Список транзитивных конечных линейных групп
В математике , особенно в областях абстрактной алгебры и конечной геометрии , список транзитивных конечных линейных групп является важной классификацией некоторых высокосимметричных действий конечных групп в векторных пространствах .
Разрешимые конечные 2 - транзитивные группы были классифицированы Бертрамом Хуппертом . [1] Классификация конечных простых групп сделала возможной полную классификацию конечных дважды транзитивных групп подстановок . Это результат Кристофа Геринга . [2] Конечная 2-транзитивная группа имеет цоколь , который является либо векторным пространством над конечным полем , либо неабелевой примитивной простой группой .; группы последнего типа являются почти простыми группами и описаны в другом месте. В этой статье приводится полный список конечных 2-транзитивных групп, цоколь которых элементарно абелев .
Пусть — простое число и подгруппа общей линейной группы, действующая транзитивно на ненулевых векторах d -мерного векторного пространства над конечным полем с p элементами.
Заметим, что исключительная группа лиева типа G2 ( q ) обычно строится как группы автоморфизмов расщепляемых октонионов . Следовательно, она имеет естественное представление как подгруппа 7-мерной ортогональной группы O(7, q ). Если q четно, то основная квадратичная форма поляризуется к вырожденной симплектической форме . Вынося за скобки радикал, мы получаем изоморфизм между O(7, q ) и симплектической группой Sp(6, q ). Подгруппа Sp(6, q), что соответствует G 2 ( q )′, транзитивно.
В самом деле, при q > 2 группа G 2 ( q ) = G 2 ( q )′ проста. Если q = 2, то G 2 (2)′ ≅ PSU(3,3) простая с индексом 2 в G 2 (2).
Эти группы обычно классифицируют по какой-нибудь типичной нормальной подгруппе , эту нормальную подгруппу обозначают G 0 и записывают в третьем столбце таблицы. Обозначение 2 1+4 − обозначает экстраспециальную группу минус-типа порядка 32 (т.е. экстраспециальную группу порядка 32 с нечетным числом (а именно единицей) кватернионного множителя).