Частичное дробное разложение
В алгебре разложение частичной дроби или разложение частичной дроби рациональной дроби (то есть дроби , в которой числитель и знаменатель являются полиномами ) — это операция, состоящая в выражении дроби в виде суммы многочлена (возможно, нулевого ) и одну или несколько дробей с более простым знаменателем. [1]
Важность разложения на неполные дроби заключается в том, что оно предоставляет алгоритмы для различных вычислений с рациональными функциями , включая явное вычисление первообразных , [2] разложения в ряд Тейлора , обратные Z-преобразования и обратные преобразования Лапласа . Концепция была открыта независимо друг от друга в 1702 году Иоганном Бернулли и Готфридом Лейбницем . [3]
В символах разложение на неполные дроби рациональной дроби формы, где f и g - многочлены, представляет собой ее выражение как
где p ( x ) — полином, и для каждого j знаменатель g j ( x ) — степень неприводимого полинома ( который не разлагается на полиномы положительной степени), а числитель f j ( x ) есть многочлен меньшей степени, чем степень этого неприводимого многочлена.
Когда задействованы явные вычисления, часто предпочтительнее более грубое разложение, которое состоит в замене «неприводимого многочлена» на « полином без квадратов » в описании результата. Это позволяет заменить полиномиальную факторизацию гораздо более простой для вычисления бесквадратной факторизацией . Этого достаточно для большинства приложений и позволяет избежать введения иррациональных коэффициентов , когда коэффициенты входных полиномов являются целыми или рациональными числами .
быть рациональной дробью , где F и G являются одномерными полиномами от неопределенного x над полем. Существование частичной дроби можно доказать, применяя по индукции следующие шаги редукции.