В математике , более конкретно в динамических системах , то метод усреднения (также называемая теория усреднения) использует системы , содержащие разделения временных масштабов: а быстрое колебание по сравнению с медленным дрейфом . Это предполагает, что мы выполняем усреднение за заданный промежуток времени, чтобы сгладить быстрые колебания и наблюдать качественное поведение по результирующей динамике. Приближенное решение сохраняется при конечном времени, обратно пропорциональном параметру, обозначающему медленный масштаб времени. Оказывается, это обычная проблема, когда существует компромисс между тем, насколько хорошо приближенное решение сбалансировано тем, сколько времени оно остается близким к исходному решению.
Точнее, система имеет следующий вид
переменной фазового пространства Быстро колебаний задается по сравнению с медленным дрейфом в . Метод усреднения дает автономную динамическую систему который аппроксимирует кривые решения внутри связной и компактной области фазового пространства и с течением времени . При применимости этого метода усреднения асимптотическое поведение исходной системы фиксируется динамическим уравнением для . Таким образом, качественные методы для автономных динамических систем могут быть использованы для анализа состояний равновесия и более сложных структур, таких как медленное многообразие и инвариантные многообразия , а также их устойчивости в фазовом пространстве усредненной системы.
Кроме того, в физическом приложении было бы разумно или естественно заменить математическую модель, которая дается в форме дифференциального уравнения для , с соответствующей усредненной системой , чтобы использовать усредненную систему для прогнозирования, а затем проверить прогноз по результатам физического эксперимента. [1]
Метод усреднения имеет долгую историю, глубоко уходящую корнями в проблемы возмущений , возникшие в небесной механике (см., Например, в [2] ).
Предположим, что векторное поле относиться к классу дифференцируемости с участием (или даже мы будем говорить только гладкий), который мы обозначим . Разложим это зависящее от времени векторное поле в ряд Тейлора (по степеням) с остатком . Введем следующие обозначения: [2]
где это -я производная с . Поскольку мы занимаемся проблемами усреднения, в общемравен нулю, поэтому оказывается, что нас будут интересовать векторные поля, заданные формулой
Кроме того, мы определяем следующую задачу начального значения в стандартной форме : [2]Считайте для каждого связные и ограниченные, и каждый существуют а также такая, что исходная система (неавтономная динамическая система), заданная формулой
есть решение , где является периодическим с периодом а также как с ограничен на ограниченных множествах. Тогда существует постоянная так что решение от усредненной системы (автономной системы динамической) является является для а также . - В этой так называемой оценке первого приближения есть два приближения : приведение к среднему векторного поля и пренебрежение величиной термины.
- Равномерность по начальному условию : если мы меняемся это влияет на оценку а также . Доказательство и обсуждение этого можно найти в книге Дж. Мердока. [3]
- Снижение регулярности: существует более общая форма этой теоремы, которая требует только быть Липшицем инепрерывный. Это более позднее доказательство, которое можно увидеть у Sanders et al. . [2] Приведенная здесь формулировка теорем основана на схеме доказательства, предложенной Крыловым-Боголюбовым, которая основана на введении преобразования, близкого к тождественному. Преимущество этого метода - расширение до более общих параметров, таких как бесконечномерные системы - уравнения в частных производных или дифференциальные уравнения с запаздыванием.
- Дж. Хейл представляет обобщение почти периодических векторных полей. [4]
Стратегия доказательства
Крылов-Боголюбов понял, что медленная динамика системы определяет главный порядок асимптотического решения.
Чтобы доказать это, они предложили преобразование, близкое к тождественному, которое оказалось заменой координат с собственной шкалой времени, переводящей исходную систему в усредненную.
Набросок доказательства
- Определение преобразования, близкого к тождественному: гладкое отображение где считается достаточно регулярным и периодический. Предлагаемое изменение координат дается выражением.
- Выберите подходящий решение гомологического уравнения теории усреднения:.
- Изменение координат переводит исходную систему в
- Оценка ошибки из-за усечения и сравнения с исходной переменной.
В истории техники усреднения есть класс систем, которые широко изучены, и они дают нам содержательные примеры, которые мы обсудим ниже. Класс системы определяется:
где гладко. Эта система похожа на линейную систему с малым нелинейным возмущением, задаваемым формулой:
отличается от стандартной формы. Следовательно, существует необходимость выполнить преобразование, чтобы оно было явным образом преобразовано в стандартную форму. [2] Мы можем изменять координаты, используя метод вариации констант . Смотрим на невозмущенную систему, т.е. , данный который имеет фундаментальное решение соответствующий вращению. Тогда зависящее от времени изменение координат равно где - координаты, соответствующие стандартной форме.
Если мы возьмем производную по времени в обе стороны и обратим фундаментальную матрицу, получим
- То же самое можно сделать с линейными частями, зависящими от времени. Хотя фундаментальное решение может быть нетривиальным для явного описания, процедура аналогична. См. Sanders et al. [2] для получения дополнительных сведений.
- Если собственные значения не все чисто мнимые, это называется условием гиперболичности . В этом случае уравнение возмущения может вызвать серьезные проблемы, даже еслиограничено, так как решение растет экспоненциально быстро. [2] Однако качественно мы можем узнать асимптотическое решение, такое как результаты Хартмана-Гробмана и многое другое. [1]
- Иногда, чтобы получить стандартные формы, с которыми легче работать, мы можем выбрать вращающийся набор координат системы отсчета - полярные координаты - заданные как определяющее начальное условие также и определяет систему:
Если мы усредняем его до тех пор, пока исключается окрестность начала координат (поскольку полярные координаты не работают), дает: где усредненная система Пример: вводящие в заблуждение результаты усреднения
Рисунок 2: Простой гармонический осциллятор с малым периодическим демпфирующим членом, заданным формулой
.Численное моделирование исходного уравнения (синяя сплошная линия) сравнивается с системой усреднения (оранжевая пунктирная линия) и грубой усредненной системой (зеленая пунктирная линия). Левый график отображает решение, эволюционировавшее во времени, а правый график представляет собой фазовое пространство. Отметим, что грубое усреднение не соответствует ожидаемому решению.
Метод содержит некоторые предположения и ограничения. Эти ограничения играют важную роль, когда мы усредняем исходное уравнение, не имеющее стандартной формы, и можем обсудить контрпример к нему. Следующий пример, чтобы воспрепятствовать этому поспешному усреднению: [2]
куда мы положили следуя предыдущим обозначениям. Эта система соответствует затухающему гармоническому осциллятору, где демпфирующий член колеблется между а также . Усредняя член трения за один цикл дает уравнение:
Решение скорость сходимости к началу координат равна . Усредненная система, полученная из стандартной формы, дает: что в прямоугольной координате явно показывает, что действительно скорость сходимости к началу координат равна в отличие от предыдущей системы усреднения сырой нефти: Пример: уравнение Ван дер Поля
Рисунок 3: Фазовое пространство генератора Ван дер Поля с
. Устойчивый предельный цикл (оранжевая сплошная линия) в системе правильно фиксируется качественным анализом усредненной системы. Для двух различных начальных условий (черные точки) мы наблюдаем траектории (пунктирная синяя линия), сходящиеся к периодической орбите.
Ван дер Поль был озабочен получением приближенного решения для уравнений типа
где следуя предыдущим обозначениям. Эта система называется осциллятором Ван дер Поля . Если мы применим периодическое усреднение к этому нелинейному осциллятору, это даст нам качественное знание фазового пространства без явного решения системы. Усредненная система
и мы можем проанализировать неподвижные точки и их устойчивость. В начале координат имеется неустойчивая неподвижная точка и устойчивый предельный цикл, представленный . Существование такого устойчивого предельного цикла можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема (Существование периодической орбиты) [5] : Еслиявляется гиперболической неподвижной точкой
Тогда существует такое, что для всех , имеет единственную гиперболическую периодическую орбиту того же типа устойчивости, что и . Доказательство можно найти у Guckenheimer and Holmes, [5] Sanders et al. [2] и для случая угла в Chicone. [1]
Пример: ограничение временного интервала
Рисунок 4: График изображает две фундаментальные величины, на которых основан метод усреднения: ограниченная и связная область.
фазового пространства и как долго (определяется константой
) усредненное решение справедливо. В этом случае
. Обратите внимание, что оба решения взорвутся за конечное время. Следовательно,
был выбран соответственно, чтобы сохранить ограниченность решения, и временной интервал применимости приближения составляет
.
Теорема о среднем предполагает существование связной и ограниченной области что влияет на временной интервал достоверности результата. Следующий пример указывает на это. Рассмотрим
где . Усредненная система состоит из что при этом начальном условии указывает, что исходное решение ведет себя как где он выполняется в ограниченной области над . Затухающий маятник
Рассмотрим демпфированный маятник , точка подвеса которого колеблется вертикально под действием высокочастотного сигнала небольшой амплитуды (обычно это называется дизерингом ). Уравнение движения такого маятника имеет вид
где описывает движение точки подвеса, описывает затухание маятника, а - угол между маятником и вертикалью.
Фазовое пространство форма этого уравнения дается формулой
где мы ввели переменную и написал систему как автономную систему первого порядка в-космос.
Предположим, что угловая частота вертикальных колебаний, , намного больше собственной частоты маятника, . Предположим также, что амплитуда вертикальных колебаний,, намного меньше длины маятника. Траектория маятника в фазовом пространстве будет описывать спираль вокруг кривой, двигаясь вперед в медленном темпе но двигаясь вокруг него с большой скоростью . Радиус спирали вокруг будет маленьким и пропорциональным . Среднее поведение траектории в масштабе времени, намного превышающем, будет следовать кривой .
Методика усреднения для задач начального значения до сих пор обрабатывалась с оценками ошибок достоверности порядка . Однако бывают обстоятельства, при которых оценки можно продлить на большее время, даже на все времена. [2] Ниже мы имеем дело с системой, содержащей асимптотически устойчивую неподвижную точку. Такая ситуация повторяет то, что показано на рисунке 1.
Теорема (Экхаус [6] / Санчес-Паленсия [7] ) Рассмотрим задачу с начальным значением
Предполагать существует и содержит асимптотически устойчивую неподвижную точку в линейном приближении. Более того, непрерывно дифференцируемо по в и имеет область притяжения . Для любого компактного и для всех с участием в общем случае и в периодическом случае.