Ориентируемость
В математике ориентируемость — это свойство некоторых топологических пространств , таких как вещественные векторные пространства , евклидовы пространства , поверхности и, в более общем смысле , многообразия , которое позволяет последовательно определить «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». [1] Пространство ориентируемо , если такое непротиворечивое определение существует. В этом случае возможны два определения, и выбор между ними есть ориентация пространства. Вещественные векторные пространства, евклидовы пространства и сферы ориентируемы. Пространство не ориентируетсяесли «по часовой стрелке» изменится на «против часовой стрелки» после прохождения в нем нескольких циклов и возврата к исходной точке. Это означает, что геометрическая фигура , например 
, непрерывно движущаяся по такой петле, изменяется в своем собственном зеркальном отображении 
. Лента Мёбиуса является примером неориентируемого пространства.
Могут быть даны различные эквивалентные формулировки ориентируемости в зависимости от желаемого применения и уровня общности. Формулировки, применимые к общим топологическим многообразиям, часто используют методы теории гомологии , тогда как для дифференцируемых многообразий присутствует больше структуры, что позволяет формулировать в терминах дифференциальных форм . Обобщением понятия ориентируемости пространства является ориентируемость семейства пространств, параметризованного некоторым другим пространством ( расслоением ), для которого необходимо выбрать ориентацию в каждом из пространств, непрерывно изменяющуюся относительно изменений в пространстве. значения параметров.
Поверхность S в евклидовом пространстве R 3 ориентируема, если двумерную фигуру (например, ) нельзя перемещать по поверхности и обратно в исходное положение так, чтобы она выглядела как собственное зеркальное отражение ( ). В противном случае поверхность неориентируема . Абстрактная поверхность (т. е. двумерное многообразие ) является ориентируемой, если на поверхности можно непрерывным образом определить непротиворечивое понятие вращения по часовой стрелке. Другими словами, петля, огибающая поверхность в одном направлении, никогда не может непрерывно деформироваться (без перекрытия самой себя) в петлю, огибающую противоположную сторону. Это оказывается эквивалентным вопросу о том, не содержит ли поверхность подмножества, которое гомеоморфна ленте Мёбиуса . Таким образом, для поверхностей ленту Мёбиуса можно считать источником всей неориентируемости.
Для ориентируемой поверхности последовательный выбор «по часовой стрелке» (в отличие от против часовой стрелки) называется ориентацией , а поверхность называется ориентированной . Для поверхностей, вложенных в евклидово пространство, ориентация задается выбором непрерывно меняющейся нормали к поверхности n в каждой точке. Если такая нормаль вообще существует, то всегда есть два способа ее выбора: n или − n . В более общем смысле ориентируемая поверхность допускает ровно две ориентации, и различие между ориентированной поверхностью и ориентируемойповерхность тонкая и часто размытая. Ориентируемая поверхность — это абстрактная поверхность, допускающая ориентацию, а ориентированная поверхность — это абстрактно ориентируемая поверхность, имеющая дополнительные данные выбора одной из двух возможных ориентаций.
Большинство поверхностей, с которыми мы сталкиваемся в физическом мире, можно ориентировать. Например, ориентируемы сферы , плоскости и торы . Но ленты Мёбиуса , реальные проективные плоскости и бутылки Клейна неориентируемы. Все они, визуализированные в 3-х измерениях, имеют только одну сторону. Реальная проективная плоскость и бутылка Клейна не могут быть вложены в R 3 , только погружены с хорошими пересечениями.
Обратите внимание, что локально встроенная поверхность всегда имеет две стороны, поэтому близорукий муравей, ползущий по односторонней поверхности, подумает, что есть «другая сторона». Суть односторонности в том, что муравей может переползти с одной стороны поверхности на «другую», не проходя сквозь поверхность и не перепрыгивая через край, а просто проползая достаточно далеко.
