В математике матрица (множественное число матриц ) представляет собой прямоугольный массив или таблицу чисел , символов или выражений , расположенных в строках и столбцах, которая используется для представления математического объекта или свойства такого объекта.
Без дополнительных уточнений матрицы представляют собой линейные карты и допускают явные вычисления в линейной алгебре . Поэтому изучение матриц составляет большую часть линейной алгебры, и большинство свойств и операций абстрактной линейной алгебры можно выразить в терминах матриц. Например, умножение матриц представляет собой композицию линейных карт.
Не все матрицы связаны с линейной алгеброй. Это, в частности, имеет место в теории графов , матриц инцидентности и матриц смежности . [1] Эта статья посвящена матрицам, связанным с линейной алгеброй, и, если не указано иное, все матрицы представляют собой линейные карты или могут рассматриваться как таковые.
Квадратные матрицы , матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов, играют важную роль в теории матриц. Квадратные матрицы заданной размерности образуют некоммутативное кольцо , которое является одним из наиболее распространенных примеров некоммутативного кольца. Определитель квадратной матрицы — это число, связанное с матрицей, которое имеет основополагающее значение для изучения квадратной матрицы; например, квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она имеет ненулевой определитель, а собственные значения квадратной матрицы являются корнями полиномиального определителя.
В геометрии матрицы широко используются для задания и представления геометрических преобразований (например , вращений ) и изменений координат . В численном анализе многие вычислительные задачи решаются путем сведения их к матричным вычислениям, что часто требует вычислений с матрицами огромной размерности. Матрицы используются в большинстве областей математики и в большинстве научных областей либо напрямую, либо посредством их использования в геометрии и численном анализе.
Матрица — это прямоугольный массив чисел (или других математических объектов), называемый элементами матрицы . Матрицы подвергаются стандартным операциям , таким как сложение и умножение . [2] Чаще всего матрица над полем F представляет собой прямоугольный массив элементов F . [3] [4] Вещественная матрица и комплексная матрица — это матрицы, элементами которых являются, соответственно, действительные или комплексные числа . . Более общие типы записей обсуждаются ниже . Например, это реальная матрица: