Музыка и математика

Спектрограмма скрипичного сигнала с линейной частотой на вертикальной оси и время на горизонтальной оси. Яркие линии показывают, как спектральные составляющие меняются во времени. Окраска интенсивности логарифмическая (черный - -120 дБ полной шкалы).

Теория музыки не имеет аксиоматической основы в современной математике , хотя в последнее время в этом направлении были выполнены некоторые интересные работы (см. Внешние ссылки ), однако основы музыкального звука могут быть описаны математически (в акустике ) и демонстрируют «замечательный набор чисел. характеристики". ^[1] Элементы музыки , такие как его форма , ритм и метр , то Смолы ее нот и темп его импульс могут быть связаны с измерением времени ичастоты , предлагая готовые аналогии по геометрии .

Попытка структурировать и передать новые способы сочинения и прослушивания музыки привела к музыкальным приложениям теории множеств , абстрактной алгебры и теории чисел . Некоторые композиторы включили в свои работы золотое сечение и числа Фибоначчи . ^{[2] [3]}

История [ править ]

Хотя древние китайцы, индусы, египтяне и жители Месопотамии , как известно, изучал математические принципы звука, ^[4] , что пифагорейцы (в частности , Филолай и Архит ) ^[5] Древней Греции были первыми исследователями , как известно, исследовали экспрессию музыкального весы с точки зрения численных соотношений , ^[6] , в частности, соотношение малых целых чисел. Их центральная доктрина заключалась в том, что «вся природа состоит из гармонии, возникающей из чисел». ^[7]

Со времен Платона гармония считалась фундаментальным разделом физики , ныне известной как музыкальная акустика . Ранние индийские и китайские теоретики демонстрируют схожие подходы: все стремились показать, что математические законы гармоник и ритмов были фундаментальными не только для нашего понимания мира, но и для благополучия человека. ^[8] Конфуций , как и Пифагор, считал малые числа 1,2,3,4 источником всего совершенства. ^[9]

Время, ритм и метр [ править ]

Без границ ритмической структуры - фундаментального равного и регулярного расположения повторения импульсов , акцента , фразы и продолжительности - музыка была бы невозможна. ^[10] Современное музыкальное использование таких терминов, как метр и мера, также отражает историческое значение музыки, наряду с астрономией, в развитии счета, арифметики и точного измерения времени и периодичности, которые являются фундаментальными для физики. ^{[ необходима цитата ]}

Элементы музыкальной формы часто строят строгие пропорции или гиперметрические структуры (степени чисел 2 и 3). ^[11]

Музыкальная форма [ править ]

Музыкальная форма - это план, с помощью которого расширяется короткое музыкальное произведение. Термин «план» также используется в архитектуре, с которой часто сравнивают музыкальную форму. Как и архитектор, композитор должен учитывать функцию, для которой предназначена работа, и доступные средства, практикуя экономию и используя повторение и порядок. ^[12] Распространенные типы форм, известные как бинарные и тройные («двойные» и «тройные»), еще раз демонстрируют важность малых интегральных значений для разборчивости и привлекательности музыки. ^{[13] [14]}

Частота и гармония [ править ]

Музыкальная гамма представляет собой дискретный набор смол , используемых при формировании или описания музыки. Самая важная шкала в западной традиции - диатоническая шкала, но многие другие шкалы использовались и предлагались в различные исторические эпохи и в разных частях света. Каждый шаг соответствует определенной частоте, выраженной в герцах (Гц), иногда называемой циклами в секунду (cps). У гаммы есть интервал повторения, обычно октава . Октав любого шага относится к частоте точно в два раза больше заданного поле.

Последующие супероктавы - это тональные сигналы, обнаруженные на частотах в четыре, восемь, шестнадцать раз и так далее от основной частоты. Высота звука на частотах, составляющих половину, четверть, одну восьмую и т.д. основной гармоники, называется субоктавами. В музыкальной гармонии нет случая, когда, если данная высота звука считается соответствующей, ее октавы считаются иначе. Следовательно, любая нота и ее октавы обычно имеют одинаковое название в музыкальных системах (например, все будут называться до или ля или са , в зависимости от обстоятельств).

Выраженная как ширина полосы частот, октава A ₂ –A _{3 находится в} диапазоне от 110 Гц до 220 Гц (полоса обзора = 110 Гц). Следующая октава будет охватывать от 220 Гц до 440 Гц (диапазон = 220 Гц). Третья октава находится в диапазоне от 440 Гц до 880 Гц (полоса обзора = 440 Гц) и так далее. Каждая последующая октава охватывает двойной частотный диапазон предыдущей октавы.

Поскольку при описании шкалы нас часто интересуют отношения или соотношения между высотой звука (известными как интервалы ), а не сами точные высоты звука, обычно ко всем тонам шкалы относятся как к их соотношению с определенной высотой звука, которая дается значение единицы (часто пишется 1/1 ), обычно это нота, которая функционирует как тоника гаммы. Для сравнения размеров интервалов часто используются центы .

Общий термин	Пример названия	H z	Множество фундаментальных	Соотношение в октаве	Центы в октаве
Фундаментальный	А 2	110	${\ displaystyle 1x}$	${\ displaystyle 1/1 = 1x}$	0
Октава	А 3	220	${\ displaystyle 2x}$	${\ displaystyle 2/1 = 2x}$	1200
				${\ displaystyle 2/2 = 1x}$	0
Идеальный пятый	E 4	330	${\ displaystyle 3x}$	${\ displaystyle 3/2 = 1,5x}$	702
Октава	А 4	440	${\ displaystyle 4x}$	${\ displaystyle 4/2 = 2x}$	1200
				${\ displaystyle 4/4 = 1x}$	0
Майор третий	C ♯ 5	550	${\displaystyle 5x}$	${\displaystyle 5/4=1.25x}$	386
Идеальный пятый	E 5	660	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle 6/4=1.5x}$	702
Гармоническая седьмая	G 5	770	${\displaystyle 7x}$	${\displaystyle 7/4=1.75x}$	969
Октава	А 5	880	${\displaystyle 8x}$	${\displaystyle 8/4=2x}$	1200
				${\displaystyle 8/8=1x}$	0

Системы тюнинга [ править ]

Существует два основных семейства систем настройки: равномерный и простой тюнинг . Шкалы равных темпераментов строятся путем деления октавы на интервалы, которые равны по логарифмической шкале , что приводит к идеально равномерно разделенным гаммам, но с отношениями частот, которые являются иррациональными числами . Просто шкалы строятся путем умножения частот на рациональные числа , что приводит к простым отношениям между частотами, но с неравномерным делением шкалы.

Одно из основных различий между настройками одинаковой темперации и просто настройками заключается в различиях в акустическом ритме, когда две ноты звучат вместе, что влияет на субъективное восприятие консонанса и диссонанса . Обе эти системы и подавляющее большинство музыки в целом имеют гаммы, которые повторяются с интервалом в каждую октаву , что определяется как соотношение частот 2: 1. Другими словами, каждый раз, когда частота удваивается, данный масштаб повторяется.

Ниже представлены файлы Ogg Vorbis, демонстрирующие разницу между интонацией и ровным темпераментом. Возможно, вам придется воспроизвести сэмплы несколько раз, прежде чем вы сможете обнаружить разницу.

• Последовательно воспроизводятся две синусоидальные волны - в этом семпле полушаг на 550 Гц (C ♯ в шкале ровных интонаций), за которым следует полушаг на 554,37 Гц (C ♯ в шкале равных темпераментов).
• Те же две ноты, противопоставленные педали A440 - этот сэмпл состоит из « диады ». Нижняя нота - это константа A (440 Гц в любой шкале), верхняя нота - это C ♯ в равномерно темперированной гамме для первой 1 дюйма и C ♯ в шкале правильной интонации для последней 1 дюйма. Фазовые различия позволяют легче обнаружить переход, чем в предыдущем примере.

Просто настройки [ править ]

5-предельная настройка , наиболее распространенная форма интонации , представляет собой систему настройки с использованием тонов, которые представляют собой регулярные числовые гармоники одной основной частоты . Это была одна из шкал, которую Иоганн Кеплер представил в своей « Гармонии мира» (1619) в связи с движением планет. Такая же шкала была дана в транспонированной форме шотландским математиком и теоретиком музыки Александром Малькольмом в 1721 году в его «Трактате о музыке: умозрительные, практические и исторические» ^[15] и теоретиком Хосе Вюршмидтом в 20 веке. Его форма используется в музыке северной Индии.

Американский композитор Терри Райли также использовал его перевернутую форму в своей «Арфе Нового Альбиона». Простая интонация дает превосходные результаты, когда аккордов мало или совсем нет : голоса и другие инструменты тяготеют к одной интонации, когда это возможно. Однако он дает два разных полных тональных интервала (9: 8 и 10: 9), поскольку инструмент с фиксированной настройкой, например фортепиано, не может менять тональность. ^[16] Чтобы вычислить частоту ноты в масштабе, заданном в терминах отношений, отношение частот умножается на частоту тоники. Например, с тоникой A4 (естественная выше средней C) частота равна 440  Гц , а правильно настроенная квинта выше нее (E5) просто 440 × (3: 2) = 660 Гц.

Пифагорейская настройка - это настройка, основанная только на идеальных созвучиях, (идеальной) октаве, идеальной пятой и идеальной четверти. Таким образом, мажорная треть считается не третьим, а дитоном, буквально «двумя тонами», и составляет (9: 8) ² = 81:64, а не независимая и гармоническая только 5: 4 = 80:64 непосредственно ниже. Целый тон - это второстепенный интервал, полученный из двух идеальных пятых, (3: 2) ² = 9: 8.

Только основная треть, 5: 4 и второстепенная треть, 6: 5, являются синтонической запятой , 81:80, за исключением их пифагорейских эквивалентов 81:64 и 32:27 соответственно. Согласно Карлу Дальхаусу (1990 , стр. 187), «зависимая треть соответствует пифагорейскому, независимая треть - гармонической настройке интервалов».

Музыка для общепринятой западной практики обычно не может быть воспроизведена только интонацией, она требует систематического темперирования. Закаливание может включать в себя либо неровности хорошего темперамента, либо строиться как нормальный темперамент , либо некоторая форма равного темперамента, либо какое-то другое регулярное средство, но во всех случаях будет включать фундаментальные черты темперамента meanone . Например, основной тон аккорда ii, если настроен на пятую часть выше доминанты, будет мажорным целым тоном (9: 8) над тоникой. Однако, если настроить только минорную треть (6: 5) ниже субдоминантной степени 4: 3, интервал от тоники будет равен минорному целому тону (10: 9). Темперамент среднего тона уменьшает разницу между 9: 8 и 10: 9. Их соотношение (9: 8) / (10: 9) = 81:80 рассматривается как унисон. Интервал 81:80, называемый синтонической запятой или запятой Дидима, является ключевой запятой значимого темперамента.

Настройки равной темперации [ править ]

В равной темперации октава делится на равные части по логарифмической шкале. Хотя можно построить шкалу одинаковой темперации с любым количеством нот (например, 24-тональная арабская система тонов ), наиболее распространенным числом является 12, что составляет хроматическую шкалу одинаковой темперации . В западной музыке обычно предполагается деление на двенадцать интервалов, если не указано иное.

Для хроматической гаммы октава делится на двенадцать равных частей, каждый полутон (полутон) представляет собой интервал корня двенадцатой степени из двух, так что двенадцать из этих равных полушагов в сумме дают ровно октаву. При работе с ладовыми инструментами очень полезно использовать равную темперацию, чтобы лады равномерно выравнивались по струнам. В европейской музыкальной традиции одинаковый темперамент использовался для лютневой и гитарной музыки намного раньше, чем для других инструментов, таких как клавишные . Из-за этой исторической силы двенадцатитональный равный темперамент в настоящее время является доминирующей системой интонации в западном и большей части незападного мира.

Были использованы шкалы с одинаковым темпом и инструменты, построенные с использованием различных других чисел равных интервалов. 19 равно темперамент , первый предложила и использовать Котел, Гийого в 16 - м века, использует 19 равноотстоящих тона, предлагая более крупные трети и гораздо лучше , чем незначительные трети нормального 12-полутон равнотемперированного в стоимости более пологой пятой. Общий эффект еще более созвучен. Двадцать четыре равно темперамента , с двадцатью четыре равноотстоящих тонами, широко распространен в педагогике и нотации из арабской музыки . Однако в теории и на практике интонация арабской музыки соответствует рациональным соотношениям , в отличие от иррациональных соотношений.одинаково закаленных систем. ^[17]

В то время как какой-либо аналог одинаково темперированного четвертного тона полностью отсутствует в арабских интонационных системах , часто встречаются аналоги трехчетвертного тона или нейтральной секунды . Однако эти нейтральные секунды немного различаются по соотношению в зависимости от макама , а также географии. Действительно, арабский музыкальный историк Хабиб Хасан Тома писал, что «широта отклонения этого музыкального шага является решающим ингредиентом своеобразного аромата арабской музыки. Чтобы смягчить масштаб, разделив октаву на двадцать четыре четверти тона равного размера. означало бы отказаться от одного из наиболее характерных элементов этой музыкальной культуры ». ^[17]

53 одинаковых темперамента возникают из почти равного равенства 53 идеальных квинт с 31 октавой, что было отмечено Цзин Фаном и Николасом Меркатором .

Связь с математикой [ править ]

Теория множеств [ править ]

Теория музыкальных множеств использует язык математической теории множеств элементарным образом для организации музыкальных объектов и описания их отношений. Анализ структуры музыкального произведения (обычно атонального) с использованием теории музыкальных множеств обычно начинается с набора тонов, которые могут образовывать мотивы или аккорды. Применяя простые операции, такие как транспозиция и инверсия , можно обнаружить глубокие структуры в музыке. Такие операции, как транспонирование и инверсия, называются изометриями, потому что они сохраняют интервалы между тонами в наборе.

Абстрактная алгебра [ править ]

Расширяя методы теории музыкальных множеств, некоторые теоретики использовали абстрактную алгебру для анализа музыки. Например, классы высоты звука в октаве с одинаковым темпом образуют абелеву группу из 12 элементов. Просто интонацию можно описать в терминах свободной абелевой группы . ^{[18] [19]}

Теория трансформации - это раздел теории музыки, разработанный Дэвидом Левином . Теория допускает большую общность, потому что она подчеркивает трансформации между музыкальными объектами, а не сами музыкальные объекты.

Теоретики также предложили музыкальные приложения более сложных алгебраических концепций. Теория регулярных темпераментов широко развивалась с помощью широкого диапазона сложной математики, например, путем сопоставления каждой регулярной темперации с рациональной точкой грассманиана .

Хроматическая шкала имеет свободное и транзитивное действие циклической группы , причем действие определяются с помощью транспозиции нот. Так что хроматическую гамму можно рассматривать как торсор для группы.${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

Теория категорий [ править ]

Математик и музыковед Герин Маззол использовал теории категорий ( топос теории ) для основы теории музыки, которая включает в себя использование топологии в качестве основы для теории ритма и мотивов , и дифференциальной геометрия в качестве основы для теории музыкальной фразировки , темп , и интонация . ^[20]

Музыканты, которые были или являются математиками [ править ]

• Альберт Эйнштейн - выдающийся пианист и скрипач.
• Арт Гарфанкель ( Simon & Garfunkel ) - магистр математики, Колумбийский университет
• Брайан Мэй ( Королева ) - бакалавр (с отличием) в области математики и физики Имперского колледжа Лондона .
• Дэн Снайт - доктор математики, Имперский колледж Лондона
• Делия Дербишир - бакалавр математики и музыки из Кембриджа .
• Джонни Бакленд ( Coldplay ) - изучал астрономию и математику в Университетском колледже Лондона .
• Кит Армстронг - диплом по музыке и магистр математики.
• Манджул Бхаргава - играет на табле , выиграл медаль Филдса в 2014 году.
• Фил Элвин ( Бластеры ) - математика, Калифорнийский университет, Лос-Анджелес
• Филип Гласс - изучал математику и философию в Чикагском университете .
• Том Лерер - бакалавр математики Гарвардского университета .
• Уильям Гершель - астроном, играл на гобое, скрипке, клавесине и органе. Он написал 24 симфонии и множество концертов, а также немного церковной музыки.

См. Также [ править ]

 Музыкальный портал

Ссылки [ править ]

• Дальхаус, Карл. 1990. Wagners Konzeption des musikalischen Dramas . Deutscher Taschenbuch Verlag. Кассель: Bärenreiter. ISBN 9783423045384 ; ISBN 9783761845387 .  
• Айвор Граттан-Гиннесс (1995) "Моцарт 18, Бетховен 32: Скрытые тени целых чисел в классической музыке", страницы с 29 по 47 в Истории математики: Современное состояние , Джозеф В. Добен, Менсо Фолкертс , Эберхард Кноблох и Ханс Вуссинг редакторы, Academic Press ISBN 0-12-204055-4 

Внешние ссылки [ править ]

• Аксиоматическая теория музыки С.М. Немати
• Музыка и математика Томаса Э. Фьоре
• Двенадцатитоновая музыкальная гамма.
• Сонантометрия или музыка как математическая дисциплина.
• Музыка: математическое приношение Дэйва Бенсона .
• Николаус Меркатор: использование теории соотношения в музыке при конвергенции
• Игра в бисер Герман Гессе дал музыке и математике решающую роль в разработке своей игры в бисер.
• Гармония и пропорция. Пифагор, Музыка и космос .
• «Линейная алгебра и музыка»
• Notefreqs - Полная таблица частот и соотношений нот для миди, фортепиано, гитары, баса и скрипки. Включает размеры ладов (в сантиметрах и дюймах) для строительных инструментов.
• Математика и музыка , обсуждение BBC Radio 4 с Маркусом дю Сотуа, Робином Уилсоном и Рут Тэтлоу ( в наше время , 25 мая 2006 г.)