Список равномерных многогранников по фигуре вершины

Учебный класс	Количество и свойства
Многогранник
Платоновы тела	( 5 , выпуклый, правильный)
Архимедовы тела	( 13 , выпуклый, равномерный)
Многогранники Кеплера – Пуансо	( 4 , правильный, невыпуклый)
Равномерные многогранники	( 75 , униформа)
Призматоидные : призмы , антипризмы и т. Д.	( 4 бесконечных равномерных класса)
Многогранники мозаики	( 11 обычных , в самолете)
Квазиправильные многогранники	( 8 )
Твердые тела Джонсона	( 92 , выпуклая, неравномерная)
Пирамиды и бипирамиды	( бесконечно )
Звёздчатые	Звёздчатые
Полиэдрические соединения	( 5 обычных )
Дельтаэдра	( Дельтаэдры , грани равностороннего треугольника)
Курносые многогранники	( 12 единообразных , а не зеркальных)
Зоноэдр	( Зоноэдры , грани имеют симметрию 180 °)
Двойной многогранник
Самодвойственный многогранник	( бесконечно )
Каталонский твердый	( 13 , архимедово двойственное)

Между однородными многогранниками существует множество соотношений . ^[1]^[2]^[3] Некоторые из них получаются обрезанием вершин правильного или квазирегулярного многогранника. Другие имеют те же вершины и ребра, что и другие многогранники. Приведенная ниже группировка демонстрирует некоторые из этих отношений.

Вершинная фигура многогранника [ править ]

Отношения могут быть выявлены, исследуя фигуры вершин, полученные путем перечисления граней, смежных с каждой вершиной (помните, что для равномерных многогранников все вершины одинаковы, то есть транзитивны по вершинам ). Например, куб имеет вершину, изображенную на фигуре 4.4.4, то есть три смежные квадратные грани. Возможные лица

3 - равносторонний треугольник
4 - квадрат
5 - правильный пятиугольник
6 - правильный шестиугольник
8 - правильный восьмиугольник
10 - правильный десятиугольник
5/2 - пентаграмма
8/3 - октаграмма
10/3 - декаграмма

Некоторые лица будут отображаться с обратной ориентацией, которая здесь написана как

-3 - треугольник с обратной ориентацией (часто пишется как 3/2)

Другие проходят через начало координат, которое мы пишем как

6 * - шестиугольник, проходящий через начало координат

Символ Wythoff связывает многогранник со сферическими треугольниками . Символы Wythoff записываются p | qr, pq | r, pqr | где сферический треугольник имеет углы π / p, π / q, π / r, черта указывает положение вершин по отношению к треугольнику.

Примеры фигур вершин

Джонсон (2000) классифицировал однородные многогранники следующим образом:

Регулярные (правильные многоугольные вершинные фигуры): p ^q , символ Уайтхоффа q | p 2
Квазирегулярные (прямоугольные или дитригональные вершинные фигуры): pqpq 2 | pq, или pqpqpq, символ Wythoff 3 | pq
Верси-регулярные (ортодиагональные вершинные фигуры), pq * .- pq *, символ Wythoff qq | p
Усеченный правильный (равнобедренные треугольные вершины): ppq, символ Витоффа q 2 | p
Версиквазирегулярные (диптероидальные вершинные фигуры), pqpr символ Wythoff qr | p
Квазиквазирегулярные (трапециевидные вершинные фигуры): p * .qp * .- r qr | p или pq * .- pq * pqr |
Усеченный квазирегулярный (разносторонние треугольные вершины), pqr символ Wythoff pqr |
Курносый квазирегулярный (пятиугольные, шестиугольные или восьмиугольные вершинные фигуры), символ Уайтхоффа pqr |
Призмы (усеченные осоэдры),
Антипризмы и скрещенные антипризмы (курносые диэдры)

Формат каждой фигуры соответствует одному и тому же основному шаблону.

изображение многогранника
имя многогранника
альтернативные имена (в скобках)
Символ Wythoff
Системы нумерации: W - число, используемое Веннингером в моделях многогранников , U - равномерное индексирование, K - индексирование Калейдо, C - нумерация, используемая в Coxeter et al. «Равномерные многогранники».
Количество вершин V, ребер E, граней F и количество граней по типу.
Эйлерова характеристика χ = V - E + F

Фигуры вершин находятся слева, за ними следуют группы точек в трех измерениях # Семь оставшихся групп точек , тетраэдрические T _d , октаэдрические O _h или икосаэдрические I _h .

Усеченные формы [ править ]

Правильные многогранники и их усеченные формы [ править ]

В столбце A перечислены все правильные многогранники, в столбце B перечислены их усеченные формы. Все правильные многогранники имеют фигуры вершин p ^r : ppp и т. Д. И символ Уайтхоффа p | q r. У усеченных форм фигура вершины qqr (где q = 2p и r) и Wythoff pq | r.

фигура вершины	группа	A: обычный: ppp	B: усеченный обычный: ppr
3.3.3 3.6.6	Т _д	Тетраэдр 3 \| 2 3 W1, U01, K06, C15 V 4, E 6, F 4 = 4 {3} χ = 2	Усеченный тетраэдр 2 3 \| 3 W6, U02, K07, C16 V 12, E 18, F 8 = 4 {3} +4 {6} χ = 2
3.3.3.3 4.6.6	О _ч	Октаэдр 4 \| 2 3, 3 ⁴ W2, U05, K10, C17 V 6, E 12, F 8 = 8 {3} χ = 2	Усеченный октаэдр 2 4 \| 3 W7, U08, K13, C20 V 24, E 36, F 14 = 6 {4} +8 {6} χ = 2
4.4.4 3.8.8	О _ч	Шестигранник (Куб) 3 \| 2 4 W3, U06, K11, C18 V 8, E 12, F 6 = 6 {4} χ = 2	Усеченный шестигранник 2 3 \| 4 W8, U09, K14, C21 V 24, E 36, F 14 = 8 {3} +6 {8} χ = 2
3.3.3.3.3 5.6.6	Я _ч	Икосаэдр 5 \| 2 3 W4, U22, K27, C25 V 12, E 30, F 20 = 20 {3} χ = 2	Усеченный икосаэдр 2 5 \| 3 W9, U25, K30, C27 E 60, V 90, F 32 = 12 {5} +20 {6} χ = 2
5.5.5 3.10.10	Я _ч	Додекаэдр 3 \| 2 5 W5, U23, K28, C26 V 20, E 30, F 12 = 12 {5} χ = 2	Усеченный додекаэдр 2 3 \| 5 W10, U26, K31, C29 V 60, E 90, F 32 = 20 {3} +12 {10} χ = 2
5.5.5.5.5 5 / 2.10.10	Я _ч	Большой додекаэдр ⁵ / ₂ \| 2 5 W21, U35, К40, С44 В 12, Е 30, F 12 = 12 {5} χ = -6	Усеченный большой додекаэдр 2 ⁵ / ₂ \| 5 W75, U37, К42, С47 В 60, Е 90, F 24 = 12 { ⁵ / ₂ } + 12 {10} χ = -6
3.3.3.3.3 5 / 2.6.6.	Я _ч	Большой икосаэдр (16 - плеяде'ученых из икосаэдра) ⁵ / ₂ \| 2 3 W41, U53, K58, С69 В 12, Е 30, F 20 = 20 {3} χ = 2	Большой усеченный икосаэдр 2 ⁵ / ₂ \| 3 W95, U55, К60, С71 В 60, Е 90, F 32 = 12 { ⁵ / ₂ } + 20 {6} χ = 2
5 / 2,5 / 2,5 / 2,5 / 2,5 / 2	Я _ч	Малый звездообразный додекаэдр 5 \| 2 ⁵ / ₂ W20, U34, K39, С43 В 12, Е 30, F 12 = 12 { ⁵ / ₂ } χ = -6
5 / 2,5 / 2,5 / 2	Я _ч	Большой звездообразный додекаэдр 3 \| 2 ⁵ / ₂ W22, U52, K57, C68 V 20, Е 30, F 12 = 12 { ⁵ / ₂ } χ = 2

Кроме того, есть три квазиусеченные формы. Они также относятся к усеченно-правильным многогранникам.

фигуры вершин	Группа O _h	Группа I _h	Группа I _h
3.8 / 3.8 / 3 5.10 / 3.10 / 3 3.10 / 3.10 / 3	Звездчато-усеченный шестигранник (Квазиусеченный шестигранник) (звездно-усеченный куб) 2 3 \| ⁴ / ₃ W92, U19, К24, С66 В 24, Е 36, F 14 = 8 {3} {+6 , ⁸ / ₃ } χ = 2	Малый звездчато-усеченный додекаэдр (Квазиусеченный малый звездчатый додекаэдр) (Малый звездчато-усеченный додекаэдр) 2 5 \| ⁵ / ₃ W97, U58, K63 В 60, Е 90, F 24 = 12 {5} {+12 ¹⁰ / ₃ } χ = -6	Большой звездчато-усеченный додекаэдр (Квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр) (Большой звездно-усеченный додекаэдр) 2 3 \| ⁵ / ₃ W104, U66, K71, C83 В 60, Е 90, F 32 = 20 {3} {+12 ¹⁰ / ₃ } χ = 2

Усеченные формы квазиправильных многогранников [ править ]

В столбце A перечислены некоторые квазирегулярные многогранники, в столбце B перечислены нормальные усеченные формы, в столбце C показаны квазиусеченные формы, в столбце D показан другой метод усечения. Все эти усеченные формы имеют вершину pqr и символ Wythoff pqr |.

фигура вершины	группа	A: квазирегулярный: pqpq	B: усеченный квазирегулярный: pqr	C: усеченный квазирегулярный: pqr	D: усеченный квазирегулярный: pqr
3.4.3.4 4.6.8 4.6.8 / 3 8.6.8 / 3	О _ч	Кубооктаэдр 2 \| 3 4 W11, U07, K12, C19 V 12, E 24, F 14 = 8 {3} +6 {4} χ = 2	Усеченный кубооктаэдр (Большой ромбокубооктаэдр ) 2 3 4 \| W15, U11, K16, C23 V 48, E 72, F 26 = 12 {4} +8 {6} +6 {8} χ = 2	Большой усеченный кубооктаэдр (Quasitruncated кубооктаэдр) 2 3 ⁴ / ₃ \| W93, У20, К25, С67 В 48, Е 72, F 26 = 12 {4} +8 {6} {+6 , ⁸ / ₃ } χ = 2	Cubitruncated кубооктаэдр (Cuboctatruncated кубооктаэдр) 3 4 ⁴ / ₃ \| W79, U16, К21, С52 В 48, Е 72, F 20 = 8 {6} +6 , {8} {+6 , ⁸ / ₃ } χ = -4
3.5.3.5 4.6.10 4.6.10 / 3 10.6.10 / 3	Я _ч	Икосододекаэдр 2 \| 3 5 W12, U24, K29, C28 V 30, E 60, F 32 = 20 {3} +12 {5} χ = 2	Усеченный икосододекаэдр (Большой ромбоикосододекаэдр) 2 3 5 \| W16, U28, K33, C31 V 120, E 180, F 62 = 30 {4} +20 {6} +12 {10} χ = 2	Большой усеченного икосододекаэдр (Great quasitruncated икосододекаэдра) 2 3 ⁺⁵ / ₃ \| W108, U68, K73, C87 V 120, Е 180, Р 62 = 30 {4} {6 + 20 + 12} { ¹⁰ / ₃ } χ = 2	Icositruncated dodecadodecahedron (Icosidodecatruncated икосододекаэдр) 3 5 ⁵ / ₃ \| W84, U45, К50, С57 V 120, Е 180, Р 44 = 20 {6} + 12 {10} {+12 ¹⁰ / ₃ } χ = -16
5 / 2.5.5 / 2.5 4.10.10 / 3	Я _ч	Додекадодекаэдр 2 5 \| ⁵ / ₂ W73, U36, К41, С45 В 30, Е 60, F 24 = 12 {5} {+12 ⁵ / ₂ } χ = -6		Усеченный dodecadodecahedron (Quasitruncated додекаэдр) 2 5 ⁵ / ₃ \| W98, U59, К64, С75 V 120, Е 180, Р 54 = 30 {4} + 12 {10} {+12 ¹⁰ / ₃ } χ = -6
3,5 / 2.3.5 / 2	Я _ч	Большой икосододекаэдр 2 3 \| ⁵ / ₂ W94, U54, K59, С70 В 30, Е 60, F 32 = 20 {3} {+12 ⁵ / ₂ } χ = 2

Многогранники с общими ребрами и вершинами [ править ]

Обычный [ править ]

Все они упоминаются в другом месте, но эта таблица показывает некоторые взаимосвязи. Все они правильные, за исключением тетрагемигексаэдра, который является версирегулярным.

фигура вершины	V	E	группа	обычный	обычный / универсальный
3.3.3.3 3,4 * .- 3,4 *	6	12	О _ч	Октаэдр 4 \| 2 3 W2, U05, K10, C17 F 8 = 8 {3} χ = 2	Тетрагемигексаэдр ³ / ₂ 3 \| 2 W67, U04, К09, С36 F 7 = 4 {3} +3 , {4} χ = 1
3.3.3.3.3 5.5.5.5.5	12	30	Я _ч	Икосаэдр 5 \| 2 3 W4, U22, K27 F 20 = 20 {3} χ = 2	Большой додекаэдр ⁵ / ₂ \| 2 5 W21, U35, К40, С44 F 12 = 12 {5} χ = -6
5 / 2,5 / 2,5 / 2,5 / 2,5 / 2 3.3.3.3.3	12	30	Я _ч	Малый звездообразный додекаэдр 5 \| 2 ⁵ / ₂ W20, U34, K39, C43 F 12 = 12 { ⁵ / ₂ } χ = -6	Большой икосаэдр (16 - плеяде'ученых из икосаэдра) ⁵ / ₂ \| 2 3 W41, U53, K58, С69 F 20 = 20 {3} χ = 2

Квази-регулярные и верси-регулярные [ править ]

Прямоугольные фигуры с вершинами или скрещенные прямоугольники в первом столбце являются квазирегулярными, второй и третий столбцы представляют собой полуэдры с гранями, проходящими через начало координат, которые некоторые авторы называют верси-регулярными .

фигура вершины	V	E	группа	квазирегулярный: pqpq	верси-обычный: пс * .- пс *	верси-обычный: qs * .- qs *
3.4.3.4 3.6 * .- 3.6 * 4.6 * .- 4.6 *	12	24	О _ч	Кубооктаэдр 2 \| 3 4 W11, U07, K12, C19 F 14 = 8 {3} +6 {4} χ = 2	Octahemioctahedron ³ / ₂ 3 \| 3 W68, U03, K08, С37 F 12 = 8 {3} +4 , {6} χ = 0	Cubohemioctahedron ⁴ / ₃ 4 \| 3 W78, U15, К20, С51 F 10 = 6 {4} +4 , {6} χ = -2
3.5.3.5 3.10 * .- 3.10 * 5.10 * .- 5.10 *	30	60	Я _ч	Икосододекаэдр 2 \| 3 5 W12, U24, K29, C28 F 32 = 20 {3} +12 {5} χ = 2	Малый icosihemidodecahedron ³ / ₂ 3 \| 5 W89, U49, К54, C63 , F 26 = 20 {3} +6 , {10} χ = -4	Малый dodecahemidodecahedron ⁵ / ₄ 5 \| 5 W91, u51, K56, 65 F 18 = 12 {5} +6 , {10} χ = -12
3,5 / 2.3.5 / 2 3,10 * .- 3,10 * 5 / 2,10 * .- 5 / 2,10 *	30	60	Я	Большой икосододекаэдр 2 \| ⁵ / ₂ 3 W94, U54, K59, C70 F 32 = 20 {3} {+12 ⁵ / ₂ } χ = 2	Большой икосигемидодекаэдр 3 3 \| ⁵ / ₃ W106, U71, K76, C85 F 26 = 20 {3} {+6 , ¹⁰ / ₃ } χ = -4	Большой dodecahemidodecahedron ⁺⁵ / ₊₃⁺⁵ / ₂ \| ⁵ / ₃ W107, U70, K75, C86 F 18 = 12 { ⁵ / ₂ } {+6 , ¹⁰ / ₃ } χ = -12
5,5 / 2,5,5 / 2 5,6 * .- 5,6 * 5 / 2,6 * .- 5 / 2,6 *	30	60	Я	Додекадодекаэдр 2 \| ⁵ / ₂ 5 W73, U36, К41, С45 F 24 = 12 {5} {+12 ⁵ / ₂ } χ = -6	Большой dodecahemicosahedron ⁵ / ₄ 5 \| 3 W102, U65, К70, С81 F 22 = 12 {5} +10 {6} χ = -8	Малый dodecahemicosahedron ⁵ / ₃⁵ / ₂ \| 3 W100, U62, K67, C78 F 22 = 12 { ⁵ / ₂ } + 10 {6} χ = -8

Дитригональный регулярный и верси-регулярный [ править ]

Дитригональные (то есть ди (2) -три (3) -огональные) вершинные фигуры являются 3-кратным аналогом прямоугольника. Все они квазирегулярны, так как все ребра изоморфны. Соединение 5-кубов имеет один и тот же набор ребер и вершин. Крестообразные формы имеют неориентируемую фигуру вершины, поэтому обозначение «-» не использовалось, а грани «*» проходят рядом, а не через начало координат.

фигура вершины	V	E	группа	дитригональный	перекрестно-дитригональный	перекрестно-дитригональный
5 / 2.3.5 / 2.3.5 / 2.3 5 / 2.5 * .5 / 2.5 * .5 / 2.5 * 3.5 * .3.5 * .3.5 *	20	60	Я	Малый дитригональный икосододекаэдр 3 \| ⁵ / ₂ 3 W70, U30, К35, С39 F 32 = 20 {3} {+12 ⁵ / ₂ } χ = -8	Дитригональный додекадодекаэдр 3 \| ⁵ / ₃ 5 W80, U41, К46, С53 F 24 = 12 {5} {+12 ⁵ / ₂ } χ = -16	Большой ditrigonal икосододекаэдр ³ / ₂ \| 3 5 W87, U47, К52, С61 F 32 = 20 {3} + 12 {5} χ = -8

версиквазирегулярный и квазиквазирегулярный [ править ]

Группа III: трапециевидные или скрещенные трапециевидные вершинные фигуры. Первый столбец включает выпуклые ромбические многогранники, созданные вставкой двух квадратов в фигуры вершин кубооктаэдра и икосододекаэдра.

фигура вершины	V	E	группа	трапеция: pqrq	скрещенная трапеция: ps * .- rs *	скрещенная трапеция: qs * .- qs *
3.4.4.4 3.8 * .- 4.8 * 4.8 * .- 4.8 *	24	48	О _ч	Малый ромбокубооктаэдр (ромбокубооктаэдр) 3 4 \| 2 W13, U10, K15, C22 F 26 = 8 {3} + (6 + 12) {4} χ = 2	Малый cubicuboctahedron ³ / ₂ 4 \| 4 W69, U13, К18, С38 F 20 = 8 {3} +6 , {4} +6 , {8} χ = -4	Малый rhombihexahedron 2 ³ / ₂ 4 \| W86, U18, K23, C60 F 18 = 12 {4} +6 {8} χ = -6
3.8 / 3.4.8 / 3 3.4 * .- 4.4 * 8 / 3.4 * .- 8 / 3.4 *	24	48	ой	Большой кубокубооктаэдр 3 4 \| ⁴ / ₃ W77, U14, К19, К50 F 20 = 8 {3} +6 , {4} {+6 , ⁸ / ₃ } χ = -4	Невыпуклые большая ромбокубооктаэдр (Quasirhombicuboctahedron) ³ / ₂ 4 \| 2 W85, U17, К22, C59 F 26 = 8 {3} + (6 + 12) {4} χ = 2	Большой rhombihexahedron 2 ⁴ / ₊₃⁺³ / ₂ \| W103, U21, К26, С82 F 18 = 12 {4} {+6 , ⁸ / ₃ } χ = -6
3.4.5.4 3.10 * .- 5.10 * 4.10 * .- 4.10 *	60	120	Я _ч	Малый ромбикосододекаэдр (ромбикосододекаэдр) 3 5 \| 2 W14, U27, K32, C30 F 62 = 20 {3} +30 {4} +12 {5} χ = 2	Малый dodecicosidodecahedron ³ / ₂ 5 \| 5 W72, U33, К38, С42 F 44 = 20 {3} + 12 {5} + 12 {10} χ = -16	Малый rhombidodecahedron 2 ⁵ / ₂ 5 \| W74, U39, K44, C46 F 42 = 30 {4} +12 {10} χ = -18
5 / 2.4.5.4 5 / 2.6 * .- 5.6 * 4.6 * .- 4.6 *	60	120	Я	Rhombidodecadodecahedron ⁵ / ₂ 5 \| 2 W76, U38, K43, С48 F 54 = 30 {4} +12 {5} {+12 ⁵ / ₂ } χ = -6	Icosidodecadodecahedron ⁵ / ₃ 5 \| 3 W83, U44, K49, C56 F 44 = 12 {5} {+12 ⁵ / ₂ } + 20 {6} χ = -16	Rhombicosahedron 2 3 ⁺⁵ / ₂ \| W96, U56, K61, C72 F 50 = 30 {4} +20 {6} χ = -10
3,10 / 3,5 / 2,10 / 3 3,4 * .- 5 / 2,4 * 10 / 3,4 * .- 10 / 3,4 *	60	120	Я	Большой dodecicosidodecahedron ⁺⁵ / ₂ 3 \| ⁵ / ₃ W99, U61, K66, C77 F 44 = 20 {3} {+12 ⁵ / ₂ } {+12 ¹⁰ / ₃ } χ = -16	Невыпуклые большая ромбоикосододекаэдр (Quasirhombicosidodecahedron) ⁵ / ₃ 3 \| 2 W105, U67, K72, C84 F 62 = 20 {3} : +30 {4} {+12 ⁵ / ₂ } χ = 2	Большой rhombidodecahedron 2 ⁺³ / ₂⁵ / ₊₃ \| W109, U73, К78, C89 F 42 = 30 {4} {+12 ¹⁰ / ₃ } χ = -18
3.6.5 / 2.6 3.10 * .- 5 / 2.10 * 6.10 * .- 6.10 *	60	120	Я	Малый icosicosidodecahedron ⁵ / ₂ 3 \| 3 W71, U31, K36, С40 F 52 = 20 {3} {+12 ⁵ / ₂ } + 20 {6} χ = -8	Малый ditrigonal dodecicosidodecahedron ⁵ / ₃ 3 \| 5 W82, U43, K48, C55 F 44 = 20 {3} {+12 ⁵ / ₂ } + 12 {10} χ = -16	Малый dodecicosahedron 3 ³ / ₂ 5 \| W90, U50, K55, C64 F 32 = 20 {6} +12 {10} χ = -28
3.10 / 3.5.10 / 3 3.6 * .- 5.6 * 10 / 3.6 * .- 10 / 3.6 *	60	120	Я	Большой дитригональный додецикосододекаэдр 3 5 \| ⁵ / ₃ W81, U42, K47, C54 F 44 = 20 {3} + 12 {5} {+12 ¹⁰ / ₃ } χ = -16	Большой icosicosidodecahedron ³ / ₂ 5 \| 3 W88, U48, К53, С62 F 52 = 20 {3} + 12 {5} +20 {6} χ = -8	Большой dodecicosahedron 3 ⁺⁵ / ₃⁺⁵ / ₂ \| W101, U63, К68, C79 F 32 = 20 {6} {+12 ¹⁰ / ₃ } χ = -28

Ссылки [ править ]

^ Кокстер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954), "Единые многогранники", Философские труды Королевского общества Лондона , 246 : 401-450 (6 плит), DOI : 10.1098 / rsta.1954.0003 , MR 0062446.
^ Сопов, СП (1970), «Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников», Украинский геометрический сборник (8): 139–156, MR 0326550 .
^ Скиллинг, J. (1975), "Полный набор равномерных многогранников", Философские труды Королевского общества Лондона , 278 : 111-135, DOI : 10.1098 / rsta.1975.0022 , MR 0365333 .

[1] Кокстер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954), "Единые многогранники", Философские труды Королевского общества Лондона , 246 : 401-450 (6 плит), DOI : 10.1098 / rsta.1954.0003 , MR 0062446.

[2] Сопов, СП (1970), «Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников», Украинский геометрический сборник (8): 139–156, MR 0326550 .

[3] Скиллинг, J. (1975), "Полный набор равномерных многогранников", Философские труды Королевского общества Лондона , 278 : 111-135, DOI : 10.1098 / rsta.1975.0022 , MR 0365333 .

[1]