Модель Блэка – Шоулза

Тон или стиль этой статьи могут не отражать энциклопедический тон, используемый в Википедии . См. Рекомендации в руководстве Википедии по написанию лучших статей . ( Июль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Блэка-Шоулза / ˌ б л æ к ʃ oʊ л г / ^[1] или Блэка-Шоулза-Мертона модель представляет собой математическую модель для динамики финансового рынка , содержащих производные инвестиционные инструменты. Из уравнения в частных производных модели, известного как уравнение Блэка-Шоулза , можно вывести формулу Блэка-Шоулза , которая дает теоретическую оценку цены опционов европейского типа и показывает, что опцион имеет уникальнуюцена с учетом риска ценной бумаги и ее ожидаемой доходности (вместо этого вместо ожидаемой доходности ценной бумаги ставка, нейтральная к риску ). Эта формула привела к буму торговли опционами и придала математическую обоснованность деятельности Чикагской биржи опционов и других опционных рынков по всему миру. ^[2] Он широко используется, хотя часто с некоторыми корректировками, участниками опционного рынка. ^{[3] : 751}

Основываясь на работах, ранее разработанных исследователями рынка и практиками, такими как Луи Башелье , Шин Кассуф и Эд Торп среди других, Фишер Блэк и Майрон Скоулз продемонстрировали в 1968 году, что динамический пересмотр портфеля устраняет ожидаемую доходность ценной бумаги, тем самым изобретая аргумент нейтрального риска . ^{[4] [5]} В 1970 году, после того как они попытались применить эту формулу к рынкам и понесли финансовые убытки из-за отсутствия управления рисками в своих сделках, они решили сосредоточиться на своей предметной области, академической среде. ^[6]После трех лет усилий формула, названная в их честь за то, что она стала достоянием общественности, была наконец опубликована в 1973 году в статье, озаглавленной «Стоимость опционов и корпоративных обязательств» в Журнале политической экономии . ^{[7] [8] [9]} Роберт С. Мертон был первым, кто опубликовал статью, расширяющую математическое понимание модели ценообразования опционов, и ввел термин « модель ценообразования опционов Блэка – Шоулза ». Мертон и Скоулз получили Нобелевскую премию по экономическим наукам 1997 года за свою работу, и комитет назвал их открытие нейтрального с точки зрения риска динамического пересмотра как прорыв, отделяющий опцион от риска базовой ценной бумаги. ^[10]Несмотря на то, что Блэк не имел права на получение премии из-за своей смерти в 1995 году, Шведская академия упомянула его как одного из участников. ^[11]

Ключевая идея, лежащая в основе модели, заключается в хеджировании опциона путем покупки и продажи базового актива правильным образом и, как следствие, устранения риска. Этот тип хеджирования называется «постоянно пересматриваемое дельта-хеджирование » и является основой более сложных стратегий хеджирования, например, используемых инвестиционными банками и хедж-фондами .

Допущения модели были смягчены и обобщены во многих направлениях, что привело к появлению множества моделей, которые в настоящее время используются для ценообразования производных финансовых инструментов и управления рисками. Участники рынка часто используют идеи модели, которая проиллюстрирована формулой Блэка – Шоулза , в отличие от фактических цен. Эти идеи включают ограничения без арбитража и ценообразование без учета риска (благодаря постоянному пересмотру). Кроме того, уравнение Блэка – Шоулза, уравнение в частных производных, которое определяет цену опциона, позволяет ценообразование с использованием численных методов, когда явная формула невозможна.

Формула Блэка – Шоулза имеет только один параметр, который нельзя непосредственно наблюдать на рынке: средняя будущая волатильность базового актива, хотя ее можно определить по цене других опционов. Поскольку стоимость опциона (пут или колл) увеличивается в этом параметре, его можно инвертировать для создания « поверхности волатильности », которая затем используется для калибровки других моделей, например, для внебиржевых деривативов .

Основные гипотезы [ править ]

Модель Блэка – Шоулза предполагает, что рынок состоит по крайней мере из одного рискованного актива, обычно называемого акцией, и одного безрискового актива, обычно называемого денежным рынком, наличными деньгами или облигациями.

Теперь мы делаем предположения об активах (которые объясняют их названия):

• (Безрисковая ставка) Норма прибыли на безрисковый актив постоянна и поэтому называется безрисковой процентной ставкой .
• (Случайное блуждание) Мгновенный логарифм доходности акций - это бесконечно малое случайное блуждание с дрейфом; точнее, цена акции следует геометрическому броуновскому движению , и мы будем предполагать, что ее дрейф и волатильность постоянны (если они меняются во времени, мы можем довольно просто вывести подходящую модифицированную формулу Блэка-Шоулза, если волатильность не случайный).
• По акциям дивиденды не выплачиваются . ^{[Примечания 1]}

Предположения на рынке:

• Нет возможности арбитража (т. Е. Нет возможности получить безрисковую прибыль).
• Возможность брать взаймы и ссужать любую сумму, даже дробную, по безрисковой ставке.
• возможность покупать и продавать любое количество, даже частичное, акций (включая короткие продажи ).
• Вышеупомянутые транзакции не предполагают никаких комиссий или затрат (т. Е. Рынок без трения ).

С учетом этих предположений предположим, что на этом рынке также торгуется производная ценная бумага. Мы указываем, что эта ценная бумага будет иметь определенную выплату в указанную дату в будущем, в зависимости от значений, принятых акциями до этой даты. Удивительно, но цена производного инструмента полностью определяется в настоящее время, хотя мы не знаем, какой путь пойдет цена акции в будущем. Для особого случая европейского опциона колл или пут Блэк и Шоулз показали, что «можно создать хеджированную позицию , состоящую из длинной позиции по акции и короткой позиции по опциону, стоимость которой не будет зависеть от цена акции ». ^[12]Их стратегия динамического хеджирования привела к уравнению в частных производных, которое определяло цену опциона. Ее решение дается формулой Блэка – Шоулза.

Некоторые из этих допущений исходной модели были удалены в последующих расширениях модели. Современные версии учитывают динамические процентные ставки (Merton, 1976), ^{[ необходима цитата ]} транзакционные издержки и налоги (Ingersoll, 1976), ^{[ цитата необходима ]} и выплату дивидендов. ^[13]

Обозначение [ править ]

Обозначения, используемые на этой странице, будут определены следующим образом:

${\ Displaystyle S (т)}$, цена базового актива в момент времени t .;

${\ Displaystyle V (S, t)}$, цена опциона как функция базового актива S в момент времени t ;

${\ Displaystyle C (S, t)}$цена европейского опциона колл и цена европейского опциона пут;${\ Displaystyle P (S, t)}$

${\ displaystyle K}$, цена исполнения опциона, также известная как цена исполнения;

${\ displaystyle r}$, годовая безрисковая процентная ставка , непрерывно начисляемая Также известна как сила процента ;

${\ displaystyle \ mu}$, То скорость дрейфа из , в годовом исчислении;${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ sigma}$, стандартное отклонение доходности акций; это квадратный корень из квадратичной вариации процесса логарифмической цены акции;

${\displaystyle t}$, время в годах; мы обычно используем: now , expiry ;${\displaystyle =0}$${\displaystyle =T}$

${\displaystyle \Pi }$, стоимость портфеля .

Мы будем использовать для обозначения стандартной нормальной кумулятивной функции распределения ,${\displaystyle N(x)}$

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.}$

${\displaystyle N'(x)}$будет обозначать стандартную нормальную функцию плотности вероятности ,

${\displaystyle N'(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

Уравнение Блэка – Шоулза [ править ]

Как и выше, уравнение Блэка – Шоулза представляет собой уравнение в частных производных , которое описывает цену опциона с течением времени. Уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

Ключевой финансовый вывод, лежащий в основе уравнения, заключается в том, что можно идеально застраховать опцион, купив и продав базовый актив и актив на банковском счете (денежные средства) правильным способом и, следовательно, «исключив риск». ^{[ необходима цитата ]} Это хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что существует только одна правильная цена для опциона, возвращаемая формулой Блэка – Шоулза (см. следующий раздел ).

Формула Блэка – Шоулза [ править ]

Формула Блэка – Шоулза рассчитывает цену европейских опционов пут и колл . Эта цена согласуется с уравнением Блэка – Шоулза, как указано выше ; это следует из того, что формула может быть получена путем решения уравнения для соответствующих терминальных и граничных условий.

Стоимость опциона колл на базовую акцию, не приносящую дивидендов, с точки зрения параметров Блэка – Шоулза составляет:

${\displaystyle {\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{1})S_{t}-N(d_{2})PV(K)\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\PV(K)&=Ke^{-r(T-t)}\end{aligned}}}$

Цена соответствующего опциона пут на основе паритета пут – колл составляет:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{2})PV(K)-N(-d_{1})S_{t}\end{aligned}}\,}$

Для обоих, как указано выше :

• ${\displaystyle N(\cdot )}$это интегральная функция распределения от стандартного нормального распределения
• ${\displaystyle T-t}$ время до погашения (выраженное в годах)
• ${\displaystyle S_{t}}$это место цена базового актива
• ${\displaystyle K}$ это цена исполнения
• ${\displaystyle r}$это безрисковая ставка (годовой показатель, выраженный в терминах непрерывного компаундирования )
• ${\displaystyle \sigma }$является неустойчивость возвратов базового актива

Альтернативная формулировка [ править ]

Введение некоторых вспомогательных переменных позволяет упростить формулу и переформулировать ее в более удобной форме (это частный случай формулы Блэка '76 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{\pm }&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{\pm }&=d_{\mp }\pm \sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

Вспомогательные переменные:

• ${\displaystyle \tau =T-t}$ время истечения срока действия (оставшееся время, обратное время)
• ${\displaystyle D=e^{-r\tau }}$является коэффициент дисконтирования
• ${\displaystyle F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}}$- форвардная цена базового актива, и${\displaystyle S=DF}$

с d ₊ = d ₁ и d _- = d ₂ для пояснения обозначений.

Учитывая паритет опционов пут-колл, который выражается в следующих терминах:

${\displaystyle C-P=D(F-K)=S-DK}$

цена оферты составляет:

${\displaystyle P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]}$

Интерпретация [ править ]

Формулу Блэка – Шоулза можно довольно легко интерпретировать, с основной тонкостью интерпретации терминов (а тем более ), в частности, и того, почему существуют два разных термина. ^[14]${\displaystyle N(d_{\pm })}$${\displaystyle d_{\pm }}$${\displaystyle d_{+}}$

Формулу можно интерпретировать, сначала разложив опцион колл на разницу двух бинарных опционов : колл "актив или ничего" минус колл " наличные или ничего" (длинный колл-колл " актив или ничего", короткий колл "наличные или-" нечего звонить). Опцион колл обменивает наличные на актив по истечении срока действия, в то время как колл-опцион "актив или ничего" просто дает актив (без наличных в обмен), а колл-опцион дает только наличные (без обменного актива). Формула Блэка – Шоулза представляет собой разницу двух членов, и эти два члена равны значениям бинарных опционов колл. Эти бинарные опционы гораздо реже торгуются, чем обычные опционы колл, но их легче анализировать.

Таким образом формула:

${\displaystyle C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]}$

распадается как:

${\displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$

где - приведенная стоимость отзыва по требованию «актив или ничего» и - приведенная стоимость отзыва по требованию «деньги или ничего». D фактор дисконтирования, поскольку дата истечения срока действия в будущем, и удалить его изменения текущего значения будущей стоимости (значение по истечению срока). Таким образом, это будущая стоимость требования "актив или ничего" и будущая стоимость требования "наличные или ничего". С точки зрения нейтрального риска, это ожидаемая стоимость актива и ожидаемая стоимость денежных средств в нейтральной к риску оценке.${\displaystyle DN(d_{+})F}$${\displaystyle DN(d_{-})K}$${\displaystyle N(d_{+})~F}$${\displaystyle N(d_{-})~K}$

Наивная и не совсем правильная интерпретация этих терминов состоит в том , что вероятность истечения опциона в деньгах , умноженная на стоимость базового актива на момент истечения F, а это вероятность того, что опцион истекает в деньгах, умноженная на стоимость наличные по истечении срока K. Это явно неверно, так как либо оба двоичных файла истекают в деньгах, либо оба истекают без денег (либо наличные деньги обмениваются на актив, либо нет), но вероятности и не равны. Фактически, их можно интерпретировать как меры денежности (в стандартных отклонениях) и как вероятность истечения срока ITM ( процент денежности ) в соответствующих${\displaystyle N(d_{+})F}$${\displaystyle N(d_{+})}$${\displaystyle N(d_{-})K}$${\displaystyle N(d_{-}),}$${\displaystyle N(d_{+})}$${\displaystyle N(d_{-})}$${\displaystyle d_{\pm }}$${\displaystyle N(d_{\pm })}$numéraire , как обсуждается ниже. Проще говоря, интерпретация денежного опциона верна, поскольку стоимость денежных средств не зависит от движений базового актива и, таким образом, может быть интерпретирована как простое произведение «вероятность умножить на стоимость», в то время как более сложный вариант: поскольку вероятность истечения срока в деньгах и стоимость актива на момент истечения срока не являются независимыми. ^[14] Точнее, стоимость актива на момент истечения срока может меняться в денежном выражении, но постоянна в отношении самого актива (фиксированное количество актива), и, таким образом, эти количества не зависят от количества денег, если изменить numéraire на актив, а не наличные деньги.${\displaystyle N(d_{-})K}$${\displaystyle N(d_{+})F}$

Если использовать пятно S вместо вперед F, в вместо термина есть , который может быть интерпретирован как фактор дрейфа (в риск-нейтральная мера для соответствующего знаменателя). Использование d _- для денежности, а не для стандартизованной денежности  - другими словами, причина для фактора - связано с разницей между медианой и средним логнормальным распределением ; это тот же фактор, что и в лемме Ито, примененной к геометрическому броуновскому движению . Кроме того, еще один способ увидеть, что наивная интерпретация неверна, - это заменить на${\displaystyle d_{\pm }}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$${\displaystyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$${\displaystyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$${\displaystyle N(d_{+})}$${\displaystyle N(d_{-})}$в формуле дает отрицательное значение для опционов колл "вне денег". ^{[14] : 6}

Подробно, термины представляют собой вероятности истечения срока опциона в деньгах согласно эквивалентной экспоненциальной мартингальной вероятностной мере (numéraire = акции) и эквивалентной мартингальной вероятностной мере (numéraire = безрисковый актив), соответственно. ^[14] Плотность нейтральной вероятности риска для цены акции равна${\displaystyle N(d_{1}),N(d_{2})}$${\displaystyle S_{T}\in (0,\infty )}$

${\displaystyle p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{2}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}}$

где определено, как указано выше.${\displaystyle d_{2}=d_{2}(K)}$

В частности, это вероятность того, что колл будет исполнен, если предположить, что дрейф актива является безрисковой ставкой. однако не поддается простой вероятностной интерпретации. правильно интерпретируется как приведенная стоимость с использованием безрисковой процентной ставки ожидаемой цены актива на момент истечения срока, при условии, что цена актива на момент истечения срока превышает цену исполнения. ^[15] Соответствующее обсуждение - и графическое представление - см. В разделе «Интерпретация» по методу Датара – Мэтьюза для оценки реальных опционов .${\displaystyle N(d_{2})}$${\displaystyle N(d_{1})}$${\displaystyle SN(d_{1})}$

Эквивалентная мартингальная вероятностная мера также называется вероятностной мерой, нейтральной к риску . Обратите внимание, что обе эти вероятности являются вероятностями в теоретическом смысле меры , и ни одна из них не является истинной вероятностью истечения срока в деньгах согласно реальной вероятностной мере . Для расчета вероятности с использованием реальной («физической») меры вероятности требуется дополнительная информация - член смещения в физической мере или, что эквивалентно, рыночная цена риска .

Производные [ править ]

Стандартный вывод для решения PDE Блэка – Шоулза приведен в статье « Уравнение Блэка – Шоулза» .

Формула Фейнмана-Каца говорит, что решение этого типа PDE, если его правильно дисконтировать, на самом деле является мартингалом . Таким образом, цена опциона - это ожидаемая стоимость дисконтированной выплаты опциона. Расчет цены опциона на основе этого ожидания является подходом нейтрального риска и может выполняться без знания PDE. ^[14] Обратите внимание, что ожидание выплаты по опциону осуществляется не в рамках реальной вероятностной меры , а в рамках искусственной нейтральной по отношению к риску меры , которая отличается от реальной меры. Базовую логику см. В разделе «Оценка без риска» в разделе « Рациональное ценообразование».а также раздел «Ценообразование производных финансовых инструментов: мир Q » в разделе « Математические финансы» ; подробности еще раз см. в Hull. ^{[16] : 307–309}

Греки [ править ]

« Греки » измеряют чувствительность стоимости производного инструмента или портфеля к изменениям значений параметров, сохраняя при этом другие параметры фиксированными. Это частные производные цены по значениям параметров. Одно греческое слово «гамма» (а также другие, не перечисленные здесь) является в данном случае частной производной от другого греческого слова «дельта».

Греки важны не только в математической теории финансов, но и для тех, кто активно торгует. Финансовые учреждения обычно устанавливают (рискуют) предельные значения для каждого из греков, которые их трейдеры не должны превышать. Дельта - самый важный греческий язык, поскольку он обычно сопряжен с наибольшим риском. Многие трейдеры обнуляют свою дельту в конце дня, если они не спекулируют на направлении рынка и не следуют дельта-нейтральному подходу хеджирования, как это определено Блэком – Шоулзом.

Греки для Блэка – Шоулза даны в закрытом виде ниже. Их можно получить дифференцированием формулы Блэка – Шоулза. ^[17]

		Звонки	Ставит
Дельта	${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$	${\displaystyle N(d_{1})\,}$	${\displaystyle -N(-d_{1})=N(d_{1})-1\,}$
Гамма	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}\,}$
Вега	${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \sigma }}}$	${\displaystyle SN'(d_{1}){\sqrt {T-t}}\,}$
Тета	${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}}$	${\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})\,}$	${\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})\,}$
Ро	${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}}$	${\displaystyle K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})\,}$	${\displaystyle -K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})\,}$

Обратите внимание, что из формул ясно, что гамма - это одно и то же значение для коллов и путов, а также вегета - это одно и то же значение для коллов и опционов пут. Это можно увидеть непосредственно из паритета пут-колл , поскольку разница между путом и коллом - это форвард, который линейен по S и не зависит от σ (так что форвард имеет нулевую гамму и нулевую вегу). N '- стандартная нормальная функция плотности вероятности.

На практике некоторые значения чувствительности обычно указываются в уменьшенном масштабе, чтобы соответствовать масштабу вероятных изменений параметров. Например, rho часто делится на 10000 (изменение ставки на 1 базисный пункт), vega на 100 (изменение на 1 пункт vol) и theta на 365 или 252 (спад на 1 день на основе календарных дней или торговых дней в году).

(Вега не является буквой греческого алфавита; название происходит от чтения греческой буквы ν (ню) как буквы V.)

Расширения модели [ править ]

Вышеупомянутая модель может быть расширена для переменных (но детерминированных) ставок и волатильности. Модель также может использоваться для оценки европейских опционов на инструменты, выплачивающие дивиденды. В этом случае доступны закрытые решения, если дивиденд является известной долей цены акции. Американские опционы и опционы на акции, выплачивающие известные денежные дивиденды (в краткосрочной перспективе, более реалистичные, чем пропорциональные дивиденды), труднее оценить, и доступен выбор методов решения (например, решетки и сетки ).

Инструменты, выплачивающие непрерывные дивиденды [ править ]

Для опционов на индексы разумно сделать упрощающее предположение, что дивиденды выплачиваются непрерывно и что размер дивидендов пропорционален уровню индекса.

Выплата дивидендов за период времени моделируется следующим образом:${\displaystyle [t,t+dt]}$

${\displaystyle qS_{t}\,dt}$

для некоторой константы ( дивидендная доходность ).${\displaystyle q}$

При такой формулировке безарбитражная цена, подразумеваемая моделью Блэка – Шоулза, может быть показана как

${\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

и

${\displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,}$

где сейчас

${\displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,}$

модифицированная форвардная цена, которая встречается в условиях :${\displaystyle d_{1},d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)\right]}$

и

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})(T-t)\right]}$. ^[18]

Инструменты, выплачивающие дискретные пропорциональные дивиденды [ править ]

Также возможно расширить структуру Блэка – Шоулза на опционы на инструменты, выплачивающие дискретные пропорциональные дивиденды. Это полезно, когда опцион исполняется по одной акции.

Типичная модель предполагает, что часть стоимости акций выплачивается в заранее определенное время . Цена акции затем моделируется как${\displaystyle \delta }$${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots }$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}$

где - количество выплаченных дивидендов по времени .${\displaystyle n(t)}$${\displaystyle t}$

Цена опциона колл на такую ​​акцию снова

${\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

где сейчас

${\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,}$

- форвардная цена акций, выплачивающих дивиденды.

Американские варианты [ править ]

Проблема определения цены американского опциона связана с проблемой оптимальной остановки, заключающейся в поиске времени для исполнения опциона. Поскольку американский опцион может быть исполнен в любое время до даты истечения срока, уравнение Блэка – Шоулза становится вариационным неравенством вида

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0}$^[19]

вместе с , где обозначает выигрыш по цене акций и терминальное условие: .${\displaystyle V(S,t)\geq H(S)}$${\displaystyle H(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V(S,T)=H(S)}$

В общем, это неравенство не имеет решения в закрытой форме, хотя американский вызов без дивидендов равен европейскому вызову, а метод Ролла – Геске – Уэйли обеспечивает решение для американского вызова с одним дивидендом; ^{[20] [21]} см. Также приближение Блэка .

Barone-Adesi and Whaley ^[22] - еще одна аппроксимационная формула. Здесь стохастическое дифференциальное уравнение (которое действительно для стоимости любого производного инструмента) разделено на два компонента: стоимость европейского опциона и премия за досрочное исполнение. С некоторыми предположениями затем получается квадратное уравнение, которое приближает решение последнего. Это решение включает в себя поиск критического значения , такого, чтобы не было разницы между ранним осуществлением и сохранением зрелости. ^{[23] [24]}${\displaystyle s*}$

Bjerksund и Stensland ^[25] предлагают приближение, основанное на стратегии исполнения, соответствующей триггерной цене. Здесь, если цена базового актива больше или равна цене срабатывания, оптимально исполнить, и значение должно быть равным , в противном случае опцион «сводится к: (i) европейскому восходящему колл-опциону… и (ii) скидка, полученная на дату выбывания, если опцион выбывает до даты погашения ". Формула легко модифицируется для оценки опциона пут с использованием паритета пут – колл . Это приближение является недорогим в вычислительном отношении, а метод является быстрым, и есть свидетельства того, что приближение может быть более точным при ценообразовании опционов с длительным сроком годности, чем Barone-Adesi и Whaley. ^[26]${\displaystyle S-X}$

Бессрочный пут [ править ]

Несмотря на отсутствие общего аналитического решения для американских опционов пут, такую ​​формулу можно вывести для случая бессрочного опциона, что означает, что срок действия опциона никогда не истекает (т. Е. ). ^[27] В этом случае временной спад опциона равен нулю, что приводит к тому, что УЧП Блэка – Шоулза становится ОДУ:${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

Обозначим через нижнюю границу исполнения, ниже которой оптимально исполнение опциона. Граничные условия:${\displaystyle S_{-}}$Решения ОДУ представляют собой линейную комбинацию любых двух линейно независимых решений:При подстановке этого решения в ОДУ для выходов:${\displaystyle S_{-}\leq S}$${\displaystyle i={1,2}}$Перестановка терминов дает:Используя формулу корней квадратного уравнения, можно найти следующие решения :${\displaystyle \lambda _{i}}$Чтобы иметь конечное решение для бесконечного пут, поскольку граничные условия предполагают верхнюю и нижнюю конечные границы на значение пут, необходимо установить , что приводит к решению . Из первого граничного условия известно, что:${\displaystyle A_{1}=0}$${\displaystyle V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}}$Таким образом, стоимость бессрочного пут составляет:Второе граничное условие дает положение нижней границы упражнения:В заключение , бессрочная американская пут-опцион стоит:${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$

Бинарные опционы [ править ]

Решая дифференциальное уравнение Блэка – Шоулза с граничным условием для функции Хевисайда , мы получаем цену опционов, которые платят на одну единицу выше некоторой заранее определенной страйковой цены и ничего ниже. ^[28]

Фактически, формулу Блэка – Шоулза для цены стандартного опциона колл (или опциона пут) можно интерпретировать, разложив опцион колл на опцион колл «актив или ничего» минус опцион колл «деньги или ничего», и аналогичным образом для пут - бинарные опционы легче анализировать и соответствуют двум членам формулы Блэка – Шоулза.

Звонок "наличные или ничего" [ править ]

Выплачивается одна денежная единица, если спот выше страйка на момент погашения. Его значение определяется как

${\displaystyle C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,}$

Положить деньги или ничего [ править ]

Выплачивается одна денежная единица, если спот ниже страйка к сроку погашения. Его значение определяется как

${\displaystyle P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,}$

Обращение по вопросу "актива или ничего" [ править ]

При этом выплачивается одна единица актива, если спот выше страйка на момент погашения. Его значение определяется как

${\displaystyle C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,}$

Размещение актива или ничего [ править ]

Выплачивается одна единица актива, если спот ниже страйка на момент погашения. Его значение определяется как

${\displaystyle P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),}$

Обмен валюты [ править ]

Если мы обозначим S обменный курс FOR / DOM (т. Е. 1 единица иностранной валюты стоит S единиц национальной валюты), мы увидим, что выплата 1 единицы национальной валюты, если спот на дату погашения выше или ниже страйка. точно так же, как колл и пут соответственно наличными или ничего. Точно так же выплата 1 единицы иностранной валюты, если спот на момент погашения выше или ниже страйка, в точности аналогична колл-опциону «актив или ничего» соответственно. Следовательно, если мы теперь возьмем иностранную процентную ставку, внутреннюю процентную ставку и все остальное, как указано выше, мы получим следующие результаты.${\displaystyle r_{FOR}}$${\displaystyle r_{DOM}}$

В случае цифрового вызова (это вызов FOR / put DOM) с выплатой одной единицы национальной валюты, которую мы получаем как текущую стоимость,

${\displaystyle C=e^{-r_{DOM}T}N(d_{2})\,}$

В случае цифрового пут (это пут FOR / call DOM) с выплатой одной единицы национальной валюты мы получаем как приведенную стоимость,

${\displaystyle P=e^{-r_{DOM}T}N(-d_{2})\,}$

В то время как в случае цифрового вызова (это вызов FOR / put DOM) выплаты одной единицы иностранной валюты мы получаем как текущую стоимость,

${\displaystyle C=Se^{-r_{FOR}T}N(d_{1})\,}$

и в случае цифрового пут (это пут FOR / call DOM) с выплатой одной единицы иностранной валюты, которую мы получаем как текущую стоимость,

${\displaystyle P=Se^{-r_{FOR}T}N(-d_{1})\,}$

Перекос [ править ]

В стандартной модели Блэка – Шоулза премию бинарного опциона в нейтральном к риску мире можно интерпретировать как ожидаемую стоимость = вероятность оказаться в деньгах * единица, дисконтированная до приведенной стоимости. Модель Блэка – Шоулза основана на симметрии распределения и игнорирует асимметрию распределения актива. Маркет-мейкеры корректируют такой перекос, вместо использования единого стандартного отклонения для базового актива по всем страйкам, включая переменное, в котором волатильность зависит от цены страйка, таким образом, принимая во внимание перекос волатильности . Перекос имеет значение, потому что он влияет на двоичный файл значительно больше, чем обычные параметры.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma (K)}$

Бинарный опцион колл при длительном истечении срока аналогичен узкому спреду колл с использованием двух обычных опционов. Можно смоделировать стоимость бинарного опциона «деньги или ничего» C при страйке K как бесконечно узкий спред, где является ванильным европейским коллом: ^{[29] [30]}${\displaystyle C_{v}}$

${\displaystyle C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}}$

Таким образом, стоимость бинарного колла является отрицательной производной цены стандартного колла по страйковой цене:

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}}$

Когда принимается во внимание перекос волатильности, это функция :${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

Первый член равен премии бинарного опциона без учета перекоса:

${\displaystyle -{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}}$это Вега ванильного звонка; иногда называют «косым наклоном» или просто «перекосом». Если перекос обычно отрицательный, значение двоичного вызова будет выше с учетом перекоса.${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial K}}}$

${\displaystyle C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}}$

Отношение к грекам ванильных опционов [ править ]

Поскольку двоичный вызов является математической производной от стандартного вызова по отношению к страйку, цена двоичного вызова имеет ту же форму, что и дельта стандартного вызова, а дельта двоичного вызова имеет ту же форму, что и гамма ванильный зов.

Блэк – Скоулз на практике [ править ]

Не все допущения модели Блэка – Шоулза эмпирически верны. Модель широко используется в качестве полезного приближения к реальности, но правильное применение требует понимания ее ограничений - слепое следование модели подвергает пользователя неожиданному риску. ^{[31] [ ненадежный источник? ]} Среди наиболее значительных ограничений:

• недооценка экстремальных движений, приводящая к остаточному риску , который можно хеджировать с помощью опционов « вне денег» ;
• предположение о мгновенной, беззатратной торговле, сопряженной с риском ликвидности , который трудно хеджировать;
• допущение о стационарном процессе, приводящем к риску волатильности , который можно хеджировать с помощью хеджирования волатильности;
• предположение о непрерывности во времени и непрерывной торговле, что приводит к риску разрыва, который можно хеджировать с помощью гамма-хеджирования.

Короче говоря, в то время как в модели Блэка – Шоулза можно идеально хеджировать опционы, просто используя дельта-хеджирование , на практике существует множество других источников риска.

Результаты, полученные с использованием модели Блэка – Шоулза, отличаются от реальных мировых цен из-за упрощающих допущений модели. Одним из существенных ограничений является то, что в действительности цены на ценные бумаги не следуют строгому стационарному логнормальному процессу, а также фактически неизвестна безрисковая процентная ставка (и не является постоянной во времени). Было замечено, что дисперсия непостоянна, что привело к использованию таких моделей, как GARCH, для моделирования изменений волатильности. Расхождения в ценах между эмпирической моделью и моделью Блэка – Шоулза уже давно наблюдаются в отношении опционов, которые намного ниже прибыльных и соответствуют резким изменениям цен; такие события были бы очень редкими, если бы доходность распределялась логнормально, но на практике они наблюдаются гораздо чаще.

Тем не менее, ценообразование Блэка – Шоулза широко используется на практике ^{[3] : 751 [32],} потому что оно:

• легко рассчитать
• полезное приближение, особенно при анализе направления, в котором движутся цены при пересечении критических точек.
• прочная основа для более изысканных моделей
• обратимый, поскольку исходный результат модели, цена, может использоваться в качестве входных данных, а одна из других переменных решается для; Подразумеваемая волатильность, рассчитанная таким образом, часто используется для котирования цен опционов (то есть в качестве соглашения о котировках ).

Первый пункт, очевидно, полезен. Остальные можно обсудить дополнительно:

Полезное приближение: хотя волатильность непостоянна, результаты модели часто помогают настроить хеджирование в правильных пропорциях для минимизации риска. Даже если результаты не совсем точны, они служат первым приближением, к которому можно внести корректировки.

Основа для более совершенных моделей: модель Блэка – Шоулза надежна в том смысле, что ее можно скорректировать, чтобы справиться с некоторыми из ее ошибок. Вместо того, чтобы рассматривать некоторые параметры (такие как волатильность или процентные ставки) как постоянные, их рассматривают как переменные и, таким образом, добавляют источники риска. Это нашло отражение в греках.(изменение стоимости опциона при изменении этих параметров или, что эквивалентно, частных производных по этим переменным), и хеджирование этих греков снижает риск, вызванный непостоянным характером этих параметров. Однако другие дефекты не могут быть устранены путем модификации модели, в частности, хвостовой риск и риск ликвидности, и вместо этого они управляются вне модели, главным образом путем минимизации этих рисков и стресс-тестирования .

Явное моделирование: эта функция означает, что вместо априорного допущения волатильности и расчета цен на ее основе можно использовать модель для определения волатильности, которая дает подразумеваемую волатильность опциона при заданных ценах, сроках действия и ценах исполнения. Решая вопрос о волатильности в течение заданного набора длительностей и страйк-цен, можно построить поверхность подразумеваемой волатильности . В этом приложении модели Блэка – Шоулза преобразование координат из ценовой области в область волатильностиполучается. Вместо того, чтобы указывать цены опционов в долларах за единицу (которые трудно сравнивать по страйкам, длительности и частоте купонов), цены опционов, таким образом, можно указывать с точки зрения подразумеваемой волатильности, что приводит к торговле на волатильности на рынках опционов.

Улыбка непостоянства [ править ]

Одной из привлекательных особенностей модели Блэка – Шоулза является то, что параметры модели, отличные от волатильности (время до погашения, страйк, безрисковая процентная ставка и текущая базовая цена), однозначно наблюдаемы. При прочих равных, теоретическая стоимость опциона является монотонно возрастающей функцией подразумеваемой волатильности.

Вычислив подразумеваемую волатильность для торгуемых опционов с разными страйками и сроками погашения, можно протестировать модель Блэка – Шоулза. Если модель Блэка – Шоулза верна, то подразумеваемая волатильность для конкретной акции будет одинаковой для всех страйков и сроков погашения. На практике поверхность волатильности (трехмерный график подразумеваемой волатильности в зависимости от страйка и срока погашения) не является плоской.

Типичная форма кривой подразумеваемой волатильности для данного срока погашения зависит от базового инструмента. Акции, как правило, имеют наклонные кривые: по сравнению с деньгами , подразумеваемая волатильность существенно выше для низких страйков и немного ниже для высоких страйков. Валюты, как правило, имеют более симметричные кривые, с самой низкой подразумеваемой волатильностью при деньгах и более высокой волатильностью в обоих направлениях. Сырьевые товары часто имеют обратное поведение по сравнению с акциями, с более высокой подразумеваемой волатильностью для более высоких страйков.

Несмотря на существование волатильности улыбки (и нарушение всех других предположений модели Блэка-Шоулза), PDE Блэка-Шоулза и формула Блэка-Шоулза все еще широко используются на практике. Типичный подход состоит в том, чтобы рассматривать поверхность волатильности как факт о рынке и использовать подразумеваемую волатильность от нее в модели оценки Блэка – Шоулза. Это было описано как использование «неправильного числа в неправильной формуле для получения правильной цены». ^[33]Этот подход также дает полезные значения для коэффициентов хеджирования (греки). Даже когда используются более продвинутые модели, трейдеры предпочитают мыслить категориями подразумеваемой волатильности Блэка – Шоулза, поскольку это позволяет им оценивать и сравнивать варианты с разными сроками погашения, страйками и так далее. Для обсуждения различных альтернативных подходов, разработанных здесь, см. Финансовая экономика § Проблемы и критика .

Оценка опционов на облигации [ править ]

Блэка – Шоулза нельзя напрямую применять к ценным бумагам облигаций из-за метода pull-to-par . Когда облигация достигает срока погашения, все цены, связанные с облигацией, становятся известными, что снижает ее волатильность, и простая модель Блэка – Шоулза не отражает этот процесс. Большое количество расширений к модели Блэка – Шоулза, начиная с модели Блэка , было использовано для рассмотрения этого явления. ^[34] См. Опцион на облигации § Оценка .

Кривая процентной ставки [ править ]

На практике процентные ставки не являются постоянными - они варьируются в зависимости от срока (частоты купонов), что дает кривую процентной ставки, которую можно интерполировать для выбора подходящей ставки для использования в формуле Блэка – Шоулза. Еще одно соображение заключается в том, что процентные ставки меняются со временем. Эта волатильность может внести значительный вклад в цену, особенно на долгосрочные опционы. Это похоже на соотношение процентной ставки и цены облигации, которое обратно пропорционально.

Краткосрочный курс акций [ править ]

Открытие короткой позиции по акциям , присущее деривации, обычно не является бесплатным; эквивалентно, можно предоставить длинную позицию по акциям за небольшую плату . В любом случае это можно рассматривать как непрерывный дивиденд для целей оценки Блэка – Шоулза при условии, что нет явной асимметрии между стоимостью заимствования коротких акций и доходом от займов длинных акций. ^{[ необходима цитата ]}

Критика и комментарии [ править ]

Эспен Гардер Хауг и Нассим Николас Талеб утверждают, что модель Блэка – Шоулза просто переделывает существующие широко используемые модели с точки зрения практически невозможного «динамического хеджирования», а не «риска», чтобы сделать их более совместимыми с господствующей неоклассической экономической теорией. ^[35] Они также утверждают, что Бонесс в 1964 году уже опубликовал формулу, которая «фактически идентична» уравнению ценообразования опционов «колл» Блэка – Шоулза. ^[36] Эдвард Торп также утверждает, что догадался по формуле Блэка – Скоулза в 1967 году, но оставил ее при себе, чтобы заработать деньги для своих инвесторов. ^[37] Эмануэль Дермани Нассим Талеб также раскритиковали динамическое хеджирование и заявили, что ряд исследователей выдвигали аналогичные модели до Блэка и Скоулза. ^[38] В ответ Пол Уилмотт защитил модель. ^{[32] [39]}

В своем письме к акционерам Berkshire Hathaway в 2008 году Уоррен Баффет писал: «Я считаю, что формула Блэка – Шоулза, хотя и является стандартом для определения долларовых обязательств по опционам, дает странные результаты при оценке долгосрочного разнообразия. ... Формула Блэка – Шоулза приблизилась к статусу священного писания в финансах ... Однако если формулу применить к длительным периодам времени, она может дать абсурдные результаты. Честно говоря, Блэк и Скоулз почти наверняка хорошо понимали этот момент. . Но их преданные последователи могут игнорировать любые оговорки, сделанные двумя мужчинами, когда они впервые раскрыли формулу ". ^[40]

Британский математик Ян Стюарт - автор книги 2012 года « В погоне за неизвестным: 17 уравнений, изменивших мир» ^{[41] [42]} - сказал, что Блэк-Шоулз «поддерживал массовый экономический рост», а «международная финансовая система торговала деривативы оценивались в один квадриллион долларов в год »к 2007 году. Он сказал, что уравнение Блэка-Шоулза было« математическим обоснованием торговли »- и, следовательно, -« одним из ингредиентов богатого рагу финансовой безответственности, политической некомпетентности, порочных стимулов и слабое регулирование », что способствовало финансовому кризису 2007–2008 годов . ^[43] Он пояснил, что «уравнение само по себе не было реальной проблемой»,но злоупотребление им в финансовой индустрии.^[43]

См. Также [ править ]

• Биномиальная модель опционов , дискретный численный метод расчета цен опционов
• Модель Блэка, вариант модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза.
• Black Shoals , произведение финансового искусства
• Броуновская модель финансовых рынков
• Финансовая математика (содержит список статей по теме)
• Метод нечеткой выплаты для оценки реальных опционов
• Уравнение теплопроводности , в которое можно преобразовать УЧП Блэка – Шоулза
• Скачок диффузии
• Модель опционов Монте-Карло с использованием моделирования при оценке опционов со сложными характеристиками
• Анализ реальных опционов
• Стохастическая волатильность

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Основные ссылки [ править ]

• Блэк, Фишер; Майрон Скоулз (1973). «Стоимость опционов и корпоративных обязательств». Журнал политической экономии . 81 (3): 637–654. DOI : 10,1086 / 260062 . S2CID  154552078 . [2] (Оригинальная статья Блэка и Скоулза.)
• Мертон, Роберт С. (1973). «Теория рационального ценообразования». Белл Журнал экономики и менеджмента . Корпорация РЭНД. 4 (1): 141–183. DOI : 10.2307 / 3003143 . hdl : 10338.dmlcz / 135817 . JSTOR  3003143 . [3]
• Халл, Джон С. (1997). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Прентис Холл. ISBN 0-13-601589-1.

Историко-социологические аспекты [ править ]

• Бернштейн, Питер (1992). Капитальные идеи: невероятное происхождение современной Уолл-стрит . Свободная пресса. ISBN 0-02-903012-9.
• Дерман, Эмануэль. "Моя жизнь как квант" John Wiley & Sons, Inc. 2004. ISBN 0471394203 
• Маккензи, Дональд (2003). «Уравнение и его миры: бриколаж, примеры, разобщенность и перформативность в финансовой экономике» (PDF) . Общественные науки . 33 (6): 831–868. DOI : 10.1177 / 0306312703336002 . hdl : 20.500.11820 / 835ab5da-2504-4152-ae5b-139da39595b8 . S2CID  15524084 . [4]
• Маккензи, Дональд; Юваль Милло (2003). «Построение рынка, теория выполнения: историческая социология биржи производных финансовых инструментов». Американский журнал социологии . 109 (1): 107–145. CiteSeerX  10.1.1.461.4099 . DOI : 10.1086 / 374404 . S2CID  145805302 . [5]
• Маккензи, Дональд (2006). Двигатель, а не камера: как финансовые модели формируют рынки . MIT Press. ISBN 0-262-13460-8.
• Мандельброт и Хадсон, Основные книги "(Неправильное) поведение рынков", 2006 г. ISBN 9780465043552 
• Шпиро, Джордж Г. , Ценообразование в будущем: финансы, физика и 300-летний путь к уравнению Блэка – Шоулза; История гения и открытий (New York: Basic, 2011) 298 стр.
• Талеб, Нассим. «Динамическое хеджирование» John Wiley & Sons, Inc. 1997. ISBN 0471152803 
• Торп, Эд. "Человек для всех рынков" Random House, 2017. ISBN 9781400067961 

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хауг, Э. Г (2007). «Оценка опционов и хеджирование от теории к практике». Производные: модели на моделях . Вайли. ISBN 978-0-470-01322-9. В книге приводится ряд исторических ссылок, подтверждающих теорию о том, что опционные трейдеры используют гораздо более надежные принципы хеджирования и ценообразования, чем модель Блэка, Шоулза и Мертона.
• Триана, Пабло (2009). Чтение лекций о полетах птиц: могут ли математические теории разрушить финансовые рынки? . Вайли. ISBN 978-0-470-40675-5. В книге критически рассматривается модель Блэка, Скоулза и Мертона.

Внешние ссылки [ править ]

Обсуждение модели [ править ]

• Аджай Шах. Блэк, Мертон и Скоулз: их работа и ее последствия. Экономический и политический еженедельник, XXXII (52): 3337–3342, декабрь 1997 г.
• Математическое уравнение, которое привело к краху банков , Ян Стюарт в The Observer , 12 февраля 2012 г.
• Когда нельзя постоянно хеджировать: поправки к Блэку – Скоулзу , Эмануэль Дерман
• The Skinny On Options TastyTrade Show (архивы)

Вывод и решение [ править ]

• Вывод уравнения Блэка – Шоулза для стоимости опциона , профессор Тайер Уоткинс
• Решение уравнения Блэка – Шоулза с помощью функции Грина , профессор Деннис Сильверман
• Решение на основе нейтрального с точки зрения риска ценообразования или подхода PDE с использованием преобразований Фурье (включая обсуждение других типов опционов), Саймон Леже
• Пошаговое решение PDE Блэка – Шоулза , planetmath.org.
• Разъяснительная статья математика Теренса Тао по уравнениям Блэка – Шоулза .

Компьютерные реализации [ править ]

• Блэк – Шоулз на нескольких языках
• Блэк – Скоулз в Java - переход по ссылке ниже -
• Блэк – Скоулз на Яве
• Модель ценообразования на опционы в Чикаго (графическая версия)
• Модель предполагаемой поверхности волатильности Блэка – Шоулза – Мертона (Java)
• Онлайн-калькулятор Блэка – Шоулза

Исторический [ править ]

• Ставка на триллион долларов - веб-сайт, посвященный эпизоду «Нова», первоначально транслировавшемуся 8 февраля 2000 года. «Фильм рассказывает увлекательную историю изобретения формулы Блэка – Шоулза, математического Священного Грааля, который навсегда изменил мир финансов и заработал его создатели Нобелевской премии по экономике 1997 г. ".
• BBC Horizon Телепрограмма о так называемой формуле Мидаса и банкротстве Long-Term Capital Management (LTCM)
• BBC News Magazine Блэк – Скоулз: Математическая формула, связанная с финансовым крахом (статья от 27 апреля 2012 г.)