиддхантика Паулиса Сиддханта Пайтамаха Сиддханта Ромака Сиддханта Сурья Сиддханта Васиштха Сиддханта ) Тантрасанграха Джйотирмимамса Трактат по астрологии эпохи Кайюань Веданга Джйотиша Веды ( Атхарваведа Ригведа ) Яванаджатака Zij
Инструменты	Армиллярная сфера Астролябия Небесный глобус Компас Перекрестный персонал Диоптра Экваториальное кольцо Экваториальные солнечные часы Глобус Гномон Настенный инструмент Квадрант Секстант Солнечные часы Triquetrum Водные часы
Концепции	Осевой наклон Азимут Кардинальное направление Небесный экватор Небесная сфера Небесные сферы Центр массы Круговая орбита Дифферент и эпицикл Вращение Земли Эксцентриситет Эклиптика Эллиптическая орбита Equant Геоцентризм Геогелиоцентризм Глобус Сила тяжести Гелиоцентризм Индусские единицы времени Джиотиша Кальпа Лунный свет Накшатра Параллакс Прецессия Риту Сферическая земля Солнечный свет Титхи Юга Знак зодиака Манвантара
Центры	Джантар Мантар Джайпур Нью-Дели Удджайн Варанаси Керальская школа астрономии и математики
Другие регионы	Вавилонская астрономия Древнегреческая астрономия Эллинистическая астрономия Исламская астрономия Китайская астрономия Европейская астрономия
Месяцы ведического календаря	Чайтра (चैत्र) Vaisakha (वैशाख) Джйешта (ज्येष्ठ) Аашаадха (आषाढ) Шравана (श्रावण) Бхадрапада (भाद्रपद) Ashwin (अश्विन्) Картик (कार्तिक) Маргаширша (मार्गशीर्ष) Пауша (पौष) Маагха (माघ) Пхалгуна (फाल्गुन)