В математике , то тавтологическая один-форма представляет собой специальная 1-форма , определенная на кокасательном расслоении из коллектора . В физике он используется для установления соответствия между скоростью точки в механической системе и ее импульсом, тем самым обеспечивая мост между лагранжевой механикой и гамильтоновой механикой (на многообразии).
Внешняя производная этой формы определяет симплектическую форму подачиструктура симплектического многообразия . Тавтологическая одна форма играет важную роль в связи формализма гамильтоновой механики и лагранжевой механики . Тавтологическая одна формы иногда также называют лиувиллевскую один-формой , то Пуанкар одна формой , то канонической одна формы , или симплектическим потенциалом . Аналогичным объектом является каноническое векторное поле на касательном расслоении .
Чтобы определить тавтологическую единичную форму, выберите координатную карту на и каноническая система координат на Выберите произвольную точку По определению кокасательного расслоения где а также Тавтологическая одноформа дан кем-то
с участием а также являясь координатным представлением
Любые координаты на сохраняющие это определение с точностью до полного дифференциала ( точной формы ) можно назвать каноническими координатами; преобразования между различными каноническими системами координат известны как канонические преобразования .
Каноническая симплектическая форма , также известная как Пуанкар два-форма , задаются
Распространение этой концепции на обычные пучки волокон известно как форма припоя . По соглашению, фраза «каноническая форма» используется всякий раз, когда форма имеет уникальное каноническое определение, а термин «припаянная форма» - всякий раз, когда необходимо сделать произвольный выбор. В алгебраической геометрии и сложной геометрии термин «канонический» не приветствуется из-за путаницы с каноническим классом , а термин «тавтологический» предпочтительнее, как в тавтологической связке .
Физическая интерпретация
Переменные должны пониматься как обобщенные координаты , так что точкаэто точка в конфигурационном пространстве . Касательное пространство соответствует скоростям, так что если движется по тропе , мгновенная скорость при соответствует точке
на касательном многообразии , для данного местоположения системы в точке . Скорости подходят для лагранжевой формулировки классической механики, но в гамильтоновой формулировке работают с импульсами, а не со скоростями; тавтологическая одноформа - это устройство, преобразующее скорости в импульсы.
То есть тавтологическая одноформа присваивает числовое значение импульсу для каждой скорости , и многое другое: он делает так, что они указывают «в одном направлении» и линейно, так что величины растут пропорционально. Он называется «тавтологическим» именно потому, что «конечно» скорость и импульсы обязательно пропорциональны друг другу. Это своего рода припой , потому что он «склеивает» или «спаивает» каждую скорость с соответствующим импульсом. Выбор склейки уникален; каждый вектор импульса по определению соответствует только одному вектору скорости. Тавтологическую единичную форму можно рассматривать как средство перехода от лагранжевой механики к гамильтоновой.
Безкоординатное определение
Тавтологическую 1-форму можно также довольно абстрактно определить как форму на фазовом пространстве . Позволять быть многообразием и быть котангенс расслоение или фазовое пространство . Позволять
- проекция канонического расслоения, и пусть
- индуцированное касательное отображение . Позволять быть точкой на . С котангенсный пучок, мы можем понять быть картой касательного пространства в :
- .
То есть у нас есть что находится в волокне . Тавтологическая одноформа в точке тогда определяется как
- .
Это линейная карта
и другие
- .
Симплектический потенциал
Симплектический потенциал обычно определяется немного более свободно, а также определяется только локально: это любая одноформная такой, что ; в действительности симплектические потенциалы отличаются от канонической 1-формы замкнутой формой .
Характеристики
Тавтологическая одноформа - это единственная форма, которая «отменяет» откат . То есть пусть быть 1-формой на это раздел Для произвольной 1-формы на откат от по определению Здесь, является прямым образом из Нравиться это 1-форма на Тавтологическая одноформа единственная форма со свойством, что за каждую 1-форму на
Доказательство. |
Для диаграммы на (где позволять быть координатами на где координаты волокна связаны с линейным базисом По предположению для каждого или же Следует, что откуда следует, что Шаг 1. У нас есть Шаг 1'. Для полноты приведем бескординатное доказательство того, что для любой 1-формы Заметьте, что интуитивно говоря, для каждого а также линейная карта в определении проецирует касательное пространство на свое подпространство Как следствие, для каждого а также где это пример в момент т.е. Применяя безкоординатное определение к получать Шаг 2. Достаточно показать, что если для каждой формы Позволять где Подстановка в личность получать или, что эквивалентно, для любого выбора функции Позволять где В таком случае, Для каждого а также Это показывает, что на и личность должно выполняться при произвольном выборе функций Если (с участием с указанием надстрочного индекса), затем и личность становится для каждого а также С Мы видим, что так долго как для всех С другой стороны, функция непрерывно, и, следовательно, на |
Итак, посредством коммутации между обратным движением и внешней производной,
- .
Действие
Если является гамильтонианом на кокасательном расслоении и- его гамильтонов поток , то соответствующее действие дан кем-то
- .
Говоря более прозаично, гамильтонов поток представляет собой классическую траекторию механической системы, подчиняющейся уравнениям движения Гамильтона-Якоби . Гамильтонов поток является интегралом гамильтонова векторного поля, поэтому можно записать, используя традиционные обозначения для переменных действие-угол :
причем интеграл считается взятым по многообразию, определяемому удерживанием энергии постоянный: .
О метрических пространствах
Если коллектор имеет риманову или псевдориманову метрику , то соответствующие определения могут быть даны в терминах обобщенных координат . В частности, если мы возьмем метрику за карту
- ,
затем определите
а также
В обобщенных координатах на , надо
а также
Метрика позволяет определить сферу единичного радиуса в . Каноническая единичная форма, ограниченная этой сферой, образует контактную структуру ; структура контактов может использоваться для генерации геодезического потока для этой метрики.
Рекомендации
- Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN 0-8053-0102-X См. Раздел 3.2 .