В теории управления и теории устойчивости , то критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Стрекер-Найквиста , независимо друг от друга обнаружили , немецким инженером - электриком Феликса Штрекера в Siemens в 1930 [1] [2] [3] и шведско-американский инженер - электрик Найквист в Bell Telephone Laboratories в 1932, [4] представляет собой графический метод для определения стабильности в виде динамической системы . Потому что он смотрит только на сюжет НайквистаДля систем с разомкнутым контуром его можно применять без явного вычисления полюсов и нулей замкнутой или разомкнутой системы (хотя необходимо знать количество каждого типа особенностей правой полуплоскости). В результате его можно применять к системам, определяемым нерациональными функциями , например к системам с задержками. В отличие от графиков Боде , он может обрабатывать передаточные функции с особенностями правой полуплоскости. Кроме того, существует естественное обобщение для более сложных систем с множеством входов и выходов , таких как системы управления самолетами.
Критерий Найквиста широко используется в электронике и проектировании систем управления , а также в других областях для проектирования и анализа систем с обратной связью . Хотя Найквист является одним из наиболее общих тестов на стабильность, он по-прежнему ограничен линейными инвариантными во времени (LTI) системами. Нелинейные системы должны использовать более сложные критерии устойчивости , такие как критерий Ляпунова или критерий круга . Хотя Найквист представляет собой графический метод, он дает лишь ограниченное представление о том, почему система стабильна или нестабильна, или как изменить нестабильную систему, чтобы сделать ее стабильной. Такие методы, как графики Боде, хотя и менее общие, иногда являются более полезным инструментом проектирования.
Сюжет Найквиста
Афчх представляет собой параметрическое участок частотного отклика , используемый в автоматическом управлении и обработке сигналов . Чаще всего графики Найквиста используются для оценки стабильности системы с обратной связью . В декартовой системе координат , то действительная часть из передаточной функции строится на X оси Оу. Мнимая часть нанесена на Y оси. Частота качается как параметр, в результате чего получается график для каждой частоты. Тот же график можно описать с помощью полярных координат , где усиление передаточной функции - это радиальная координата, а фаза передаточной функции - соответствующая угловая координата. Сюжет Найквиста назван в честь Гарри Найквиста , бывшего инженера Bell Laboratories .
Оценка устойчивости замкнутой системы отрицательной обратной связи выполняется путем применения критерия устойчивости Найквиста к графику Найквиста разомкнутой системы (то есть той же системы без ее обратной связи ). Этот метод легко применим даже для систем с задержками и другими нерациональными передаточными функциями, которые могут оказаться трудными для анализа другими методами. Устойчивость определяется по количеству окружностей точки (−1, 0). Диапазон коэффициентов усиления, в котором система будет стабильной, можно определить, посмотрев на пересечения реальной оси.
График Найквиста может предоставить некоторую информацию о форме передаточной функции. Так , например, участок содержит информацию о разности между числом нулей и полюсов в передаточной функции [5] на угол , при котором кривая приближается к началу координат.
При рисовании от руки иногда используется мультяшная версия графика Найквиста, которая показывает линейность кривой, но где координаты искажены, чтобы показать больше деталей в интересующих областях. При построении графика с помощью вычислений нужно быть осторожным, чтобы охватить все интересующие частоты. Обычно это означает, что параметр изменяется логарифмически, чтобы охватить широкий диапазон значений.
Задний план
Рассмотрим систему, передаточная функция которой ; при помещении в замкнутый контур с отрицательной обратной связью, тогда передаточная функция с обратной связью (CLTF) становится. Устойчивость можно определить, исследуя корни полинома коэффициента нечувствительности, например, используя массив Рауса , но этот метод несколько утомителен. Выводы также можно сделать, изучив передаточную функцию разомкнутого контура (OLTF)., используя его графики Боде или, как здесь, его полярный график с использованием критерия Найквиста, как показано ниже.
Любая передаточная функция области Лапласаможно выразить как отношение двух многочленов :
Корни называются нули из, и корни являются полюсами из. Полюсатакже называются корнями характеристического уравнения .
Стабильность определяется значениями его полюсов: для устойчивости действительная часть каждого полюса должна быть отрицательной. Если формируется путем замыкания отрицательной единичной обратной связи вокруг передаточной функции разомкнутого контура , то корни характеристического уравнения также являются нулями , или просто корни .
Принцип аргумента Коши
Из комплексного анализа контур нарисованный в комплексе плоскость, охватывающая, но не проходящая через любое количество нулей и полюсов функции , может быть сопоставлен с другой плоскостью (названной плоскости) функцией . Точно каждая сложная точка в контуре отображается в точку в новом плоскость, дающая новый контур.
Сюжет Найквиста , который является контуром окружит точку принадлежащий самолет раз, где по принципу аргумента Коши . Здесь а также - соответственно количество нулей и полюса внутри контура . Обратите внимание, что мы считаем окружения в плоскость в том же смысле, что и контур и что окружения в противоположном направлении - это отрицательные окружения. То есть мы считаем окружности по часовой стрелке положительными, а окружности против часовой стрелки - отрицательными.
Вместо принципа аргумента Коши в оригинальной статье Гарри Найквиста 1932 года используется менее элегантный подход. Подход, описанный здесь, аналогичен подходу, используемому Лерой Макколлом (Фундаментальная теория сервомеханизмов, 1945) или Хендриком Боде (Сетевой анализ и конструкция усилителя обратной связи, 1945), оба из которых также работали в Bell Laboratories . Этот подход встречается в большинстве современных учебников по теории управления.
Критерий Найквиста
Сначала мы построим контур Найквиста , контур, охватывающий правую половину комплексной плоскости:
- путь, идущий вверх по ось, от к .
- полукруглая дуга с радиусом , который начинается в и путешествует по часовой стрелке в .
Контур Найквиста, отображаемый через функцию дает график в комплексной плоскости. По принципу аргумента, количество окружностей начала координат по часовой стрелке должно быть количеством нулей в правой половине комплексной плоскости за вычетом числа полюсов в правой половине комплексной плоскости. Если вместо этого контур отображается через передаточную функцию разомкнутого контура, Результат является афчм из. Подсчитывая окружности результирующего контура, равные −1, мы находим разницу между количеством полюсов и нулей в правой полуполуплексной плоскости. Напоминая, что нули являются полюсами замкнутой системы, и отмечая, что полюса такие же, как полюса , сформулируем критерий Найквиста :
Учитывая контур Найквиста , позволять быть числом полюсов окруженный , а также быть количеством нулей окруженный . В качестве альтернативы, что более важно, если - количество полюсов замкнутой системы в правой полуплоскости, а число полюсов передаточной функции разомкнутого контура в правой полуплоскости результирующий контур в -самолет, будет охватывать (по часовой стрелке) точку раз такие, что .
Если система изначально нестабильна с разомкнутым контуром, необходима обратная связь для стабилизации системы. Полюса правой полуплоскости (RHP) представляют эту нестабильность. Для обеспечения устойчивости системы с обратной связью количество корней с обратной связью в правой половине s- плоскости должно быть равно нулю. Следовательно, количество обходов против часовой стрелки околодолжно быть равно количеству полюсов разомкнутого контура в RHP. Любое окружение критической точки по часовой стрелке частотной характеристикой разомкнутого контура (при оценке от низкой частоты к высокой) будет указывать на то, что система управления с обратной связью будет дестабилизировать, если контур будет замкнут. (Использование нулей RHP для «нейтрализации» полюсов RHP не устраняет нестабильность, а скорее гарантирует, что система останется нестабильной даже при наличии обратной связи, поскольку корни замкнутого контура перемещаются между полюсами разомкнутого контура и нулями в присутствии обратной связи. Фактически, нулевое значение RHP может сделать нестабильный полюс ненаблюдаемым и, следовательно, не стабилизируемым посредством обратной связи.)
Критерий Найквиста для систем с полюсами на мнимой оси
Вышеупомянутое рассмотрение проводилось в предположении, что передаточная функция разомкнутого контура не имеет полюса на мнимой оси (т.е. полюса формы ). Это вытекает из требования принципа аргумента, что контур не может проходить через какой-либо полюс функции отображения. Чаще всего встречаются системы с интеграторами (полюсы в нуле).
Чтобы иметь возможность анализировать системы с полюсами на воображаемой оси, контур Найквиста может быть изменен, чтобы избежать прохождения через точку . Один из способов сделать это - построить полукруглую дугу с радиусом вокруг , который начинается в и движется против часовой стрелки к . Такая модификация означает, что фазор движется по дуге бесконечного радиуса на , где - кратность полюса на мнимой оси.
Математический вывод
Наша цель состоит в том, чтобы посредством этого процесса проверить стабильность передаточной функции нашей единичной системы обратной связи с коэффициентом усиления k , который определяется выражением
То есть, мы хотели бы проверить, действительно ли характеристическое уравнение указанной выше передаточной функции, заданное формулой
имеет нули за пределами открытой левой полуплоскости (обычно инициализируется как OLHP).
Предположим, что у нас есть контур по часовой стрелке (т.е. отрицательно ориентированный) охватывая правую полуплоскость, с углублениями по мере необходимости, чтобы избежать прохождения нулей или полюсов функции . Принцип аргумента Коши гласит, что
Где обозначает количество нулей заключен в контур и обозначает количество полюсов по такому же контуру. Переставляя, мы имеем, то есть
Затем отметим, что имеет точно такие же полюсы, что и . Таким образом, мы можем найти путем подсчета полюсов которые появляются внутри контура, то есть в открытой правой полуплоскости (ORHP).
Теперь переставим указанный выше интеграл с помощью подстановки. То есть установка, у нас есть
Затем мы производим дальнейшую замену, устанавливая . Это дает нам
Теперь отметим, что дает нам изображение нашего контура под , то есть наш сюжет Найквиста . Мы можем дополнительно уменьшить интеграл
применяя интегральную формулу Коши . Фактически, мы находим, что указанный выше интеграл точно соответствует тому количеству раз, когда график Найквиста охватывает точкупо часовой стрелке. Таким образом, мы можем окончательно констатировать, что
Таким образом, мы находим, что как определено выше, соответствует стабильной системе с единичной обратной связью, когда , как оценено выше, равно 0.
Резюме
- Если передаточная функция разомкнутого контура имеет нулевой полюс кратности , то график Найквиста имеет разрыв при . При дальнейшем анализе следует исходить из того, что вектор перемещаетсяраз по часовой стрелке по полукругу бесконечного радиуса. После применения этого правила нулевыми полюсами следует пренебречь, т.е. если других нестабильных полюсов нет, то передаточная функция разомкнутого контура следует считать стабильным.
- Если передаточная функция разомкнутого контура устойчива, то замкнутая система неустойчива при любом окружении точки −1.
- Если передаточная функция разомкнутого контура является нестабильным , то должен быть один счетчик -clockwise окружение -1 для каждого полюса в правой половине комплексной плоскости.
- Количество избыточных окружений ( N + P больше 0) в точности равно количеству нестабильных полюсов замкнутой системы.
- Однако, если график проходит через точку , то принятие решения даже о предельной устойчивости системы становится трудным, и единственный вывод, который можно сделать из графика, состоит в том, что существуют нули на ось.
Смотрите также
- BIBO стабильность
- Сюжет Боде
- Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.
- Маржа прироста
- Заговор Николса
- Холл круги
- Запас по фазе
- Критерий устойчивости Баркгаузена
- Критерий круга
- Техника управления
- Ганкеля сингулярное значение
Рекомендации
- ^ Reinschke, Курт (2014). "Глава 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist" . Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (на немецком языке) (2-е изд.). Springer-Verlag . п. 184. ISBN 978-3-64240960-8. Проверено 14 июня 2019 .
- ^ Бисселл, Кристофер С. (2001). «Изобретая« черный ящик »: математика как забытая технология в истории коммуникационной техники» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала на 2019-06-14 . Проверено 14 июня 2019 .
- ^ Стрекер, Феликс (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (на немецком языке). Штутгарт, Германия: S. Hirzel Verlag . (NB. Более ранние работы можно найти в разделе литературы.)
- ^ Найквист, Гарри (январь 1932 г.). «Теория регенерации» . Технический журнал Bell System . США: Американская телефонная и телеграфная компания (AT&T). 11 (1): 126–147. DOI : 10.1002 / j.1538-7305.1932.tb02344.x .
- ^ Афчх в архив 2008-09-30 в Wayback Machine
дальнейшее чтение
- Фолкнер, EA (1969): Введение в теорию линейных систем ; Чепмен и Холл; ISBN 0-412-09400-2
- Пиппард, AB (1985): Ответ и стабильность ; Издательство Кембриджского университета; ISBN 0-521-31994-3
- Гессинг, Р. (2004): Основы управления ; Силезский технологический университет; ISBN 83-7335-176-0
- Франклин, Г. (2002): Управление динамическими системами с обратной связью ; Прентис Холл, ISBN 0-13-032393-4
Внешние ссылки
- Апплеты с изменяемыми параметрами
- EIS Spectrum Analyzer - бесплатная программа для анализа и моделирования спектров импеданса
- Функция MATLAB для создания графика Найквиста частотной характеристики модели динамической системы.
- Формирование графика ПИД-регулятора Найквиста - бесплатный интерактивный виртуальный инструмент, симулятор контура управления
- Функция Mathematica для создания графика Найквиста