Блуждающий набор
В динамических системах и эргодической теории понятие блуждающего множества формализует некоторую идею движения и перемешивания . Когда динамическая система имеет блуждающее множество ненулевой меры, то система является диссипативной системой . Это противоположно консервативной системе , к которой применима теорема о возвращении Пуанкаре . Интуитивно связь между блуждающими множествами и диссипацией понятна: если часть фазового пространства"блуждает" во время нормального развития системы во времени и больше никогда не посещается, то система является диссипативной. Язык блуждающих множеств можно использовать для точного математического определения понятия диссипативной системы. Понятие блуждающих множеств в фазовом пространстве было введено Биркгофом в 1927 году .
Обычное определение блуждающих множеств с дискретным временем начинается с карты топологического пространства X . Точка называется блуждающей, если существует окрестность U точки x и положительное целое число N такое, что для всех итерированная карта не пересекается:
Более удобное определение требует только, чтобы пересечение имело нулевую меру . Чтобы быть точным, определение требует, чтобы X было пространством с мерой , т. е. частью тройки борелевских множеств, и такой мерой , что
для всех . Точно так же система с непрерывным временем будет иметь карту, определяющую временную эволюцию или поток системы, при этом оператор временной эволюции является однопараметрическим непрерывным абелевым групповым действием на X :
В таком случае блуждающая точка будет иметь окрестность U точки x и время T такое, что для всех времен карта, эволюционировавшая во времени, имеет нулевую меру:
Эти более простые определения могут быть полностью обобщены на групповое действие топологической группы . Пусть — пространство с мерой, т. е. множество с мерой , определенной на его борелевских подмножествах . Пусть — группа, действующая на этом множестве. Учитывая точку , множество
