Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
FDTD схема для рассеяния света задачи. Полосатые границы соответствуют идеально подобранным слоям, которые используются для моделирования открытых границ путем поглощения исходящих волн.

Идеально соответствуют слой ( PML ) представляет собой искусственный поглощая слой для волновых уравнений , обычно используется для усечения вычислительных областей в численных методах для моделирования проблемы с открытыми границами, особенно в FDTD и FE методами. [1] [2] Ключевым свойством PML, которое отличает его от обычного поглощающего материала, является то, что он спроектирован так, что волны, падающие на PML из среды, отличной от PML, не отражаются на границе раздела - это свойство позволяет PML чтобы сильно поглощать исходящие волны изнутри вычислительной области, не отражая их обратно внутрь.

PML был первоначально сформулирован Беренджером в 1994 году [3] для использования с уравнениями Максвелла , и с тех пор было несколько связанных переформулировок PML как для уравнений Максвелла, так и для других уравнений волнового типа, таких как эластодинамика [4], линеаризованная Уравнения Эйлера, уравнения Гельмгольца и пороупругость. Первоначальная формулировка Беренджера называется PML с расщепленным полем , потому что она разделяет электромагнитные поля на два нефизических поля в области PML. Более поздняя формулировка , которая становится все более популярным из - за своей простоты и эффективности называют одноосным PML или UPML , [5]в котором PML описывается как искусственный анизотропный поглощающий материал. Хотя и формулировка Беренджера, и UPML были первоначально получены путем создания вручную условий, при которых падающие плоские волны не отражаются от границы раздела PML от однородной среды, позднее было показано , что обе формулировки эквивалентны гораздо более элегантному и общему подходу: растянутый - координата PML . [6] [7] В частности, было показано, что PML соответствуют преобразованию координат, в котором одна (или несколько) координат отображаются в комплексные числа ; технически это на самом деле аналитическое продолжениеволнового уравнения в комплексные координаты, заменяя распространяющиеся (колеблющиеся) волны экспоненциально затухающими волнами. Эта точка зрения позволяет выводить PML для неоднородных сред, таких как волноводы , а также для других систем координат и волновых уравнений. [8] [9]

Техническое описание [ править ]

В частности, для PML, предназначенного для поглощения волн, распространяющихся в направлении x , следующее преобразование включено в волновое уравнение. Где бы в волновом уравнении ни фигурировала производная x , она заменяется на:

где - угловая частота и - некоторая функция от x . Где положительный, распространяющиеся волны ослабляются, потому что:

где мы взяли плоскую волну, распространяющуюся в направлении + x (для ), и применили преобразование (аналитическое продолжение) к комплексным координатам: или, что то же самое . Такое же преобразование координат заставляет волны затухать всякий раз, когда их зависимость от x имеет форму для некоторой постоянной распространения k : это включает плоские волны, распространяющиеся под некоторым углом к оси x, а также поперечные моды волновода.

Вышеупомянутое преобразование координат может быть оставлено как есть в преобразованных волновых уравнениях или может быть объединено с описанием материала (например, диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью в уравнениях Максвелла) для формирования описания UPML. Коэффициент σ / ω зависит от частоты - это значит, что коэффициент затухания пропорционален k / ω, который не зависит от частоты в однородном материале (не включая дисперсию материала , например, для вакуума ) из-за дисперсионного соотношения между ω и k . Однако эта частотная зависимость означает, что реализация PML во временной области , например, в FDTDМетод является более сложным, чем для частотно-независимого поглотителя, и включает подход вспомогательного дифференциального уравнения (ADE) (эквивалентно, i / ω появляется как интеграл или свертка во временной области).

Идеально согласованные слои в своей первоначальной форме только ослабляют распространяющиеся волны; чисто затухающие волны (экспоненциально затухающие поля) осциллируют в PML, но не затухают быстрее. Однако затухание затухающих волн также можно ускорить, включив в PML растяжение реальных координат: это соответствует превращению σ в приведенном выше выражении в комплексное число , где мнимая часть дает растяжение реальных координат, которое вызывает затухание затухающих волн в большей степени. быстро.

Ограничения идеально подобранных слоев [ править ]

PML широко используется и стал предпочтительным методом захвата границ во многих областях вычислительного электромагнетизма. [1] Хотя в большинстве случаев он работает хорошо, есть несколько важных случаев, когда он выходит из строя, страдая от неизбежных отражений или даже экспоненциального роста.

Одно предупреждение с идеально подобранными слоями заключается в том, что они являются безотражающими только для точного уравнения непрерывной волны. После дискретизации волнового уравнения для моделирования на компьютере появляются небольшие числовые отражения (которые исчезают с увеличением разрешения). По этой причине коэффициент поглощения PML σ обычно включается постепенно от нуля (например, квадратично ) на коротком расстоянии по шкале длины волны. [1]В общем, любой поглотитель, будь то PML или нет, является безотражающим в пределе, когда он включается достаточно постепенно (и поглощающий слой становится толще), но в дискретной системе преимущество PML заключается в уменьшении «перехода» конечной толщины. отражение на много порядков по сравнению с простым изотропным коэффициентом поглощения. [10]

В некоторых материалах существуют решения с «обратной волной», в которых групповая и фазовая скорости противоположны друг другу. Это происходит в "левосторонних" метаматериалах с отрицательным показателем преломления для электромагнетизма, а также для акустических волн в определенных твердых материалах, и в этих случаях стандартная формулировка PML нестабильна: она приводит к экспоненциальному росту, а не убыванию просто потому, что знак k равен перевернул в анализе выше. [11] К счастью, в левой среде (для которой все волны обращены вспять) есть простое решение: просто поменять знак σ. Однако сложность заключается в том, что физические левосторонние материалы являются дисперсными.: они левосторонние только в определенном частотном диапазоне, поэтому коэффициент σ должен быть зависящим от частоты. [12] [13] К сожалению, даже без экзотических материалов, можно спроектировать определенные волноводные структуры (например, полую металлическую трубку с цилиндром с высоким показателем преломления в центре), которые демонстрируют решения как для обратной, так и для прямой волны на одной и той же частоте. , такой, что любой выбор знака для σ приведет к экспоненциальному росту, и в таких случаях PML оказывается непоправимо нестабильным. [14]

Другое важное ограничение PML состоит в том, что он требует, чтобы среда была инвариантной в направлении, ортогональном границе, чтобы поддерживать аналитическое продолжение решения до комплексных координат (комплексное «растяжение координат»). Как следствие, подход PML больше не применим (больше не является безотражательным при бесконечном разрешении) в случае периодических сред (например, фотонных кристаллов или фононных кристаллов ) [10] или даже просто волновода, который входит в границу под косым углом. [15]

См. Также [ править ]

  • Метод Каньяра – де Хупа

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c Аллен Тафлов и Сьюзен К. Хагнесс (2005). Вычислительная электродинамика: метод конечных разностей во временной области, 3-е изд . Издательство Artech House. ISBN 978-1-58053-832-9.
  2. ↑ С. Г. Джонсон, Заметки о идеально согласованных слоях , заметки онлайн-курса Массачусетского технологического института (август 2007 г.).
  3. ↑ Дж. Беренджер (1994). «Идеально подобранный слой для поглощения электромагнитных волн». Журнал вычислительной физики . 114 (2): 185–200. Bibcode : 1994JCoPh.114..185B . DOI : 10,1006 / jcph.1994.1159 .
  4. ^ Фатхи, Араш; Поурсартип, Бабак; Калливокас, Лукас (2015). «Гибридные формулы во временной области для моделирования волн в трехмерных неоднородных средах, усеченных PML». Международный журнал численных методов в инженерии . 101 (3): 165–198. Bibcode : 2015IJNME.101..165F . DOI : 10.1002 / nme.4780 .
  5. ^ SD Gedney (1996). «Анизотропный идеально подобранный слой поглощающей среды для усечения латексов FDTD». Транзакции IEEE об антеннах и распространении . 44 (12): 1630–1639. Bibcode : 1996ITAP ... 44.1630G . DOI : 10.1109 / 8.546249 .
  6. ^ WC Chew и WH Weedon (1994). «Трехмерная среда, идеально подобранная из модифицированных уравнений Максвелла с растянутыми координатами». Микроволновая оптическая технология. Письма . 7 (13): 599–604. Bibcode : 1994MiOTL ... 7..599C . DOI : 10.1002 / mop.4650071304 .
  7. ^ FL Тейшейра WC Chew (1998). «Общие конститутивные тензоры PML в замкнутой форме для согласования с произвольными бианизотропными и дисперсионными линейными средами». IEEE Микроволновые и Волноводные Письма . 8 (6): 223–225. DOI : 10.1109 / 75.678571 .
  8. ^ V. Кальвин (2012). «Принцип предельного поглощения и метод идеально согласованных слоев для лапласиана Дирихле в квазицилиндрических областях». SIAM J. Math. Анальный . 44 : 355–382. arXiv : 1110,4912 . DOI : 10.1137 / 110834287 .
  9. ^ V. Кальвин (2013). «Анализ идеально согласованных операторов слоев для акустического рассеяния на многообразиях с квазицилиндрическими концами». J. Math. Pures Appl . 100 (2): 204–219. arXiv : 1212,5707 . DOI : 10.1016 / j.matpur.2012.12.001 .
  10. ^ a b A. F. Oskooi, L. Zhang, Y. Avniel и SG Johnson, Разрушение идеально согласованных слоев и их погашение адиабатическими поглотителями , Optics Express 16 , 11376–11392 (2008).
  11. ^ Е. Bécache, С. Fauqueux и П. Жоли (2003). «Устойчивость идеально согласованных слоев, групповые скорости и анизотропные волны». Журнал вычислительной физики . 188 (2): 399–433. Bibcode : 2003JCoPh.188..399B . DOI : 10.1016 / S0021-9991 (03) 00184-0 . [1]
  12. ^ Каммер Стивен А (2004). «Идеально согласованное поведение слоев в материалах с отрицательным показателем преломления». IEEE Ant. Wireless Prop. Lett . 3 : 172–175. DOI : 10,1109 / lawp.2004.833710 .
  13. ^ Dong XT, Rao XS, Gan YB, Guo B., Yin W.-Y. (2004). «Идеально согласованное граничное условие поглощения слоя для левовращающих материалов». IEEE Microwave Wireless Components Lett . 14 : 301–333. DOI : 10,1109 / lmwc.2004.827104 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  14. ^ Лох P.-R., Oskooi А.Ф., Ibanescu М., Skorobogatiy М., Джонсон С. (2009). «Фундаментальная связь между фазовой и групповой скоростью и приложение к отказу идеально согласованных слоев в структурах с обратной волной» (PDF) . Phys. Rev. E . 79 : 065601. дои : 10,1103 / physreve.79.065601 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  15. ^ Oskooi А., Джонсон С. (2011). «Отличие правильных предложений PML от неправильных и исправленного нерасщепленного PML для анизотропных дисперсионных сред» (PDF) . Журнал вычислительной физики . 230 : 2369–2377. DOI : 10.1016 / j.jcp.2011.01.006 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Анимация по эффектам PML (YouTube)
  • Заметки и записанная лекция на идеально подобранном слое (см. Лекцию 8)