Список релятивистских уравнений

Ниже приводится список часто встречающихся уравнений специальной теории относительности .

Постулаты специальной теории относительности [ править ]

Чтобы вывести уравнения специальной теории относительности, нужно начать с двух постулатов:

1. Законы физики инвариантны относительно преобразований между инерциальными системами отсчета. Другими словами, законы физики будут одинаковыми, независимо от того, проверяете ли вы их в кадре «в состоянии покоя» или в кадре, движущемся с постоянной скоростью относительно системы «покоя».
2. Скорость света в идеальном классическом вакууме ( ), по измерениям всех наблюдателей в инерциальных системах отсчета, одинакова и, кроме того, конечна, но отлична от нуля. Эта скорость действует как верхний предел скорости локальной передачи информации во Вселенной.${\ displaystyle c_ {0}}$

В этом контексте «скорость света» действительно относится к максимальной скорости передачи информации или движения обычной материи (неотрицательной массы) локально, как в классическом вакууме. Таким образом, более точное описание относится скорее к скорости света как таковой. Однако легкие и другие безмассовые частицы теоретически действительно перемещаются в условиях вакуума, и эксперимент не опровергает это представление с довольно высокой точностью. Независимо от того, движется ли сам свет , он действует как супремум, и это предположение имеет значение для теории относительности.${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {0}}$

Из этих двух постулатов следует вся специальная теория относительности.

В последующем, относительная скорость v между двумя инерциальными полностью ограничено х -направлением, из декартовой системы координат .

Кинематика [ править ]

Преобразование Лоренца [ править ]

В специальной теории относительности очень часто используются следующие обозначения:

Фактор Лоренца

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}$

где β = и v - относительная скорость между двумя инерциальными системами отсчета .${\ displaystyle {\ frac {v} {c}}}$

Для двух неподвижных систем отсчета γ = 1 и увеличивается с относительной скоростью между двумя инерциальными системами отсчета. Когда относительная скорость приближается к скорости света, γ → ∞.

Замедление времени (разные времена t и t ' в одной и той же позиции x в одной и той же инерциальной системе отсчета)

${\ displaystyle t '= \ gamma t}$

Вывод замедления времени

Применяя вышеприведенные постулаты, рассмотрим внутреннюю часть любого транспортного средства (обычно представленного поездом), движущегося со скоростью v относительно человека, стоящего на земле при проезде транспортного средства. Внутри свет направлен вверх, в зеркало на потолке, где свет отражается обратно вниз. Если высота зеркала h , а скорость света c , то время, за которое свет поднимается и опускается, равно: ${\ displaystyle t = {\ frac {2h} {c}}}$ Однако для наблюдателя на местах ситуация совсем иная. Поскольку поезд движется наблюдателем по земле, кажется, что луч света движется по диагонали, а не прямо вверх и вниз. Чтобы визуализировать это, представьте, что свет излучается в одной точке, затем автомобиль движется, пока свет не попадет в зеркало в верхней части транспортного средства, а затем поезд движется еще дальше, пока световой луч не вернется в нижнюю часть транспортного средства. . Световой луч будет двигаться по диагонали вверх вместе с поездом, а затем по диагонали вниз. Этот путь поможет сформировать двухсторонние треугольники с высотой в качестве одной из сторон, а две прямые части пути являются соответствующими гипотенусами: ${\ displaystyle c ^ {2} \ left ({\ frac {t '} {2}} \ right) ^ {2} = h ^ {2} + v ^ {2} \ left ({\ frac {t' } {2}} \ right) ^ {2}}$ Переставляем, чтобы получить :${\ displaystyle t '}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {t '} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {h ^ {2}} {c ^ {2} -v ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {t '} {2}} = {\ frac {h} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}$ ${\displaystyle t'={\frac {2h}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}$ Вычитая множитель c , а затем подставляя t , мы находим: ${\displaystyle t'={\frac {2h}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ Это формула замедления времени: ${\displaystyle t'=\gamma t}$

В этом примере время t , измеренное в кадре на транспортном средстве , известно как собственное время . Собственное время между двумя событиями - например, событием, излучаемым на транспортном средстве, и событием, получаемым светом на транспортном средстве, - это время между двумя событиями в кадре, где события происходят в одном месте. Итак, выше, излучение и прием света происходили в кадре транспортного средства, делая время, которое наблюдатель в кадре транспортного средства мог бы измерить надлежащим временем.

Сокращение длины (разные положения x и x ' в один и тот же момент t в одной и той же инерциальной системе отсчета)

${\displaystyle \ell '={\frac {\ell }{\gamma }}}$

Вывод сокращения длины

Рассмотрим длинный поезд, движущийся со скоростью v по отношению к земле, и одного наблюдателя в поезде и одного на земле, стоящих рядом со столбом. Наблюдатель в поезде видит, как передняя часть поезда проходит мимо столба, а затем, спустя некоторое время t ′ , видит, что конец поезда проходит через тот же столб. Затем он рассчитывает длину поезда следующим образом: ${\displaystyle \ell =vt'\,}$ Однако наблюдатель на земле, производя такое же измерение, приходит к другому выводу. Этот наблюдатель обнаруживает, что время t прошло между передней частью поезда, проходящей мимо столба, и задней частью поезда, проходящей мимо столба. Поскольку два события - прохождение каждого конца поезда мимо столба - произошли в одном и том же месте в кадре наземного наблюдателя, время, измеренное этим наблюдателем, является правильным временем. Так: ${\displaystyle \ell '=vt=v\left({\frac {t'}{\gamma }}\right)={\frac {\ell }{\gamma }}}$

Это формула сокращения длины. Как существовало подходящее время для замедления времени, существует правильную длину для сокращения длины, которая в данном случае является ℓ . Правильная длина объекта - это длина объекта в кадре, в котором объект находится в состоянии покоя. Кроме того, это сжатие влияет только на размеры объекта, которые параллельны относительной скорости между объектом и наблюдателем. Таким образом, длины, перпендикулярные направлению движения, не подвержены сокращению длины.

Преобразование Лоренца

${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}$

${\displaystyle y'=y\,}$

${\displaystyle z'=z\,}$

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}$

Вывод преобразования Лоренца с использованием замедления времени и сокращения длины

Теперь подставив результат сокращения длины в преобразование Галилея (т.е. x = ℓ ), мы имеем: ${\displaystyle {\frac {x'}{\gamma }}=x-vt}$ то есть: ${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}$ и переход от загрунтованного фрейма к незагравированному фрейму: ${\displaystyle x=\gamma \left(x'+vt'\right)}$ Переход от кадра со штрихом к кадру без штриха осуществлялся путем отрицательного значения v в первом уравнении, а затем замены переменных со штрихом на переменные без штриха, и наоборот. Кроме того, поскольку сокращение длины не влияет на перпендикулярные размеры объекта, следующие параметры остаются такими же, как в преобразовании Галилея: ${\displaystyle y'=y\,}$ ${\displaystyle z'=z\,}$ Наконец, чтобы определить, как преобразуются t и t ′ , подставив преобразование x ↔ x ′ в его обратное: ${\displaystyle x=\gamma \left(\gamma \left(x-vt\right)+vt'\right)}$ ${\displaystyle x=\gamma \left(\gamma x-\gamma vt+vt'\right)}$ ${\displaystyle x=\gamma ^{2}x-\gamma ^{2}vt+\gamma vt'\,}$ ${\displaystyle \gamma vt'=\gamma ^{2}vt-\gamma ^{2}x+x\,}$ ${\displaystyle \gamma vt'=\gamma ^{2}vt+x\left(1-\gamma ^{2}\right)}$ Подставляя значение для γ: ${\displaystyle \gamma vt'=\gamma ^{2}vt+x\left(1-{\frac {1}{1-\beta ^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \gamma vt'=\gamma ^{2}vt+x\left({\frac {1-\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}-{\frac {1}{1-\beta ^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \gamma vt'=\gamma ^{2}vt-x\left({\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \gamma vt'=\gamma ^{2}vt-\gamma ^{2}\beta ^{2}x\,}$ Наконец, разделив на γ v : ${\displaystyle t'=\gamma \left(t-\beta {\frac {x}{c}}\right)}$ Или чаще: ${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}$ И снова можно получить обратное, изменив знак v и заменив переменные без штриха на их переменные со штрихом, и наоборот. Эти преобразования вместе составляют преобразование Лоренца: ${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}$ ${\displaystyle y'=y\,}$ ${\displaystyle z'=z\,}$ ${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}$

Сложение скорости

${\displaystyle V'_{x}={\frac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle V'_{y}={\frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$

${\displaystyle V'_{z}={\frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$

Вывод сложения скорости

Преобразования Лоренца также применимы к дифференциалам , поэтому: ${\displaystyle dx'=\gamma \left(dx-vdt\right)}$ ${\displaystyle dy'=dy\,}$ ${\displaystyle dz'=dz\,}$ ${\displaystyle dt'=\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)}$ Скорость равна dx / dt , поэтому ${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma \left(dx-vdt\right)}{\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)}}}$ ${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx-vdt}{dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}-v}{1-{\frac {dx}{dt}}{\frac {v}{c^{2}}}}}}$ Теперь подставляем: ${\displaystyle V_{x}={\frac {dx}{dt}}\,\quad V'_{x}={\frac {dx'}{dt'}}}$ дает сложение скорости (на самом деле ниже - вычитание, сложение просто меняет знаки V x , V y и V z вокруг): ${\displaystyle V'_{x}={\frac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}}$ ${\displaystyle V'_{y}={\frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$ ${\displaystyle V'_{z}={\frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$ Кроме того, это влияет на скорости в направлениях, перпендикулярных смене кадра, как показано выше. Это происходит из-за замедления времени, заключенного в преобразовании dt / dt ' . Уравнения V ' y и V' z были получены путем деления соответствующего пространственного дифференциала (например, dy ' или dz' ) на временной дифференциал.

Метрика и четыре вектора [ править ]

В дальнейшем полужирный шрифт без засечек используется для 4-векторов, а обычный полужирный шрифт - для обычных 3-векторов.

Внутренний продукт (т.е. понятие длины )

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {b}}}=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})}$

где известен как метрический тензор . В специальной теории относительности метрический тензор - это метрика Минковского :${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Пространственно-временной интервал

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}={\begin{pmatrix}cdt&dx&dy&dz\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}cdt\\dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}}$

Выше ds ² известен как пространственно-временной интервал. Этот внутренний продукт инвариантен относительно преобразования Лоренца, т. Е.

${\displaystyle \eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}}',{\boldsymbol {\mathsf {b}}}')=\eta \left(\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}},\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {b}}}\right)=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})}$

Знак метрики и размещение терминов ct , ct ' , cdt и cdt ′, зависящих от времени, могут варьироваться в зависимости от выбора автора. Например, часто временные члены помещаются первыми в четырехвекторах, а затем пространственные термины. Кроме того, иногда η заменяется на - η , в результате чего пространственные члены дают отрицательный вклад в скалярное произведение или пространственно-временной интервал, в то время как временной член дает положительный вклад. Эти различия могут использоваться в любой комбинации при условии, что выбор стандартов полностью соблюдается на протяжении всех выполняемых вычислений.

Преобразования Лоренца [ править ]

Вышеупомянутое преобразование координат можно выразить через матрицу. Для упрощения лучше всего заменить t , t ′ , dt и dt ′ на ct , ct ' , cdt и cdt ′ , которые имеют размерность distance. Так:

${\displaystyle x'=\gamma x-\gamma \beta ct\,}$

${\displaystyle y'=y\,}$

${\displaystyle z'=z\,}$

${\displaystyle ct'=\gamma ct-\gamma \beta x\,}$

затем в матричной форме:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

Векторы в приведенном выше уравнении преобразования известны как четырехвекторы, в данном случае это, в частности, четырехвекторы положения. В общем, в специальной теории относительности четырехвекторы можно преобразовать из одной системы отсчета в другую следующим образом:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'=\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}}}$

В приведенном выше примере и - четырехвекторный и преобразованный четырехвекторный соответственно, а Λ - матрица преобразования, которая для данного преобразования одинакова для всех четырехвекторов, которые можно преобразовать. Таким образом, это может быть четырехмерный вектор, представляющий положение, скорость или импульс, и тот же Λ может использоваться при преобразовании между одними и теми же двумя кадрами. Наиболее общее преобразование Лоренца включает ускорения и повороты; компоненты сложны, и преобразование требует спиноров .${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'}$

4-векторы и инвариантные результаты [ править ]

Инвариантность и унификация физических величин возникают из четырех векторов . ^[1] Внутреннее произведение 4-вектора на себя равно скаляру (по определению внутреннего произведения), и, поскольку 4-векторы являются физическими величинами, их величины также соответствуют физическим величинам.

Свойство / эффект	3-вектор	4-вектор	Инвариантный результат
Пространственно-временные события	3 позиции: r = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \equiv r^{2}\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,\!}$	4 позиции: X = ( ct , x 1 , x 2 , x 3 )	${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {X}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {X}}}=\left(c\tau \right)^{2}\,\!}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(ct\right)^{2}-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\\&=\left(ct\right)^{2}-r^{2}\\&=-\chi ^{2}=\left(c\tau \right)^{2}\end{aligned}}\,\!}$ τ = собственное время χ = собственное расстояние
Импульсно-энергетическая инвариантность	${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u} \,\!}$ 3-импульс: p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} \equiv p^{2}\equiv p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\,\!}$	4-импульс: P = ( E / c , p 1 , p 2 , p 3 ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {P}}}=m{\boldsymbol {\mathsf {U}}}\,\!}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {P}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {P}}}=\left(mc\right)^{2}\,\!}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)\\&=\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-p^{2}\\&=\left(mc\right)^{2}\end{aligned}}\,\!}$ что приводит к: ${\displaystyle E^{2}=\left(pc\right)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2}\,\!}$ E = полная энергия m = инвариантная масса
Скорость	3-скорость: u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$	4-скорость: U = ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {U}}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathsf {X}}}}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {U}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {U}}}=c^{2}\,\!}$
Ускорение	3-ускорение: a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$	4-ускорение: A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {A}}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathsf {U}}}}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma \left(c{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} +\gamma \mathbf {a} \right)}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {A}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {U}}}=0\,\!}$
Сила	3-сила: f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) ${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$	4 силы: F = ( F 0 , F 1 , F 2 , F 3 ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {F}}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathsf {P}}}}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma m\left(c{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} +\gamma \mathbf {a} \right)}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {F}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {U}}}=0\,\!}$

Доплеровский сдвиг [ править ]

Общий доплеровский сдвиг:

${\displaystyle \nu '=\gamma \nu \left(1-\beta \cos \theta \right)}$

Доплеровский сдвиг для излучателя и наблюдателя, движущихся навстречу друг другу (или прямо в сторону):

${\displaystyle \nu '=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}$

Доплеровский сдвиг для излучателя и наблюдателя, движущихся в направлении, перпендикулярном линии, соединяющей их:

${\displaystyle \nu '=\gamma \nu }$

Вывод релятивистского доплеровского сдвига.

Если объект испускает луч света или излучения, частота, длина волны и энергия этого света или излучения будут отличаться для движущегося наблюдателя от покоящегося относительно излучателя. Если предположить, что наблюдатель движется относительно излучателя вдоль оси x, то стандартное преобразование Лоренца четырех импульсов, которое включает энергию, принимает следующий вид: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {E'}{c}}\\p'_{x}\\p'_{y}\\p'_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\frac {E'}{c}}=\gamma {\frac {E}{c}}-\gamma \beta p_{x}}$ Сейчас если ${\displaystyle p_{x}=\|p\|\cos \theta }$ где θ - угол между p x и , и подставляем формулы для отношения частоты к импульсу и энергии:${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\frac {h\nu '}{c}}=\gamma {\frac {h\nu }{c}}-\gamma \beta \left\Vert p\right\|\cos \theta =\gamma {\frac {h\nu }{c}}-\gamma \beta {\frac {h\nu }{c}}\cos \theta }$ ${\displaystyle \nu '=\gamma \nu -\gamma \beta \nu \cos \theta =\gamma \nu \left(1-\beta \cos \theta \right)}$ Это формула для релятивистского доплеровского сдвига, где разница в скорости между излучателем и наблюдателем не находится на оси абсцисс. Есть два частных случая этого уравнения. Первый - это случай, когда скорость между излучателем и наблюдателем идет вдоль оси x. В этом случае θ = 0 и cos θ = 1, что дает: ${\displaystyle {\begin{aligned}\nu '&=\gamma \nu \left(1-\beta \right)\\&=\nu {\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\left(1-\beta \right)\\&=\nu {\frac {1}{\sqrt {\left(1-\beta \right)\left(1+\beta \right)}}}\left(1-\beta \right)\\&=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\end{aligned}}}$ Это уравнение для доплеровского сдвига в случае, когда скорость между излучателем и наблюдателем идет вдоль оси x. Второй частный случай - это когда относительная скорость перпендикулярна оси x, и, следовательно, θ = π / 2, а cos θ = 0, что дает: ${\displaystyle \nu '=\gamma \nu }$ На самом деле это полностью аналогично замедлению времени, поскольку частота обратно пропорциональна времени. Итак, доплеровский сдвиг для излучателей и наблюдателей, движущихся перпендикулярно линии, соединяющей их, полностью обусловлен эффектами замедления времени.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Энциклопедия физики (2-е издание) , RG Lerner, GL Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Динамика и относительность , JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8 
• Демистифицированная теория относительности , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145545-0 
• Кембриджский справочник по физическим формулам , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Введение в механику , Д. Клеппнер, Р. Дж. Коленков, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9