Линзы пространство является примером топологического пространства , рассмотренным в математике . Этот термин часто относится к определенному классу 3-многообразий , но в целом может быть определен для более высоких измерений.
В случае трехмерного многообразия линзовое пространство можно визуализировать как результат склеивания двух полноторий посредством гомеоморфизма их границ. Часто 3-сферный и, оба из которых могут быть получены, как указано выше, не учитываются, поскольку считаются тривиальными частными случаями.
Трехмерные линзовые пространства были введены Генрихом Титце в 1908 году. Они были первыми известными примерами трехмерных многообразий, которые не определялись только их гомологией и фундаментальной группой , и простейшими примерами замкнутых многообразий, тип гомеоморфизма которых не определяется их гомотопическим типом. Дж. В. Александр в 1919 г. показал, что линзовые пространства а также не были гомеоморфны, хотя у них были изоморфные фундаментальные группы и одни и те же гомологии, хотя они не имеют одного и того же гомотопического типа. Другие линзовые пространства имеют даже тот же гомотопический тип (и, следовательно, изоморфные фундаментальные группы и гомологии), но не тот же тип гомеоморфизма; таким образом, их можно рассматривать как рождение геометрической топологии многообразий в отличие от алгебраической топологии .
Существует полная классификация трехмерных линзовых пространств по фундаментальной группе и кручению Рейдемейстера .
Определение
Трехмерные линзовые пространства являются частными от от -действия. Точнее, пусть а также быть взаимно простыми целыми числами и рассмотреть как единичная сфера в . Тогда-действие на порожденный гомеоморфизмом
это бесплатно. Результирующее фактор-пространство называется линзовым пространством. .
Это можно обобщить на более высокие измерения следующим образом: Пусть быть целыми числами такими, что взаимно просты с и рассмотреть как единичная сфера в . Объектив пространство является частным от бесплатно -действие, инициированное
В трех измерениях у нас есть
Характеристики
Фундаментальная группа всех линзовых пространств является независимо от .
Пространства линз - это локально симметричные пространства , но не (полностью) симметричные, за исключениемкоторая симметрична. (Локально симметричные пространства - это симметричные пространства, которые делятся на факторы изометрии, не имеющей неподвижных точек; линзовые пространства соответствуют этому определению.)
Альтернативные определения трехмерных линзовых пространств
Трехмерное пространство линз часто определяется как цельный шар со следующей идентификацией: сначала отметьте p равноотстоящих точек на экваторе твердого шара, обозначьте их к , затем на границе шара проведите геодезические линии, соединяющие точки с северным и южным полюсами. Теперь определите сферические треугольники, отождествив северный полюс с южным полюсом и точки. с участием а также с участием . Полученное пространство гомеоморфно линзовому пространству.
Другое родственное определение - рассматривать твердый шар как следующую твердую бипирамиду : построить плоский правильный многоугольник с p- сторонами . Поместите две точки n и s прямо над и под центром многоугольника. Постройте бипирамиду, соединив каждую точку правильного p- стороннего многоугольника с n и s . Залейте бипирамиду, чтобы она стала сплошной, и дайте треугольникам на границе такую же идентификацию, как указано выше.
Классификация трехмерных линзовых пространств
Классификации с точностью до гомеоморфизма и гомотопической эквивалентности известны следующим образом. Трехмерные пространства а также находятся:
- гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда для некоторых ;
- гомеоморфен тогда и только тогда, когда .
В этом случае они «очевидно» гомеоморфны, так как можно легко произвести гомеоморфизм. Труднее показать, что это единственные гомеоморфные линзовые пространства.
Инвариантом, который дает гомотопическую классификацию трехмерных линзовых пространств, является форма торсионного зацепления .
Классификация гомеоморфизмов более тонкая и дается кручением Рейдемейстера . Это было дано в ( Reidemeister 1935 ) как классификация до гомеоморфизма PL , но было показано в ( Brody 1960 ) как классификация гомеоморфизма. Говоря современным языком, линзовые пространства определяются простым гомотопическим типом, и здесь нет нормальных инвариантов (например, характеристических классов ) или препятствий для операций .
Узел теоретико- классификация приведена в ( Przytycki & Yasuhara 2003 ) : пусть C будет замкнутой кривой в пространстве линзы, которая поднимается до узла в универсальной крышке пространства линзы. Если поднятый узел имеет тривиальный многочлен Александера , вычислите форму зацепления кручения на паре (C, C) - тогда это дает классификацию гомеоморфизма.
Другой инвариант - это гомотопический тип конфигурационных пространств - ( Salvatore & Longoni 2004 ) показал, что гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные линзовые пространства могут иметь конфигурационные пространства с разными типами гомотопий, которые могут быть обнаружены различными произведениями Масси .
Смотрите также
Рекомендации
- Глен Бредон , Топология и геометрия , Springer Graduate Texts in Mathematics 139, 1993.
- Броуди, Е.Ю. (1960), "Топологическая классификация линзовых пространств", Анналы математики , 2, 71 (1): 163-184, DOI : 10,2307 / 1969884 , JSTOR 1969884
- Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология , Издательство Кембриджского университета , 2002.
- Аллен Хэтчер, Замечания по базовой топологии 3-многообразия . (Объясняет классификацию L (p, q) с точностью до гомеоморфизма.)
- Пржитицкий, Юзеф Х .; Ясухара, Акира (2003), «Симметрия связей и классификация пространств линз», Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, DOI : 10.1023 / A: 10240 , MR 1988423
- Рейдемейстер, Курт (1935), «Homotopieringe und Linsenräume», Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург , 11 (1): 102-109, DOI : 10.1007 / BF02940717
- Сальваторе, Паоло; Лонгони, Риккардо (2005), «Конфигурационные пространства не являются гомотопически инвариантными», Топология , 44 (2): 375–380, arXiv : math / 0401075 , doi : 10.1016 / j.top.2004.11.002
- Герберт Зайферт и Уильям Трелфолл , Учебник топологии , Чистая и прикладная математика 89, Перевод с немецкого издания 1934 года, Academic Press Inc., Нью-Йорк (1980)
- Генрих Титце , Ueber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten , Monatsh. fuer Math. und Phys. 19, 1–118 (1908) (20) Английский перевод (2008) Джона Стилвелла .
- Мэтью Уоткинс, "Краткий обзор линз" (диссертация бакалавриата 1990 г.)
Внешние ссылки
- Пространства линз в Manifold Atlas
- Пространства линз: история в Manifold Atlas
- Поддельные линзы в Manifold Atlas