Список длинных математических доказательств

Это список необычно длинных математических доказательств . Такие доказательства часто используют вычислительные методы доказательства и могут считаться не подлежащими обзору .

По состоянию на 2011 год ^{[Обновить]}самым длинным математическим доказательством, измеряемым количеством опубликованных страниц журнала, является классификация конечных простых групп с более чем 10000 страницами. Есть несколько доказательств, которые были бы намного длиннее этого, если бы подробности компьютерных вычислений, от которых они зависят, были опубликованы полностью.

Длинные доказательства [ править ]

Длина необычно длинных доказательств со временем увеличивалась. Как правило, 100 страниц в 1900 году, 200 страниц в 1950 году или 500 страниц в 2000 году - это необычно много для доказательства.

• 1799 Теорема Абеля – Руффини была почти доказана Паоло Руффини , но его доказательство, охватывающее 500 страниц, было по большей части проигнорировано, и позже, в 1824 году, Нильс Хенрик Абель опубликовал доказательство, для которого потребовалось всего шесть страниц.
• 1890 г. Классификация Киллинга простых комплексных алгебр Ли, включая его открытие исключительных алгебр Ли , заняла 180 страниц в 4 статьях.
• 1894 Правитель-и-компас строительство полигона 65537 сторон по Иоганну Густав Hermes взяло более 200 страниц.
• 1905 г. Первоначальное доказательство теоремы Ласкера – Нётер Эмануэлем Ласкером заняло 98 страниц, но с тех пор было упрощено: современные доказательства занимают меньше страницы.
• 1963 Теорема Фейта и Томпсона о нечетном порядке содержала 255 страниц, что в то время было более чем в 10 раз больше, чем то, что ранее считалось длинной статьей по теории групп.
• 1964 Разрешение сингулярностей Первоначальное доказательство Хиронаки занимало 216 страниц; с тех пор он был значительно упрощен до 10-20 страниц.
• 1966 год. Доказательство Абыханкара разрешения особенностей для трехмерных многообразий с характеристикой больше 6 заняло около 500 страниц в нескольких статьях. В 2009 году Каткоски сократил это примерно до 40 страниц.
• 1966 Представления групп Ли в виде дискретных серий . Их построение Хариш-Чандрой включало в себя длинную серию статей общим объемом около 500 страниц. Его более поздняя работа по теореме Планшереля для полупростых групп добавила к ним еще 150 страниц.
• 1968 г. - доказательство Новикова - Адяна, решающее отрицательно проблему Бернсайда о конечно порожденных бесконечных группах с конечными показателями. Объем оригинала, состоящего из трех частей, превышает 300 страниц. (Позже Бриттон опубликовал 282-страничную статью, в которой попытался решить эту проблему, но в его статье был серьезный пробел.)
• 1960-1970 Fondements де ла Geometrie Algébrique , ЭЛЕМЕНТОВ геометрического подхода algébrique и семинария algébrique геометрического подхода . Работа Гротендика по основам алгебраической геометрии занимает многие тысячи страниц. Хотя это не доказательство отдельной теоремы, в нем есть несколько теорем, доказательства которых основаны на сотнях предыдущих страниц.
• Теорема о N-группах 1974 г. В классификации N-групп Томпсона использовалось 6 статей общим объемом около 400 страниц, но также использовались более ранние его результаты, такие как теорема о нечетном порядке , общая длина которых составляет более 700 страниц.
• 1974 Ramanujan гипотеза и гипотезы Вейля . В то время как последняя статья Делиня, доказывающая эти гипотезы, занимала «всего» около 30 страниц, она зависела от исходных результатов в алгебраической геометрии и этальных когомологиях, которые, по оценке Делиня, составили около 2000 страниц.
• 1974 Теорема о четырех цветах . Доказательство этого Аппеля и Хакена заняло 139 страниц и также зависело от долгих компьютерных вычислений.
• 1974 Теорема Горенштейна – Харада, классифицирующая конечные группы секционного 2-ранга не более 4, занимает 464 страницы.
• Серия Эйзенштейна 1976 г. Доказательство Ленглендса функционального уравнения для ряда Эйзенштейна заняло 337 страниц.
• Теорема о трихотомии 1983 г. Доказательство Горенштейна и Лайонса для случая ранга не ниже 4 составляло 731 страницу, а доказательство Ашбахера для случая ранга 3 добавляет еще 159 страниц, в общей сложности 890 страниц.
• 1983 Формула следа Сельберга Доказательство Хейхалом общей формы формулы следа Сельберга состояло из двух томов общей длиной 1322 страницы.
• Формула следа Артура – ​​Сельберга . Доказательства Артуром различных версий этой книги занимают несколько сотен страниц, разбросанных по многим статьям.
• 2000 Теорема Альмгрена о регулярности Доказательство Альмгрена занимало 955 страниц.
• 2000 Теорема Лафорга о гипотезе Ленглендса для полной линейной группы над функциональными полями. Доказательство этого Лорана Лаффорга занимало около 600 страниц, не считая множества страниц с результатами исследования.
• 2003 гипотезу Пуанкаре , теорема Геометризация , гипотезы геометризации . Первоначальные доказательства Перельманом гипотезы Пуанкаре и гипотезы о геометризации были небольшими, но довольно схематичными. Несколько других математиков опубликовали доказательства с заполненными деталями, которые занимают несколько сотен страниц.
• 2004 г. Квазитиновые группы Классификация простых квазитиновых групп Ашбахером и Смитом занимала 1221 страницу, это одна из самых длинных отдельных статей, когда-либо написанных.
• 2004 Классификация конечных простых групп . Доказательства этого разбросаны по сотням журнальных статей, что затрудняет оценку их общей длины, которая, вероятно, составляет от 10 000 до 20 000 страниц.
• 2004 Теорема Робертсона – Сеймура . Доказательство занимает около 500 страниц на 20 листах.
• Гипотеза Кеплера 2005 г. Доказательство этого Хейлза включает несколько сотен страниц опубликованных аргументов вместе с несколькими гигабайтами компьютерных вычислений.
• 2006 сильная теорема идеальный график , по Мария Чудновского , Нил Робертсон , Пола Сеймура , и Робин Томас. 180 страниц в " Анналах математики" .

Длинные компьютерные вычисления [ править ]

Есть много математических теорем, проверенных долгими компьютерными вычислениями. Если бы они были записаны как доказательства, многие из них были бы намного длиннее, чем большинство приведенных выше доказательств. На самом деле нет четкого различия между компьютерными вычислениями и доказательствами, поскольку некоторые из приведенных выше доказательств, такие как теорема о четырех цветах и ​​гипотеза Кеплера, используют длинные компьютерные вычисления, а также множество страниц математических аргументов. Для компьютерных вычислений в этом разделе математические аргументы составляют всего несколько страниц, а объем объясняется длинными, но рутинными вычислениями. Вот некоторые типичные примеры таких теорем:

• В нескольких доказательствах существования спорадических простых групп , таких как группа Лайона , первоначально использовались компьютерные вычисления с большими матрицами или с перестановками миллиардов символов. В большинстве случаев, таких как группа маленьких монстров , компьютерные доказательства были позже заменены более короткими доказательствами, избегающими компьютерных вычислений. Точно так же вычисление максимальных подгрупп больших спорадических групп требует большого количества компьютерных вычислений.
• 2004 Проверка гипотезы Римана для первых 10 ¹³ нулей дзета-функции Римана .
• 2007 Проверка , что Шашки ничья.
• 2008 год. Доказательства того, что различные числа Мерсенна, состоящие примерно из десяти миллионов цифр, являются простыми.
• Вычисление большого количества цифр числа π.
• 2010 Показано, что кубик Рубика можно собрать за 20 ходов .
• 2012 Показано, что для судоку нужно как минимум 17 подсказок .
• Тернарная гипотеза Гольдбаха 2013 года : каждое нечетное число больше 5 может быть выражено как сумма трех простых чисел.
• 2014 Доказательство гипотезы о несоответствии Эрдеша для частного случая C = 2: каждая последовательность ± 1 длиной 1161 имеет несоответствие не менее 3, исходное доказательство, сгенерированное решателем SAT, имело размер 13 гигабайт, а затем было уменьшено до 850 мегабайт .
• 2016 Решение логической проблемы троек Пифагора потребовало создания 200 терабайт доказательства. ^[1]
• 2017 Марийн Хеул , соавтор решения булевой проблемы троек Пифагора, объявила о 2-петабайтном доказательстве того, что 5- е число Шура равно 161. ^[2]

Длинные доказательства в математической логике [ править ]

Курт Гёдель показал, как найти явные примеры утверждений в формальных системах, которые доказуемы в этой системе, но чье кратчайшее доказательство абсурдно длинно. Например, утверждение:

«Это утверждение не может быть доказано в арифметике Пеано с помощью символов, меньших, чем гуголплекс»

доказуемо в арифметике Пеано, но в кратчайшем доказательстве есть по крайней мере гуголплексный символ. У него есть краткое доказательство в более мощной системе: фактически, оно легко доказывается в арифметике Пеано вместе с утверждением, что арифметика Пеано непротиворечива (что не может быть доказано в арифметике Пеано с помощью теоремы Гёделя о неполноте ).

В этом аргументе арифметика Пеано может быть заменена любой более мощной согласованной системой, а гуголплекс может быть заменен любым числом, которое можно кратко описать в системе.

Харви Фридман нашел несколько явных естественных примеров этого явления, дав некоторые явные утверждения в арифметике Пеано и других формальных системах, кратчайшие доказательства которых смехотворно длинные ( Smoryński 1982 ). Например, заявление

"существует такое целое число n , что если существует последовательность корневых деревьев T ₁ , T ₂ , ..., T _n такая, что T _k имеет не более k +10 вершин, то некоторое дерево может быть гомеоморфно вложено в более поздний один"

доказуемо в арифметике Пеано, но кратчайшее доказательство имеет длину не менее A (1000), где A (0) = 1 и A ( n +1) = 2 ^{A ( n )} . Утверждение является частным случаем теоремы Крускала и имеет краткое доказательство в арифметике второго порядка .

См. Также [ править ]

• Список неполных доказательств
• Доказательство запугиванием

Ссылки [ править ]

• Кранц, Стивен Г. (2011), Доказательство в пудинге. Изменяющаяся природа математического доказательства (PDF) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-0-387-48744-1 , ISBN 978-0-387-48908-7, MR  2789493
• Сморинский, К. (1982), "Разновидности древесного опыта", Матем. Интеллидженсер , 4 (4): 182-189, DOI : 10.1007 / bf03023553 , МР  0685558