q -Распределение Weibull

q -Распределение Weibull

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle q <2}$ форма ( реальная ) ставка ( реальная ) форма (реальная) ${\ displaystyle \ lambda> 0}$ ${\ displaystyle \ kappa> 0 \,}$
Поддерживать	${\ displaystyle x \ in [0; + \ infty) \! {\ text {for}} q \ geq 1}$ ${\displaystyle x\in [0;{\lambda \over {(1-q)^{1/\kappa }}}){\text{ for }}q<1}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\kappa -1}e_{q}^{-(x/\lambda )^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
Иметь в виду	(см. статью)

В статистике, д -Weibull распределение является распределением вероятностей , обобщающее распределение Вейбулла и распределение Lomax (Парето II типа). Это один из примеров распределения Tsallis .

Характеристика [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Функция плотности вероятности из д -Weibull случайной величины является: ^[1]

${\displaystyle f(x;q,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\kappa -1}e_{q}(-(x/\lambda )^{\kappa })&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

где q <2, > 0 - параметры формы, а λ> 0 - параметр масштаба распределения и${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle e_{q}(x)={\begin{cases}\exp(x)&{\text{if }}q=1,\\[6pt][1+(1-q)x]^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x>0,\\[6pt]0^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x\leq 0,\\[6pt]\end{cases}}}$

является q- экспонентой ^{[1] [2] [3]}

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Интегральная функция распределения из д -Weibull случайной величины является:

${\displaystyle {\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

куда

${\displaystyle \lambda '={\lambda \over (2-q)^{1 \over \kappa }}}$

${\displaystyle q'={1 \over (2-q)}}$

Среднее [ править ]

Среднее значение q- распределения Вейбулла равно

${\displaystyle \mu (q,\kappa ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \,\left(2+{\frac {1}{1-q}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)(1-q)^{-{\frac {1}{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},2+{\frac {1}{1-q}}\right]&q<1\\\lambda \,\Gamma (1+{\frac {1}{\kappa }})&q=1\\\lambda \,(2-q)(q-1)^{-{\frac {1+\kappa }{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},-\left(1+{\frac {1}{q-1}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)\right]&1<q<1+{\frac {1+2\kappa }{1+\kappa }}\\\infty &1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}}\leq q<2\end{cases}}}$

где - бета-функция, а - гамма-функция . Выражение для среднего является непрерывной функцией q в диапазоне определения, для которого оно является конечным.${\displaystyle B()}$${\displaystyle \Gamma ()}$

Связь с другими дистрибутивами [ править ]

Д -Weibull эквивалентно распределению Вейбулла при д = 1 и эквивалентно д -exponential , когда${\displaystyle \kappa =1}$

Д -Weibull является обобщением Вейбуллу, так как он расширяет это распределение в случаи конечного носителя ( д <1) , а также для включения распределений с тяжелыми хвостами .${\displaystyle (q\geq 1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}})}$

Д -Weibull является обобщением распределения Ломакса (Парето II типа), так как он расширяет это распределение для случаев конечной поддержки и добавляет параметр. Параметры Lomax:${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}}~,~\lambda _{\text{Lomax}}={1 \over {\lambda (q-1)}}}$

Поскольку распределение Ломакса представляет собой сдвинутую версию распределения Парето , q- Weibull для представляет собой сдвинутое репараметризованное обобщение Парето. Когда q > 1, q -экспонента эквивалентна сдвигу Парето для поддержки, начинающейся с нуля. Конкретно:${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle {\text{If }}X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Weibull} (q,\lambda ,\kappa =1){\text{ and }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={1 \over {\lambda (q-1)}},\alpha ={{2-q} \over {q-1}}\right)-x_{m}\right],{\text{ then }}X\sim Y\,}$

См. Также [ править ]

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Цаллиса
• Распределение Цаллиса
• q - гауссовский

Ссылки [ править ]