Матрица (математика)

В математике матрица (множественное число матриц ) представляет собой прямоугольный массив или таблицу чисел , символов или выражений , расположенных в строках и столбцах, которая используется для представления математического объекта или свойства такого объекта.

Без дополнительных уточнений матрицы представляют собой линейные карты и допускают явные вычисления в линейной алгебре . Поэтому изучение матриц составляет большую часть линейной алгебры, и большинство свойств и операций абстрактной линейной алгебры можно выразить в терминах матриц. Например, умножение матриц представляет собой композицию линейных карт.

Не все матрицы связаны с линейной алгеброй. Это, в частности, имеет место в теории графов , матриц инцидентности и матриц смежности . [1] Эта статья посвящена матрицам, связанным с линейной алгеброй, и, если не указано иное, все матрицы представляют собой линейные карты или могут рассматриваться как таковые.

Квадратные матрицы , матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов, играют важную роль в теории матриц. Квадратные матрицы заданной размерности образуют некоммутативное кольцо , которое является одним из наиболее распространенных примеров некоммутативного кольца. Определитель квадратной матрицы — это число, связанное с матрицей, которое имеет основополагающее значение для изучения квадратной матрицы; например, квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она имеет ненулевой определитель, а собственные значения квадратной матрицы являются корнями полиномиального определителя.

В геометрии матрицы широко используются для задания и представления геометрических преобразований (например , вращений ) и изменений координат . В численном анализе многие вычислительные задачи решаются путем сведения их к матричным вычислениям, что часто требует вычислений с матрицами огромной размерности. Матрицы используются в большинстве областей математики и в большинстве научных областей либо напрямую, либо посредством их использования в геометрии и численном анализе.

Матрица — это прямоугольный массив чисел (или других математических объектов), называемый элементами матрицы . Матрицы подвергаются стандартным операциям , таким как сложение и умножение . [2] Чаще всего матрица над полем F представляет собой прямоугольный массив элементов F . [3] [4] Вещественная матрица и комплексная матрица — это матрицы, элементами которых являются, соответственно, действительные или комплексные числа . . Более общие типы записей обсуждаются ниже . Например, это реальная матрица:

Матрица размера m × n : m строк горизонтальны, а n столбцов вертикальны. Каждый элемент матрицы часто обозначается переменной с двумя индексами . Например, 2,1 представляет элемент во второй строке и первом столбце матрицы.
Схематическое изображение матричного произведения AB двух матриц A и B .
Векторы, представленные матрицей 2 на 2, соответствуют сторонам единичного квадрата, преобразованного в параллелограмм.
Линейное преобразование на R2 , заданное указанной матрицей. Определитель этой матрицы равен −1, так как площадь зеленого параллелограмма справа равна 1, но карта меняет ориентацию на обратную , поскольку она превращает ориентацию векторов против часовой стрелки в ориентацию по часовой стрелке.
Пример матрицы в жордановой нормальной форме. Серые блоки называются блоками Жордана.
Неориентированный граф с матрицей смежности:
В седловой точке ( x  =  0, y  =  0) (красный цвет) функции f ( x , − y ) = x 2 − y 2 матрица Гессе неопределенна .   
Две разные цепи Маркова. На диаграмме показано количество частиц (всего 1000) в состоянии «2». Оба предельных значения могут быть определены из матриц перехода, которые обозначены (красный) и (черный).