В теории векторных пространств , набор из векторов называется линейно зависимой , если существует нетривиальная линейная комбинация векторов , что равняется нулевой вектор. Если такой линейной комбинации не существует, то векторы называются линейно независимыми . Эти концепции являются центральными в определении размера . [1]
Векторное пространство может иметь конечную или бесконечную размерность в зависимости от максимального числа линейно независимых векторов. Определение линейной зависимости и возможность определять, является ли подмножество векторов в векторном пространстве линейной зависимостью, являются центральными для определения размерности векторного пространства.
Определение
Последовательность векторов из векторного пространства V называется линейно зависимым , если существуют скаляры не все ноль, так что
где обозначает нулевой вектор.
Обратите внимание, что если не все скаляры равны нулю, то хотя бы один ненулевой, скажем , и в этом случае это уравнение можно записать в виде
Таким образом, показано как линейная комбинация остальных векторов.
Последовательность векторов называется линейно независимым, если уравнение
может быть удовлетворен только для Это означает, что никакой вектор в последовательности не может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов в последовательности. Другими словами, последовательность векторов линейно независима, если единственное представление как линейная комбинация его векторов есть тривиальное представление, в котором все скаляры равны нулю. [2] Еще более кратко, последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда можно уникальным образом представить в виде линейной комбинации его векторов.
Альтернативное определение, что последовательность векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда некоторый вектор в этой последовательности может быть записан как линейная комбинация других векторов, полезно только тогда, когда последовательность содержит два или более векторов. Когда последовательность не содержит векторов или только один вектор, используется исходное определение.
Бесконечные измерения
Чтобы число линейно независимых векторов в векторном пространстве было счетно бесконечным , полезно определить линейную зависимость следующим образом. В более общем смысле, пусть V - векторное пространство над полем K , и пусть { v i | я ∈ I } быть семейство элементов V индексируется множеством I . Семейство линейно зависимо над K, если существует непустое конечное подмножество J ⊆ I и семейство { a j | j ∈ J } элементов K , все ненулевые, такие что
Множество X элементов V является линейно независимой , если соответствующее семейство { х } х ∈ Х является линейно независимой. Эквивалентно, семья является зависимой, если член находится в замыкании линейной части остальной части семьи, т. Е. Член является линейной комбинацией остальной части семьи. Тривиальный случай пустого семейства следует рассматривать как линейно независимый, чтобы теоремы применялись.
Набор векторов, который является линейно независимым и охватывает некоторое векторное пространство, образует основу для этого векторного пространства. Например, векторное пространство всех многочленов от x над вещественными числами имеет (бесконечное) подмножество {1, x , x 2 , ...} в качестве основы.
Геометрический смысл
Географический пример может помочь прояснить концепцию линейной независимости. Человек, описывающий местоположение определенного места, может сказать: «Это в 3 милях к северу и в 4 милях к востоку отсюда». Этой информации достаточно для описания местоположения, поскольку географическая система координат может рассматриваться как двумерное векторное пространство (без учета высоты и кривизны поверхности Земли). Человек может добавить: «Это место в 5 милях к северо-востоку отсюда». Хотя это последнее утверждение верно , в нем нет необходимости.
В этом примере вектор «3 мили к северу» и вектор «4 мили к востоку» линейно независимы. Другими словами, северный вектор не может быть описан в терминах восточного вектора, и наоборот. Третий вектор «5 миль к северо-востоку» представляет собой линейную комбинацию двух других векторов, и он делает набор векторов линейно зависимым , то есть один из трех векторов не нужен.
Также обратите внимание, что если высота не игнорируется, становится необходимым добавить третий вектор к линейно независимому набору. В общем, n линейно независимых векторов требуются для описания всех местоположений в n -мерном пространстве.
Оценка линейной независимости
Нулевой вектор
Если один или несколько векторов из данной последовательности векторов нулевой вектор тогда вектор обязательно линейно зависимы (и, следовательно, не являются линейно независимыми). Чтобы понять почему, предположим, что является индексом (т.е. элементом ) такие, что Тогда пусть (в качестве альтернативы, позволяя быть равным любой другой ненулевой скаляр, также будет работать), а затем пусть все остальные скаляры будут (явно это означает, что для любого индекса Кроме как (т.е. для ), позволять так что, следовательно, ). Упрощение дает:
Поскольку не все скаляры равны нулю (в частности, ), это доказывает, что векторы линейно зависимы.
Как следствие, нулевой вектор не может принадлежать к любому набору векторов, линейно в зависимом.
Теперь рассмотрим частный случай, когда последовательность имеет длину (т.е. случай, когда ). Набор векторов, состоящий ровно из одного вектора, является линейно зависимым тогда и только тогда, когда этот вектор равен нулю. Явно, если - любой вектор, то последовательность (который представляет собой последовательность длины ) линейно зависима тогда и только тогда, когда ; в качестве альтернативы сбор линейно независима тогда и только тогда, когда
Линейная зависимость и независимость двух векторов
В этом примере рассматривается особый случай, когда имеется ровно два вектора а также из некоторого реального или сложного векторного пространства. Векторы а также линейно зависимы тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующего:
- является скалярным кратным (явно это означает, что существует скалярная такой, что ) или же
- является скалярным кратным (явно это означает, что существует скалярная такой, что ).
Если затем, установив у нас есть (это равенство сохраняется независимо от значения is), что показывает, что (1) верно в данном конкретном случае. Аналогично, если то (2) верно, потому что Если (например, если они оба равны нулевому вектору ), то оба (1) и (2) верны (используя для обоих).
Если тогда возможно только если а также ; в этом случае можно обе части умножить на заключить Это показывает, что если а также тогда (1) истинно тогда и только тогда, когда (2) истинно; то есть, в данном конкретном случае либо оба (1) и (2) являются истинными (а векторы линейно зависимы) , либо как (1) и (2) являются ложными (а векторы линейно в зависимом). Если но вместо то хотя бы один из а также должно быть равно нулю. Более того, если ровно один из а также является (в то время как другой не равен нулю), тогда ровно одно из (1) и (2) истинно (а другое ложно).
Векторы а также линейно в зависимы тогда и только тогда , когда не является скалярным кратным а также не является скалярным кратным .
Векторы в R 2
Три вектора: рассмотрим набор векторов а также то условие линейной зависимости ищет набор ненулевых скаляров, таких что
или же
Строку уменьшите это матричное уравнение, вычтя первую строку из второй, чтобы получить,
Продолжайте уменьшение строки: (i) разделив вторую строку на 5, а затем (ii) умножив на 3 и прибавив к первой строке, то есть
Преобразование этого уравнения позволяет нам получить
что показывает, что существуют ненулевые a i такие, что можно определить в терминах а также Таким образом, три вектора линейно зависимы.
Два вектора: Теперь рассмотрим линейную зависимость двух векторов. а также и проверьте,
или же
Такое же сокращение строк, представленное выше, дает,
Это показывает, что что означает, что векторы v 1 = (1, 1) и v 2 = (−3, 2) линейно независимы.
Векторы в R 4
Чтобы определить, являются ли три вектора в
линейно зависимы, образуют матричное уравнение,
Строку уменьшите это уравнение, чтобы получить,
Переставьте, чтобы решить для v 3 и получить,
Это уравнение легко решается для определения ненулевого a i ,
где можно выбрать произвольно. Таким образом, векторы а также линейно зависимы.
Альтернативный метод с использованием детерминантов
Альтернативный метод основан на том, что векторов в линейно независимы тогда и только тогда , когда определитель из матрицы , образованной путем принятия векторов , как ее столбцов не равен нулю.
В этом случае матрица, образованная векторами, имеет вид
Мы можем записать линейную комбинацию столбцов как
Нас интересует, будет ли A Λ = 0 для некоторого ненулевого вектора Λ. Это зависит от определителя, который
Поскольку определитель отличен от нуля, векторы а также линейно независимы.
В противном случае предположим, что у нас есть векторов координаты, с Тогда A - матрица размера n × m, а Λ - вектор-столбец сэлементов, и нас снова интересует A Λ = 0 . Как мы видели ранее, это эквивалентно спискууравнения. Рассмотрим первый ряды , первое уравнения; любое решение полного списка уравнений должно быть верным и для сокращенного списка. В самом деле, если ⟨ я 1 , ..., я м ⟩ является любой список строк, то уравнение должно быть верным для этих строк.
Более того, верно обратное. То есть мы можем проверить, векторы линейно зависят, проверяя,
для всех возможных списков ряды. (В случае, для этого требуется только один определитель, как указано выше. Если, то это теорема о том, что векторы должны быть линейно зависимыми.) Этот факт ценен для теории; в практических расчетах доступны более эффективные методы.
Больше векторов, чем размеров
Если векторов больше, чем размеров, векторы линейно зависимы. Это проиллюстрировано в приведенном выше примере трех векторов в
Естественные базисные векторы
Позволять и рассмотрим следующие элементы в , известные как естественные базисные векторы:
потом линейно независимы.
Доказательство |
---|
Предположим, что настоящие числа такие, что С тогда для всех |
Линейная независимость функций
Позволять - векторное пространство всех дифференцируемых функций действительного переменного. Тогда функции а также в линейно независимы.
Доказательство
Предполагать а также два действительных числа такие, что
Возьмите первую производную от приведенного выше уравнения:
для всех значений Нам нужно показать, что а также Для этого мы вычитаем первое уравнение из второго, получая . С не ноль для некоторых , Следует, что тоже. Следовательно, согласно определению линейной независимости, а также линейно независимы.
Пространство линейных зависимостей
Линейная зависимость или линейная зависимость между векторами v 1 , ..., v п является кортеж ( 1 , ..., п ) с п скалярных компонентов , таких , что
Если такая линейная зависимость существует хотя бы с ненулевой компонентой, то n векторов линейно зависимы. Линейные зависимости между v 1 , ..., v n образуют векторное пространство.
Если векторы выражаются их координатами, то линейные зависимости являются решениями однородной системы линейных уравнений с координатами векторов в качестве коэффициентов. Основа поэтому векторного пространства линейных зависимостей может быть вычислена с помощью метода исключения Гаусса .
Аффинная независимость
Набор векторов называется аффинно зависимым, если хотя бы один из векторов в наборе может быть определен как аффинная комбинация других. В противном случае множество называется аффинно независимым . Любая аффинная комбинация - это линейная комбинация; поэтому каждое аффинно зависимое множество линейно зависимо. Наоборот, любое линейно независимое множество аффинно независимое.
Рассмотрим набор векторов размера каждый, и рассмотрим набор дополненные векторы размера каждый. Исходные векторы аффинно независимы тогда и только тогда, когда дополненные векторы линейно независимы. [3] : 256
См. Также: аффинное пространство .
Смотрите также
- Matroid - абстрактная структура, которая моделирует и обобщает линейную независимость
Рекомендации
- ^ Г. Е. Шилов, Линейная алгебра (Trans. RA Silverman), Dover Publications, НьюЙорк, 1977.
- ^ Фридберг, Инсел, Спенс, Стивен, Арнольд, Лоуренс (2003). Линейная алгебра . Пирсон, 4-е издание. С. 48–49. ISBN 0130084514.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Ловас, Ласло ; Пламмер, доктор медицины (1986), Теория соответствия , Анналы дискретной математики, 29 , Северная Голландия, ISBN 0-444-87916-1, Руководство по ремонту 0859549
Внешние ссылки
- "Линейная независимость" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Линейно зависимые функции в WolframMathWorld.
- Учебная и интерактивная программа по линейной независимости.
- Введение в линейную независимость в KhanAcademy.