Тангенциальные и нормальные компоненты

Иллюстрация касательной и нормальной составляющих вектора к поверхности.

В математике , учитывая вектор в точке на кривой , этот вектор может быть однозначно разложен как сумма двух векторов, один касательный к кривой, называемый тангенциальным компонентом вектора, а другой перпендикулярный кривой, называемый нормальная составляющая вектора. Точно так же вектор в точке на поверхности может быть разбит таким же образом.

В более общем плане , учитывая подмногообразие N из в многообразии М , и вектор в касательном пространстве к М в точке N , она может быть разложена на компоненты касательной к N и компонент нормали к N .

Формальное определение [ править ]

Поверхность [ править ]

Более формально, пусть будет поверхностью и точкой на поверхности. Позвольте быть вектор в Тогда можно записать однозначно в виде суммы${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ parallel} + \ mathbf {v} _ {\ perp}}$

где первый вектор в сумме - это тангенциальная составляющая, а второй - нормальная составляющая. Отсюда сразу следует, что эти два вектора перпендикулярны друг другу.

Для того, чтобы вычислить тангенциальные и нормальные компоненты, рассмотрит блок нормального к поверхности, то есть единичный вектор перпендикулярно по Затем,${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x.}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp} = (\ mathbf {v} \ cdot {\ hat {n}}) {\ hat {n}}}$

и поэтому

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ parallel} = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ perp}}$

где " " обозначает скалярное произведение . Другая формула для тангенциальной составляющей: ${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ parallel} = - {\ hat {n}} \ times ({\ hat {n}} \ times \ mathbf {v}),}$

где " " обозначает перекрестное произведение .${\ displaystyle \ times}$

Обратите внимание, что эти формулы не зависят от конкретной используемой единичной нормали (существуют две единичные нормали к любой поверхности в данной точке, указывающие в противоположных направлениях, поэтому одна из единичных нормалей является отрицательной по отношению к другой).${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$

Подмногообразие [ править ]

В целом, учитывая Подмногообразие N из многообразия M и точки , мы получаем короткую точную последовательность вовлекая касательные пространства :${\ displaystyle p \ in N}$

${\displaystyle T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N}$

Quotianifold , указанные выше расколы последовательности, а касательное пространство М на р разлагается в прямую сумму из компонента касательной к N и компонент нормальной к N :

${\displaystyle T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$

Таким образом, каждый касательный вектор разбивается как , где и .${\displaystyle v\in T_{p}M}$${\displaystyle v=v_{\parallel }+v_{\perp }}$${\displaystyle v_{\parallel }\in T_{p}N}$${\displaystyle v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$

Вычисления [ править ]

Предположим, что N задано невырожденными уравнениями.

Если N задается явно через параметрические уравнения (например, параметрическая кривая ), то производная дает остовное множество для касательного пучка (это основа тогда и только тогда, когда параметризация является погружением ).

Если N задано неявно (как в приведенном выше описании поверхности или, в более общем смысле, как гиперповерхность ) как набор уровня или пересечение поверхностей уровня для , то градиенты охватывают нормальное пространство.${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$

В обоих случаях мы снова можем вычислить, используя скалярное произведение; Однако кросс-продукт является особенным для 3-х измерений.

Приложения [ править ]

• Множители Лагранжа  : критические точки с ограничениями - это точки , в которых тангенциальная составляющая полной производной обращается в нуль.
• Поверхность нормальная

Ссылки [ править ]

• Рожанский, Владимир (1979). Электромагнитные поля и волны . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-63834-0.

• Бенджамин Кроуэлл (2003) Свет и материя. ( онлайн-версия ).