Внутреннее пространство продукта

В математике пространство внутреннего произведения (или, реже, хаусдорфово предгильбертово пространство ^{[1] [2]} ) — это вещественное векторное пространство или комплексное векторное пространство с операцией , называемой скалярным произведением. Внутреннее произведение двух векторов в пространстве есть скаляр , часто обозначаемый угловыми скобками , например, в . Внутренние произведения позволяют формальные определения интуитивно понятных геометрических понятий, таких как длины, углы и ортогональность (нулевой скалярный продукт) векторов. Пространства внутренних произведений обобщают евклидовы векторные пространства.${\ Displaystyle \ Лангле а, б \ рангл}$, в котором внутренний продукт является точечным произведением или скалярным произведением декартовых координат . Пространства внутренних произведений бесконечной размерности широко используются в функциональном анализе . Пространства внутренних произведений над полем комплексных чисел иногда называют унитарными пространствами . Первое использование концепции векторного пространства со скалярным произведением связано с Джузеппе Пеано в 1898 году. ^[3]

Внутренний продукт естественным образом индуцирует соответствующую норму (обозначена и на рисунке); поэтому каждое внутреннее пространство продукта является нормированным векторным пространством . Если это нормированное пространство также является полным (то есть банаховым пространством ), то пространство внутреннего произведения является гильбертовым пространством . ^[1] Если пространство внутреннего произведения H не является гильбертовым пространством, оно может быть расширено до гильбертова пространства путем пополнения . Это означает, что линейное подпространство внутреннего произведения является ограничением пространства и${\ Displaystyle | х |}$${\ Displaystyle | у |}$${\ displaystyle {\ overline {H}}.}$${\ Displaystyle Н}$${\ displaystyle {\ overline {H}},}$${\ Displaystyle Н}$${\ displaystyle {\ overline {H}},}$${\ Displaystyle Н}$плотно в для топологии , определяемой нормой. ^{[1] [4]}${\displaystyle {\overline {H}}}$

В этой статье F обозначает поле , которое представляет собой либо действительные числа , либо комплексные числа . Таким образом, скаляр является элементом F . Черта над выражением, представляющим скаляр, обозначает комплексное сопряжение этого скаляра. Нулевой вектор обозначается для отличия его от скаляра 0 .${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Пространство внутреннего произведения — это векторное пространство V над полем F вместе со скалярным произведением , то есть отображением

который удовлетворяет следующим трем свойствам для всех векторов и всех скаляров . ^{[5] [6]}${\displaystyle x,y,z\in V}$${\displaystyle a,b\in F}$