В динамике жидкости , уравнение Рэлея или стабильность Рэлея уравнение является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением для изучения гидродинамической устойчивости параллельной, несжимаемой и невязкой сдвиговом потоке . Уравнение: [1]
с участием скорость потока в стационарном базовом потоке, стабильность которого должны быть изучены и- направление поперечного потока (т.е. перпендикулярно направлению потока). Способствоватьявляется комплексной величиной амплитуды из бесконечно малой функции тока возмущений применяются к базовому потоку,- волновое число возмущений, а- фазовая скорость, с которой возмущения распространяются в направлении потока. Штрих обозначает дифференцирование по
Задний план
Уравнение названо в честь лорда Рэлея , который ввел его в 1880 году. [2] Уравнение Орра – Зоммерфельда, введенное позже для изучения устойчивости параллельного вязкого течения, сводится к уравнению Рэлея, когда вязкость равна нулю. [3]
Уравнение Рэлея вместе с соответствующими граничными условиями чаще всего создает проблему собственных значений . Для заданного (действительного) волнового числа и средняя скорость потока то собственные значения являются скорость фазыа собственные функции являются соответствующими амплитудами функций токаВ общем, собственные значения образуют непрерывный спектр . В некоторых случаях дополнительно может быть дискретный спектр пар на комплексно сопряженных значениях Поскольку волновое число встречается только как квадрат в уравнении Рэлея решение (т.е. а также ) для волнового числа также является решением для волнового числа [3]
Уравнение Рэлея касается только двумерных возмущений потока. Из теоремы Сквайра следует, что двумерные возмущения менее устойчивы, чем трехмерные.
Если фазовая скорость с действительным знаком находится между минимумом и максимумом проблема имеет так называемые критические слои вблизи где На критических слоях уравнение Рэлея становится сингулярным . Впервые они были изучены лордом Кельвином , также в 1880 году. [4] Его решение дает начало так называемой картине линий тока « кошачий глаз» вблизи критического слоя при наблюдении в системе координат, движущейся с фазовой скоростью[3]
Вывод
Рассмотрим параллельный сдвиговый поток в направление, которое меняется только в направлении поперечного потока [1] Устойчивость потока изучается путем добавления небольших возмущений к скорости потока. а также в а также направления соответственно. Течение описывается с помощью несжимаемых уравнений Эйлера , которые после линеаризации становятся а также
с участием частной производной оператора по времени, а так же а также относительно а также Колебания давления убедиться, что уравнение неразрывности выполняется. Плотность жидкости обозначается каки является константой в настоящем анализе. Премьер обозначает дифференциацию относительно его аргумента
Колебания потока а также описываются с использованием функции потока обеспечение выполнения уравнения неразрывности:
Принимая - а также -производные - а также -импульсное уравнение, а затем вычитая два уравнения, давление можно исключить:
которое по сути является уравнением переноса завихренности , быть (минус) завихренностью.
Далее рассматриваются синусоидальные колебания:
с участием комплексная амплитуда колебаний функции тока, а это мнимая единица () а также обозначает действительную часть выражения в скобках. Используя это в уравнении переноса завихренности, получается уравнение Рэлея.
Граничные условия для плоских непроницаемых стенок вытекают из того, что функция тока на них постоянна. Таким образом, у непроницаемых стенок колебания функции тока равны нулю, т.е. Для неограниченных потоков общие граничные условия таковы, что
Заметки
- ^ а б Крейк (1988 , стр. 21–27)
- ^ Рэлей (1880)
- ^ a b c Дразин (2002 , стр. 138–154)
- ^ Кельвин (1880)
Рекомендации
- Крейк, ADD (1988), Волновые взаимодействия и потоки жидкости , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36829-4
- Criminale, WO; Джексон, TL; Джослин, RD (2003), Теория и расчет гидродинамической устойчивости , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63200-3
- Дразин, П.Г. (2002), Введение в гидродинамическую устойчивость , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00965-0
- Hirota, M .; Моррисон, П.Дж .; Хаттори, Ю. (2014), «Вариативные необходимые и достаточные условия устойчивости для невязкого сдвигового потока», Труды Королевского общества , A, 470 (20140322): 23 стр., ArXiv : 1402.0719 , Bibcode : 2014RSPSA.47040322H , doi : 10.1098 / rspa.2014.0322
- Кельвин, Лорд (У. Томсон) (1880), «О беспокоящей бесконечности в решении лорда Рэлея для волн в плоском вихревом слое», Nature , 23 : 45–6, Bibcode : 1880Natur..23 ... 45. , DOI : 10.1038 / 023045a0
- Рэлей, Лорд (JW Strutt) (1880), «Об устойчивости или нестабильности некоторых движений жидкости», Proceedings of the London Mathematical Society , 11 : 57–70